Modèle mathématique.

Chapitre 4
Terminale S
LA FONCTION EXPONENTIELLE
Léonhard Euler, mathématicien suisse très prolifique (1707-1783) est à l'origine de beaucoup de
théorèmes dans tous les domaines mathématiques.
Cependant son œuvre principale réside dans le développement de l'analyse. Il est à l'origine de fonctions
que nous utilisons aujourd'hui encore comme les fonctions trigonométriques (cos(x), etc..) et, c'est
également lui ( en 1748) qui est à l'origine de la définition de la fonction exponentielle ex "une fonction
proportionnelle à sa dérivée".
Cette fonction permet de traduire analytiquement et ainsi de modéliser des phénomènes physiques tel que
l'évolution temporelle de la population de noyaux radioactifs, la charge d'un condensateur dans le temps
ou encore l'élimination par l'organisme d' une injection dans le sang d'un médicament.
I
La fonction vérifiant
f' = f et
f(0) =1
On admet qu'il existe une fonction f définie et dérivable sur IR telle que: f ' = f et f(0) = 1
1ièrement Montrons qu'elle ne s'annule pas sur IR:
Soit g la fonction définie sur IR par : g(x) = f(x)f(-x) . Démontrer que g est constante sur IR . En déduire
que f ne s'annule pas sur IR
La fonction f ne s'annule pas sur IR
ièment
2
Montrons qu'elle est unique
Démontrer que si une fonction g définie sur IR vérifie la condition g = g ' et g(0) =1 alors g = f.( vous
pouvez poser h = Error! )
La fonction f est unique
ièmement
3
Etablissons une propriété de cette fonction
Soit g(x) = f(x+ y)f(-x) avec y  IR démontrer que g est constante, en déduire que f(x + y) = f(x)f(y)
II
Stepec
f(x + y) = f(x)f(y)
La représentation graphique de f
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Chapitre 4
Terminale S
L'approximation affine focale d'une fonction f dérivable en a de f(a+h) pour h voisin de 0 est :
f(a+h)  f(a) + hf '(a)
1ièrement Montrons que si f vérifie f = f ' et f(0) = 1 alors f(a + nh)  (1 + h)n f(a) pour tt n  IN * et a  IR
On vérifie que la propriété est vraie pour n = 0
conclusion:
f(a +nh)  (1+h)n f(a) n IN
2ièmement Soit (Un) la suite définie sur IN par Un = (1 + h)nf(a) démontrer que c'est une suite géométrique
3ièmement On pose a = 0 et x = nh. Démontrons que pour n assez grand par rapport à x on a:
f(x)  Error! n
Euler établit ainsi la fonction exponentielle
e x = lim;
(1 + Error! )n
n+
III
La fonction exponentielle
1)
Généralités
Stepec
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Chapitre 4
Définition:
Terminale S
On appelle fonction exponentielle l'unique fonction f dérivable sur IR
telle que f = f '
et
f(0) =1
On la nomme fonction exponentielle et elle se note exp (x)
Etymologie: exponentielle du latin exponens: dont l'exposant est variable ou inconnu
Théorème : Pour tout réel x , exp(x) > 0
Démon.:
Conséquences pratiques:
 La fonction exponentielle est définie et dérivable sur IR
 exp(0) =1
 exp'(x) = exp (x)
 exp (x) > 0
 exp (-x) = Error! ( voir activité préliminaire I_ 1ièrement )
IV
Propriétés de la fonction exponentielle
Théorème:
Pour tout réel a et b : exp (a + b) = exp (a) . exp (b)
Démonstration faite précédemment dans activité préliminaire I_3ièmement
Corollaire: Pour tout réels a et b et pour tout entier relatif k
 exp (a - b) = Error!
 exp (-a) = Error!
 exp (kx) = [ exp(x) ] k
démon.:
Autre notation de la fonction exponentielle ex
L'image de 1 par la fonction exponentielle est le nombre réel noté e :
exp(1) = e
Ainsi pour tout entier relatif n, exp (n) = exp (1 x n) = [exp (1)] n = e n
donc
Stepec
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exp (n) = e n
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Chapitre 4
Terminale S
On généralise cette notation pour tout x  IR : exp (x) = e x
On peut alors écrire:








Exercices 1, 2, 3 p 101
V
Etude de la fonction exponentielle
1)
Etude de variation
Théorème : La fonction exponentielle est strictement croissante sur IR
Démon.:
Conséquences pratiques:
a<b

ea<eb
et
a=b

ea=eb
Exercices: 4,5,6,7,8,10, 11,12,15 p101
2)
Etude des limites
Théorème :
lim;
e x = +  et
x+
lim;
x-
ex = 0
Démon. :
Exercices: 18,20 p102
Théorème :
lim;
Error!
x0
=1
Démon.:
Stepec
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Chapitre 4
3)
Terminale S
Croissance comparée de x et e x
Théorème:
lim;
x+
Error!
=+
et
Error!
xe x = 0
Démon.:
Exercices: 21,22,23,25,27,28,33 p102
4)
Dérivée de la fonction composée e u(x)
Théorème:
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I alors la fonction f définie par f(x) = e u(x)
est dérivable sur I et pour tout x  I on a : f '(x) = u'(x)e u(x)
Remarque:
Si u dérivable sur I alors e u(x) dérivable sur I est une condition suffisante mais pas
nécessaire car e u(x) peut être dérivable sur un x0  I si le nombre dérivée en x0 est fini.
Démon.:
Exercices: 37,38,40,41,42,44 p 103
VI
Equations différentielles
1)
Vocabulaire
Résoudre une équation différentielle c'est chercher l'ensemble des solutions qui vérifient l'équation.
Dans une équation différentielle l'inconnue est une fonction et le mot différentielle suggère que les
dérivées interviennent dans l'équation.
Stepec
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Chapitre 4
Terminale S
Cette année nous étudierons des équations différentielles du 1ier ordre ( il y a uniquement la dérivée
première dans l'équation ) à coefficients constants.
2)
Résolution de l'équation y ' = ay ( a  IR )
Théorème : L'ensemble des solutions dans IR de l'équation différentielle y ' = ay ( a  IR ) est l'ensemble
des fonctions fk définies par fk (x) = ke ax où k est un réel quelconque
ROC démon.:
Résolution d'une équation différentielle avec condition initiale: { y ' = ay;f(x0) = y0
Théorème:
 (x0 ;y0)  IR2 , l'équation y ' = ay admet une unique solution f telle que f(x0) = y0
Démon.:
Exercices: 45, 47, 48 p 103
3)
Résolution de l'équation y ' = ay + b ( (a ;b)  IR2 )
Théorème:
L'ensemble des solutions dans IR de l'équation différentielle y ' = ay + b ( (a;b) IR2 ) est
l'ensemble des fonctions fk définies par fk (x) = ke ax – Error!où k est un réel quelconque
Remarque: Si a = 0 alors y ' = b et les solutions sont les fonctions f(x) = bx + k
où kIR2
Exercices: 50,51 p103 et 57, 59, 61, 62, 77, 79, 82
Stepec
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