TD12

Lycée Dupuy de Lôme – 2016/2017
Mathématiques – ECS 1
TD N O 12
VARIABLES ALÉATOIRES SUR UN UNIVERS FINI
1 Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs 3, 4, 5 et 6.
1. Déterminer la loi de probabilité de X sachant que :
P (X = 3) = P (X = 4),
1
P (X < 5) = ,
3
1
P (X > 5) = .
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2. Représenter sa fonction de répartition.
3. Calculer l’espérance et la variance de X .
2 Une urne contient 5 boules rouges, 5 boules blanches et 6 boules bleues. On tire 2 boules successivement, sans remise. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges obtenues.
Déterminer la loi de X , puis calculer E (X ) et V (X ).
Pour s’entraîner : reprendre cet exercice avec 3 tirages sans remise.
3 Une roulette contient 37 cases numérotées de 0 à 36 :
. 18 sont rouges ;
. 18 sont noires ;
. la case numérotée 0 est verte.
Un joueur qui mise sur la couleur rouge ou noire, gagne deux fois sa mise si la couleur misée sort.
Si ce joueur mise sur un numéro de 1 à 36 qui sort, il gagne 36 fois sa mise.
Toute mise sur le numéro 0 est interdite.
1. Le joueur mise au hasard α euros sur une couleur. Soit X 1 son gain. Trouver la loi de X 1 , puis
calculer E (X 1 ) et V (X 1 ).
2. Le joueur mise maintenant α euros au hasard sur l’un des numéros de 1 à 36. Déterminer la loi de
la variable aléatoire X 2 égale au gain du joueur.
Calculer E (X 2 ) et V (X 2 ).
4 Un lot de n pièces contient une pièce défectueuse. Un robot les teste une par une, jusqu’à détecter
la pièce défectueuse. Dans le cas où, à l’issue du (n − 1)-ième test, il ne reste que la pièce défectueuse, le
robot effectue quand même le n-ième test. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de tests effectués.
1. Déterminer la loi de X , et donner les valeurs de E (X ) et V (X ).
2. On suppose que les tests sont effectués par un homme. Ainsi, s’il ne reste plus que deux pièces,
celui-ci ne fait alors qu’un test supplémentaire.
Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de tests qu’effectue l’homme. Déterminer la loi de
Y ,E (Y ) et V (Y ).
5 On lance deux dés équilibrés. On note D 1 la variable aléatoire égale au numéro obtenu sur le premier dé et D 2 la variable aléatoire égale au numéro obtenu sur le second.
On note alors X le plus petit des numéros obtenus, et Y le plus grand.
1. Donner la loi de D 1 et D 2 ainsi que leur espérance et leur variance.
2. Déterminer la loi de X et calculer E (X ).
3. Exprimer X + Y en fonction de D 1 et D 2 puis en déduire E (Y ).
6 Un canal de transmission ne peut traiter que des 0 et des 1. En raison des perturbations sur ce canal,
un 0 peut être transformé en 1 et un 1 en 0 lors d’une transmission, et ce avec la même probabilité p = 0, 2
indépendamment à chaque instant. Pour diminuer la probabilité d’erreur, on décide de transmettre
00000 à la place de 0 et 11111 à la place de 1 (codage dit redondant).
Si le récepteur décode suivant la règle de la majorité, quelle est la probabilité que le message soit mal
interprété ?
On pourra considérer X la variable aléatoire égale au nombre de bits correctement transmis.
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Mathématiques – ECS 1
7 On effectue 360 lancers d’un même dé cubique parfaitement équilibré. On note X la variable aléatoire égale au nombre d’apparition du numéro 5 au cours des 360 lancers. Déterminer l’espérance et la
variance de X .
8 Une demi-droite est divisée en segments de longueur 1, numérotés 0,1,2,3,... de gauche à droite.
Une puce se déplace vers la droite en faisant des sauts de longueur 1 ou 2, au hasard.
Au départ, elle est sur la case 0.
Pour tout n ∈ N∗ , on désigne par X n la variable aléatoire égale au numéro de la case occupée par la
puce après n sauts.
1. Déterminer la loi de probabilité de X 1 , son espérance et sa variance.
2. Déterminer la loi de probabilité de X 2 , son espérance et sa variance.
3.
(a) Soit Yn la variable aléatoire égale au nombre de fois où la puce a effectué un saut de deux
cases au cours des n premiers sauts.
Reconnaître la loi de probabilité de Yn .
Calculer son espérance et sa variance.
(b) Exprimer X n en fonction de Yn . En déduire la loi de probabilité de X n , son espérance et sa
variance.
4. On note, pour tout i ∈ J1, n K, Zi la variable aléatoire prenant la valeur 2 si le i -ième saut de la puce
est de 2 cases et prenant la valeur 1 dans le cas contraire.
(a) Déterminer, pour tout i ∈ J1, n K, la loi de Zi ainsi que son espérance.
(b) Exprimer X n en fonction des variables Zi (1 6 i 6 n).
Retrouver ainsi l’espérance de X n .
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