Exercices : Divisibilité

Exercices : Divisibilité (TS spé)
Exercice 1
1. Compléter intuitivement les deux tableaux à double entrée suivants :
+Pair Impair
Pair
Impair
×Pair Impair
Pair
Impair
2. En remarquant les deux caractérisations suivantes :
Si n∈Zest pair, il existe k∈Ztel que :
n= 2·k
Si n∈Zest impair, il existe k∈Ztel que :
n= 2·k+ 1
Répondre aux questions suivantes :
a. Démontrer que la somme de deux nombres impairs est pair.
b. Démontrer que le produit de deux nombres impairs est impair.
Exercice 2
1. a. Déterminer la valeur de aet bdeux entiers relatifs tels que, pour tout entier relatif n,ona:
4n+ 1
n+ 1 =a+b n+ 1
b. En déduire les valeurs de npour laquelle 4n+ 1
n+ 1 est un entier.
2. Déterminer, si elles existent, les valeurs de n∈Ztels que les fractions suivantes aient des valeurs entières :
a. 6n+ 9
2n+ 1 b. 9−6n 3n−4
Exercice 3
1. a. Pour kun entier naturel non-nul développer l’expression A=2·k+ 12 −1.
b. Justifier que Aest un multiple de 8.
2. On considère l’expression B=n2−1pour n∈N∗:
a. Démontrer que pour npair, Best impair.
b. Démontrer que pour nun entier impair strictement supérieur à 1, Best pair et divisible par 8.
Exercice 4
1. Pour tout entier relatif ndifférent de 1, on considère le nombre :
An=2n2−n−11
n−1
a. Déterminer la valeur des entiers relatifs a,b,cvérifiant la relation suivante pour tout entier naturel ndistinct de 1 :
An=a·n+b+c
n−1
b. En déduire les valeurs de ntelles que le nombre Anest un nombre entier.
2. On considère pour tout entier relatif, le nombre Bndéfini par :
Bn=2n2−3n−15
2n+ 3
Déterminer les valeurs de npour lesquelles Bnest un entier relatif.
Exercice 5 Montrer que la somme des carrés de deux entiers consécutifs est un nombre impair
Exercice 6
1. a. Déterminer le reste de la division euclidienne de 102par 3
.