Chapitre 4 Terminale S
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LA FONCTION EXPONENTIELLE
Léonhard Euler, mathématicien suisse très prolifique (1707-1783) est à l'origine de beaucoup de
théorèmes dans tous les domaines mathématiques.
Cependant son œuvre principale réside dans le développement de l'analyse. Il est à l'origine de fonctions
que nous utilisons aujourd'hui encore comme les fonctions trigonométriques (cos(x), etc..) et, c'est
également lui ( en 1748) qui est à l'origine de la définition de la fonction exponentielle ex "une fonction
proportionnelle à sa dérivée".
Cette fonction permet de traduire analytiquement et ainsi de modéliser des phénomènes physiques tel que
l'évolution temporelle de la population de noyaux radioactifs, la charge d'un condensateur dans le temps
ou encore l'élimination par l'organisme d' une injection dans le sang d'un médicament.
I La fonction vérifiant f' = f et f(0) =1
On admet qu'il existe une fonction f définie et dérivable sur IR telle que: f ' = f et f(0) = 1
1ièrement Montrons qu'elle ne s'annule pas sur IR:
Soit g la fonction définie sur IR par : g(x) = f(x)f(-x) . Démontrer que g est constante sur IR . En déduire
que f ne s'annule pas sur IR
2ièment Montrons qu'elle est unique
Démontrer que si une fonction g définie sur IR vérifie la condition g = g ' et g(0) =1 alors g = f.( vous
pouvez poser h =
)
3ièmement Etablissons une propriété de cette fonction
Soit g(x) = f(x+ y)f(-x) avec y
IR démontrer que g est constante, en déduire que f(x + y) = f(x)f(y)
II La représentation graphique de f
La fonction f ne s'annule pas sur IR