ROC : dérivée et propriété fonctionnelle

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ROC : dérivée et propriété fonctionnelle
1. Démontrer que, si ln(a) = ln(b), alors a=b(avec a > 0et b > 0). En déduire que,
si a /=b, alors ln(a)/= ln(b)
Soit A= ln(a). Alors a=eA. Soit B= ln(b). Alors b=eB.
Donc si ln(a) = ln(b), alors A=B, donc eA=eB, donc a=b.
Donc, par l’absurde, si a /=b, alors ln(a)/= ln(b).
2. Démontrer que ln est dérivable et que ln0(x) = 1
xpour tout x > 0
Soit x > 0. On étudie la limite de t(h) = ln(x+h)−ln(x)
hlorsque htend vers 0
en restant différent de 0.
On pose X= ln(x)et H= ln(x+h)−ln(x), soit x=eXet x+h=eX+H.
Alors ln(x+h)−ln(x) = X+H−X=Het h= (x+h)−x=eX+H−eX
H= ln(x+h)−ln(x)donc si h /=0 alors H /=0 d’après la question précédente. D’autre
part, la fonction ln est continue (car elle est dérivable), donc lorsque htend vers 0,
Htend vers 0.
t(h) = H
eX+H−eX. C’est l’inverse du taux d’accroissement eX+H−eX H, qui tend
vers exp0(X) = exp(X)lorsque Htend vers 0 en restant différent de 0.
Donc, par composition des limites, la limite de t(h)est 1
exp(X)=1 x.
Donc f0(x) = 1
x
3. Démontrer que la fonction ln transforme la multiplication en addition et que ln(1) = 0
On veut prouver ln(ab) = ln(a) + ln(b)pour aet bstrictement positifs.
Soit A= ln(a)et B= ln(b). C’est équivalent à : a=eAet b=eB.
Alors ln(ab) = ln(eAeB) = ln(eA+B) = A+Bpuisque ln est la réciproque de exp.
Donc ln(ab) = A+B= ln(a) + ln(b)
D’autre part ln(1) = 0 car ln est la réciproque de exp et exp(0) = 1.
4. Soit fune fonction dérivable sur ]0; +∞[transformant la multiplication en addition :
f(ab) = f(a)+f(b). Démontrer qu’il existe kréel tel que, pour tout a > 0,f0(a) = k
a.
Résumé : on considère acomme constante et bcomme variable (b=x). On dérive
l’équation par rapport à x, puis on applique le résultat à une valeur particulière
x= 1.
Soit ula fonction définie par u(x) = f(ax)et vla fonction définie par v(x) =
f(a) + f(x).
Alors u0(x) = af0(ax)(dérivée d’une fonction composée, aest une constante).
v0(x) = f0(x)(dérivée d’une somme, f(a)est une constante).
Puisque u=v, on a u0=v0, donc af0(ax) = f0(x)pour tout a > 0et tout x > 0.
On applique cette égalité à x= 1 :af0(a) = f0(1). Donc f0(a) = f0(1)
a.
Donc il existe kréel tel que, pour tout a > 0,f0(a) = k
a(avec k=f0(1)).
5. Démontrer que si une fonction fdérivable sur ]0; +∞[transforme la multiplication en
addition alors elle est de la forme f(x) = kln(x), où kest une constante réelle.
On a vu à la question précédente que nécessairement f0doit être de la forme
f0(x) = k
x.
Soit g(x) = kln(x). Alors g0(x) = k×1
xdonc f0(x) = g0(x), donc f−gest une
fonction constante (dérivée nulle). Cette constante vaut f(1)−g(1) = 0−kln(1) = 0.
Donc f−g= 0, donc f(x) = g(x) = kln(x)
6. Conclusion : déterminer l’ensemble des fonctions fdérivables sur ]0; +∞[qui trans-
forment la multiplication en addition.
On a déterminé une condition nécessaire à la question précédente : si ftransforme
la multiplication en addition, alors fest de la forme f(x) = kln(x)
Condition suffisante (réciproque) : si f(x) = kln(x), alors f(ab) = kln(ab) =
k(ln(a) + ln(b)) = kln(a) + kln(b) = f(a) + f(b)(puisqu’on a vu aussi que ln
transforme la multiplication en addition). Donc la réciproque est bien vérifiée.
L’ensemble cherché est donc l’ensemble des fonctions de la forme f(x) = kln(x).
Parmi ces fonctions, la fonction ln est la seule qui vérifie f0(1) = 1.