Nombre de palindromes en binaire inférieurs à 2

Nombre de palindromes en binaire inférieurs à 2n
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Soit n > 0 un entier naturel. Si on note P (n) le nombre de palindromes (non nuls) en binaire à n chiffres alors
( n
22
si n est pair
P (n) =
n−1
2
2
si n est impair
On note N (2n ) le nombre de palindromes compris entre 1 et 2n (inclus). Nous allons montrer que :
n
N (2 ) =
(
n
2(2 2 − 1)
3×2
n−1
2
si n est pair
− 2 si n est impair
Démonstration. Comme 2n est le plus petit nombre à n chiffres en binaire et comme ce
n’est pas un palindrome, le nombre N (2n ) est égal à la somme des nombres de palindromes à n − 1 chiffres, à n − 2 chiffres, ..., et à 1 chiffre. Ainsi :
N (2n ) = P (n − 1) + P (n − 2) + P (n − 3) + P (n − 4 + · · · + P (2) + P (1)
• Si n est pair alors n − 1 est impair, n − 2 est pair, etc. Par suite :
N (2n ) = 2
=2
(n−1)−1
2
n−2
2
n−2
2
+2
+2
n−2
2
(n−3)−1
2
+2
+2
n−4
2
+2
+2
n−4
2
n−4
2
+···+1+1
+···+1+1
On voit qu’on peut regrouper les termes deux à deux :
´
³ n−2
n−4
N (2n ) = 2 2 2 + 2 2 + · · · + 1
Si on note n = 2k alors :
³ 2k−2
´
2k−4
N (2n ) = 2 2 2 + 2 2 + · · · + 1
donc :
³
´
N (2n ) = 2 2k−1 + 2k−2 + · · · + 20
2k − 1
2−1
= 2(2k − 1)
= 2×
n
Et comme k = n2 , on en déduit que N (2n ) = 2(2 2 − 1).
• Si n est impair, alors n − 1 est pair, n − 2 est impair, etc. ce qui donne :
N (2n ) = 2
=2
(n−1)
2
n−1
2
+2
+2
(n−2)−1
2
n−3
2
+2
+2
n−3
2
(n−3)
2
+2
+2
n−5
2
(n−4)−1
2
+···+1+1
+···+1+1
On voit qu’on peut regrouper les termes deux à deux, sauf pour le premier terme :
³ n−3
´
n−1
n−5
N (2n ) = 2 2 + 2 2 2 + 2 2 + · · · + 1
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1
Si n = 2k + 1 alors
N (2n ) = 2
=2
=2
=2
Et comme k =
n−1
2
n−1
2
n−1
2
n−1
2
n−1
2
³ (2k+1)−3
´
(2k+1)−5
+2 2 2 +2 2 +···+1
³
´
+ 2 2k−1 + 2k−2 + · · · + 20
2k − 1
2−1
+2×
+ 2(2k − 1)
alors
N (2n ) = 2
n−1
2
+ 2(2
d’où
N (2n ) = 3 × 2
2
n−1
2
n−1
2
− 1)
−2