Nombre de palindromes en binaire inférieurs à 2

Nombre de palindromes en binaire inférieurs à 2n
Soit n>0 un entier naturel. Si on note P(n) le nombre de palindromes (non nuls) en bi-
naire à nchiffres alors
P(n)=(2n
2si nest pair
2n−1
2si nest impair
On note N(2n) le nombre de palindromes compris entre 1 et 2n(inclus). Nous allons mon-
trer que :
N(2n)=(2(2 n
2−1) si nest pair
3×2n−1
2−2 si nest impair
Démonstration. Comme 2nest le plus petit nombre à nchiffres en binaire et comme ce
n’est pas un palindrome, le nombre N(2n) est égal à la somme des nombres de palin-
dromes à n−1 chiffres, à n−2 chiffres, ..., et à 1 chiffre. Ainsi :
N(2n)=P(n−1) +P(n−2) +P(n−3) +P(n−4+ · · · + P(2) +P(1)
•Si nest pair alors n−1 est impair, n−2 est pair, etc. Par suite :
N(2n)=2(n−1)−1
2+2
n−2
2+2(n−3)−1 2+2
n−4
2+ · · · + 1+1
=2
n−2
2+2
n−2
2+2
n−4
2+2
n−4
2+ · · · + 1+1
On voit qu’on peut regrouper les termes deux à deux :
N(2n)=2³2
n−2
2+2
n−4
2+ · · · + 1´
Si on note n=2kalors :
N(2n)=2³22k−2
2+22k−4 2+ · · · + 1´
donc :
N(2n)=2³2k−1+2k−2+ · · · + 20´
=2×2k−1
2−1
=2(2k−1)
Et comme k=n
2, on en déduit que N(2n)=2(2 n
2−1).
•Si nest impair, alors n−1 est pair, n−2 est impair, etc. ce qui donne :
N(2n)=2(n−1)
2+2(n−2)−1 2+2(n−3) 2+2(n−4)−1 2+ · · · + 1+1
=2
n−1
2+2
n−3
2+2
n−3
2+2
n−5
2+ · · · + 1+1
On voit qu’on peut regrouper les termes deux à deux, sauf pour le premier terme :
N(2n)=2
n−1
2+2³2
n−3
2+2
n−5
2+ · · · + 1´
1

Si n=2k+1 alors
N(2n)=2
n−1
2+2³2(2k+1)−3 2+2(2k+1)−5 2+ · · · + 1´
=2
n−1
2+2³2k−1+2k−2+ · · · + 20´
=2
n−1
2+2×2k−1
2−1
=2
n−1
2+2(2k−1)
Et comme k=n−1
2alors
N(2n)=2
n−1
2+2(2
n−1
2−1)
d’où
N(2n)=3×2
n−1
2−2
2