TS1-TS2 DEVOIR SURVEILLE N° 4 ( 2h) J 1/12/11
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante
dans l’appréciation des copies. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche,
même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. L’usage de la calculatrice est autorisé.
Exercice 1 : (3 points)
Prérequis : On admet qu'il existe une fonction dérivable sur I; R, notée exp, vérifiant :
En utilisant ce seul prérequis, répondre successivement aux questions suivantes.
1) On considère la fonction
.
Montrer que
est une fonction constante sur I; R et que pour tout x réel,
.
2) En étudiant, pour un réel a fixé, la fonction
, démontrer que :
pour tous réels a et x,
.
Exercice 2 : (4 points)
On considère la suite (un) définie par u0 = 5 et pour tout entier naturel n : un + 1 =
.
1) A l’aide de la calculatrice, donner la valeur approchée à 10–2 des 5 premiers termes de la suite.
2) a) Conjecturer le sens de variation de la suite.
b) Le démontrer.
3) Démontrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel n, on a un – 1 > 0.
Exercice 3 : (13 points)
Partie A
On considère la fonction g définie sur [0 ; +
[ par g(x) = ex – xex + 1.
1) Déterminer la limite de g en +
.
2) Etudier les variations de la fonction g.
3) Donner le tableau de variation de g.
4) a) Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet sur [0 ; +
[ une unique solution. On note
cette solution.
b) A l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d’amplitude 10–2 de
.
c) Démontrer que e
=
5) Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x.
Partie B
On considère la fonction h définie et dérivable sur [0 ; +
[ par h(x) =