ROC : dérivée et propriété fonctionnelle

ROC : dérivée et propriété fonctionnelle
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ROC : dérivée et propriété fonctionnelle
1. Démontrer que, si ln(a) = ln(b), alors a = b (avec a > 0 et b > 0). En déduire que,
si a=b,
/ alors ln(a)=
/ ln(b)
Soit A = ln(a). Alors a = eA . Soit B = ln(b). Alors b = eB .
Donc si ln(a) = ln(b), alors A = B, donc eA = eB , donc a = b.
Donc, par l’absurde, si a=b,
/ alors ln(a)=
/ ln(b).
1
2. Démontrer que ln est dérivable et que ln0 (x) = pour tout x > 0
x
ln(x + h) − ln(x)
Soit x > 0. On étudie la limite de t(h) =
lorsque h tend vers 0
h
en restant différent de 0.
On pose X = ln(x) et H = ln(x + h) − ln(x), soit x = eX et x + h = eX+H .
Alors ln(x + h) − ln(x) = X + H − X = H et h = (x + h) − x = eX+H − eX
H = ln(x+h)−ln(x) donc si h=0
/ alors H =0
/ d’après la question précédente. D’autre
part, la fonction ln est continue (car elle est dérivable), donc lorsque h tend vers 0,
H tend vers 0.
eX+H − eX
H
.
C’est
l’inverse
du
taux
d’accroissement
, qui tend
t(h) = X+H
e
− eX
H
0
vers exp (X) = exp(X) lorsque H tend vers 0 en restant différent de 0.
1
1
Donc, par composition des limites, la limite de t(h) est
= .
exp(X)
x
1
Donc f 0 (x) =
x
3. Démontrer que la fonction ln transforme la multiplication en addition et que ln(1) = 0
On veut prouver ln(ab) = ln(a) + ln(b) pour a et b strictement positifs.
Soit A = ln(a) et B = ln(b). C’est équivalent à : a = eA et b = eB .
Alors ln(ab) = ln(eA eB ) = ln(eA+B ) = A + B puisque ln est la réciproque de exp.
Donc ln(ab) = A + B = ln(a) + ln(b)
D’autre part ln(1) = 0 car ln est la réciproque de exp et exp(0) = 1.
4. Soit f une fonction dérivable sur ]0; +∞[ transformant la multiplication en addition :
k
f (ab) = f (a) + f (b). Démontrer qu’il existe k réel tel que, pour tout a > 0, f 0 (a) = .
a
Résumé : on considère a comme constante et b comme variable (b = x). On dérive
l’équation par rapport à x, puis on applique le résultat à une valeur particulière
x = 1.
Soit u la fonction définie par u(x) = f (ax) et v la fonction définie par v(x) =
f (a) + f (x).
Alors u0 (x) = af 0 (ax) (dérivée d’une fonction composée, a est une constante).
v 0 (x) = f 0 (x) (dérivée d’une somme, f (a) est une constante).
Puisque u = v, on a u0 = v 0 , donc af 0 (ax) = f 0 (x) pour tout a > 0 et tout x > 0.
f 0 (1)
On applique cette égalité à x = 1 : af 0 (a) = f 0 (1). Donc f 0 (a) =
.
a
k
Donc il existe k réel tel que, pour tout a > 0, f 0 (a) = (avec k = f 0 (1)).
a
5. Démontrer que si une fonction f dérivable sur ]0; +∞[ transforme la multiplication en
addition alors elle est de la forme f (x) = k ln(x), où k est une constante réelle.
On a vu à la question précédente que nécessairement f 0 doit être de la forme
k
f 0 (x) = .
x
1
Soit g(x) = k ln(x). Alors g 0 (x) = k × donc f 0 (x) = g 0 (x), donc f − g est une
x
fonction constante (dérivée nulle). Cette constante vaut f (1)−g(1) = 0−k ln(1) = 0.
Donc f − g = 0, donc f (x) = g(x) = k ln(x)
6. Conclusion : déterminer l’ensemble des fonctions f dérivables sur ]0; +∞[ qui transforment la multiplication en addition.
On a déterminé une condition nécessaire à la question précédente : si f transforme
la multiplication en addition, alors f est de la forme f (x) = k ln(x)
Condition suffisante (réciproque) : si f (x) = k ln(x), alors f (ab) = k ln(ab) =
k(ln(a) + ln(b)) = k ln(a) + k ln(b) = f (a) + f (b) (puisqu’on a vu aussi que ln
transforme la multiplication en addition). Donc la réciproque est bien vérifiée.
L’ensemble cherché est donc l’ensemble des fonctions de la forme f (x) = k ln(x).
Parmi ces fonctions, la fonction ln est la seule qui vérifie f 0 (1) = 1.