DS4 - Lycée Henri BECQUEREL

TS1-TS2
DEVOIR SURVEILLE N° 4 ( 2h)
J 1/12/11
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante
dans l’appréciation des copies. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche,
même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. L’usage de la calculatrice est autorisé.
Exercice 1 : (3 points)
 f ' f
Prérequis : On admet qu'il existe une fonction dérivable sur I; R, notée exp, vérifiant : 
 f (0)  1
En utilisant ce seul prérequis, répondre successivement aux questions suivantes.
1) On considère la fonction  : x  exp( x) exp(  x) .
Montrer que  est une fonction constante sur I; R et que pour tout x réel, exp( x) exp( x)  1 .
2) En étudiant, pour un réel a fixé, la fonction g a : x  exp( a  x) exp(  x) , démontrer que :
pour tous réels a et x, exp( a  x)  exp( a)  exp( x) .
Exercice 2 : (4 points)
On considère la suite (un) définie par u0 = 5 et pour tout entier naturel n : un + 1 = Error!.
1) A l’aide de la calculatrice, donner la valeur approchée à 10–2 des 5 premiers termes de la suite.
2) a) Conjecturer le sens de variation de la suite.
b) Le démontrer.
3) Démontrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel n, on a un – 1 > 0.
Exercice 3 : (13 points)
Partie A
On considère la fonction g définie sur [0 ; +[ par g(x) = ex – xex + 1.
1) Déterminer la limite de g en + .
2) Etudier les variations de la fonction g.
3) Donner le tableau de variation de g.
4) a) Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet sur [0 ; +[ une unique solution. On note  cette solution.
b) A l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d’amplitude 10–2 de .
c) Démontrer que e = Error!
5) Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x.
Partie B
On considère la fonction h définie et dérivable sur [0 ; +[ par h(x) = Error!
1) Déterminer la limite de h en + .
2) Démontrer que pour tout réel x positif ou nul, h’(x) a le même signe que g(x), où g est la fonction
définie dans la partie A.
3) En déduire les variations de h sur [0 ; +[.
Partie C
On considère la fonction f définie sur [0 ; +[ par f(x) = Error!
On note Cf sa courbe représentative dans un repère (O; Error!; Error!).
La figure est donnée en annexe.
Pour tout réel x positif ou nul, on note : M le point de Cf de coordonnées (x ; f(x)), P le point de
coordonnées (x ; 0), Q le point de coordonnées (O ; f(x)).
1) Démontrer que l’aire du rectangle OPMQ est maximale lorsque M a pour abscisse .
On rappelle que le réel  a été défini dans la partie A.
2) Le point M a pour abscisse .
La tangente (T) en M à la courbe Cf est-elle parallèle à la droite (PQ) ?
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse,
sera prise en compte dans l’’évaluation.
Annexe
y
2
1
o
1
2
3
4
5
x