TD12

Lycée Dupuy de Lôme – 2016/2017 Mathématiques – ECS 1
TD NO12
VARIABLES ALÉATOIRES SUR UN UNIVERS FINI
1Soit Xune variable aléatoire prenant les valeurs 3, 4, 5 et 6.
1. Déterminer la loi de probabilité de Xsachant que :
P(X=3) =P(X=4), P(X<5) =1
3,P(X>5) =1 4.
2. Représenter sa fonction de répartition.
3. Calculer l’espérance et la variance de X.
2Une urne contient 5 boules rouges, 5 boules blanches et 6 boules bleues. On tire 2 boules successi-
vement, sans remise. On désigne par Xla variable aléatoire égale au nombre de boules rouges obtenues.
Déterminer la loi de X, puis calculer E(X) et V(X).
Pour s’entraîner : reprendre cet exercice avec 3 tirages sans remise.
3Une roulette contient 37 cases numérotées de 0 à 36 :
.18 sont rouges;
.18 sont noires;
.la case numérotée 0 est verte.
Un joueur qui mise sur la couleur rouge ou noire, gagne deux fois sa mise si la couleur misée sort.
Si ce joueur mise sur un numéro de 1 à 36 qui sort, il gagne 36 fois sa mise.
Toute mise sur le numéro 0 est interdite.
1. Le joueur mise au hasard αeuros sur une couleur. Soit X1son gain. Trouver la loi de X1, puis
calculer E(X1) et V(X1).
2. Le joueur mise maintenant αeuros au hasard sur l’un des numéros de 1 à 36. Déterminer la loi de
la variable aléatoire X2égale au gain du joueur.
Calculer E(X2) et V(X2).
4Un lot de npièces contient une pièce défectueuse. Un robot les teste une par une, jusqu’à détecter
la pièce défectueuse. Dans le cas où, à l’issue du (n−1)-ième test, il ne reste que la pièce défectueuse, le
robot effectue quand même le n-ième test. Soit Xla variable aléatoire égale au nombre de tests effectués.
1. Déterminer la loi de X, et donner les valeurs de E(X) et V(X).
2. On suppose que les tests sont effectués par un homme. Ainsi, s’il ne reste plus que deux pièces,
celui-ci ne fait alors qu’un test supplémentaire.
Soit Yla variable aléatoire égale au nombre de tests qu’effectue l’homme. Déterminer la loi de
Y,E(Y) et V(Y).
5On lance deux dés équilibrés. On note D1la variable aléatoire égale au numéro obtenu sur le pre-
mier dé et D2la variable aléatoire égale au numéro obtenu sur le second.
On note alors Xle plus petit des numéros obtenus, et Yle plus grand.
1. Donner la loi de D1et D2ainsi que leur espérance et leur variance.
2. Déterminer la loi de Xet calculer E(X).
3. Exprimer X+Yen fonction de D1et D2puis en déduire E(Y).
6Un canal de transmission ne peut traiter que des 0 et des 1. En raison des perturbations sur ce canal,
un 0 peut être transformé en 1 et un 1 en 0 lors d’une transmission, et ce avec la même probabilité p=0,2
indépendamment à chaque instant. Pour diminuer la probabilité d’erreur, on décide de transmettre
00000 à la place de 0 et 11111 à la place de 1 (codage dit redondant).
Si le récepteur décode suivant la règle de la majorité, quelle est la probabilité que le message soit mal
interprété?
On pourra considérer X la variable aléatoire égale au nombre de bits correctement transmis.
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7On effectue 360 lancers d’un même dé cubique parfaitement équilibré. On note Xla variable aléa-
toire égale au nombre d’apparition du numéro 5 au cours des 360 lancers. Déterminer l’espérance et la
variance de X.
8Une demi-droite est divisée en segments de longueur 1, numérotés 0,1,2,3,... de gauche à droite.
Une puce se déplace vers la droite en faisant des sauts de longueur 1 ou 2, au hasard.
Au départ, elle est sur la case 0.
Pour tout n∈N∗, on désigne par Xnla variable aléatoire égale au numéro de la case occupée par la
puce après nsauts.
1. Déterminer la loi de probabilité de X1, son espérance et sa variance.
2. Déterminer la loi de probabilité de X2, son espérance et sa variance.
3. (a) Soit Ynla variable aléatoire égale au nombre de fois où la puce a effectué un saut de deux
cases au cours des npremiers sauts.
Reconnaître la loi de probabilité de Yn.
Calculer son espérance et sa variance.
(b) Exprimer Xnen fonction de Yn. En déduire la loi de probabilité de Xn, son espérance et sa
variance.
4. On note, pour tout i∈J1,nK,Zila variable aléatoire prenant la valeur 2 si le i-ième saut de la puce
est de 2 cases et prenant la valeur 1 dans le cas contraire.
(a) Déterminer, pour tout i∈J1,nK, la loi de Ziainsi que son espérance.
(b) Exprimer Xnen fonction des variables Zi(1 6i6n).
Retrouver ainsi l’espérance de Xn.
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