Probabilités - 2eme année d`économie et de gestion

Probabilités
Chapitre 6 : Loi normale ou loi de Laplace-Gauss ........................................................................................ 1
Section 1 : Définition. ................................................................................................................................... 1
Section 2 : Représentation graphique. ....................................................................................................... 1
Section 3 : Fonction de répartition. ............................................................................................................. 2
Section 4 : Définitions .................................................................................................................................. 2
A- Espérance - Variance .......................................................................................................................... 2
B- Variable aléatoire centrée réduite .................................................................................................... 2
C- Somme de variables aléatoires. ........................................................................................................ 3
Section 5 : Calcul de probabilités pour N(0, 1). ........................................................................................ 3
A- Utilisation de la table ......................................................................................................................... 3
B- Utilisation de la table 2. ..................................................................................................................... 4
Section 6 : Calculs de probabilité pour une loi N (m, ) ....................................................................... 4
Chapitre 7 : Condition d’application de la loi normale................................................................................ 5
Section 1 : Théorème central limite. ........................................................................................................... 6
Section 2 : Approximation d’une loi binomiale. ...................................................................................... 6
Section 3 : Approximation d’une loi de Poisson. ..................................................................................... 7
Chapitre 8 : Couples de variables aléatoires discrètes. ................................................................................ 7
Section 1 : Couples de variables aléatoires discrètes. ............................................................................. 7
Section 2 : Lois marginales ........................................................................................................................... 8
Section 3 : Fonction de répartition. ............................................................................................................. 8
A- Fonction de répartition du couple. .................................................................................................. 8
B- Fonction de répartition marginale. .................................................................................................. 9
Section 4 : Loi de probabilité conditionnelle. .......................................................................................... 9
Section 5 : Indépendance de deux variables. .......................................................................................... 10
Section 6 : Espérance conditionnelle ........................................................................................................ 11
Section 7 : Variance conditionnelle. ......................................................................................................... 12
Chapitre 6 : Loi normale ou loi de Laplace-Gauss
Section 1 : Définition.
La variable aléatoire absolument continue X suit une loi normale (ou loi de Laplace-Gauss) si
X prend ses valeurs dans R si elle admet pour densité de probabilité :
2
mx
2
1
e
2
1
)x(f 
On dit que X est une variable aléatoire normale (ou gaussienne) de paramètres m,
),m(N~X
On admettra que
 1dt)t(f
Section 2 : Représentation graphique.
La fonction présente un maximum en x = m.
Elle est croissante de à m, et décroissante de m à .
La fonction présente deux points d’inflexion : m - et m + .
Soit x R, 2m – x R

f (2m – x) =
2
mxm2
2
1
e
2
1
f (2m – x) =
2
xm
2
1
e
2
1
f (2m – x) = f (x)
Section 3 : Fonction de répartition.
Par définition.
F (x) =
xdt)t(f
F (x) =
xmt
2
1
dte
2
1
2
F’ (x) = f (x)
f > 0 donc F’ > 0 croissante.
F’’(x) = f’(x)
F’’(m) = 0 F’’ change de signe en m
x = m est un point d’inflexion de F.
Cf est symétrique par rapport à x = m.
 1dt)t(f
   mm
2
1
)m(F5,0dt)t(f1dt)t(f2
Section 4 : Définitions
A- Espérance - Variance
),m(N~X
E(X) = m
V(X) =
²
B- Variable aléatoire centrée réduite
Soit X une variable aléatoire.
Définition :
La variable aléatoire
)X(EX 
est la variable aléatoire centrée réduite associée à X.
Propriété :
La variable aléatoire centrée réduite associée à X a une espérance nulle et une variance égale à 1.
1²
²
1
)X(V
²
1
)X(EX
V
0)]X(E)X(E[
1
))X(EX(E
1
)X(EX
E
Propriété :
Soit
),m(N~X

Alors
)1,0(N~
mX
.
La loi N (0, 1) est la loi normale centrée réduite de densité f(x) =
2
²x
e
2
1
C- Somme de variables aléatoires.
Soit
),m(N~X 111
et
),m(N~X 222
X1 et X2 indépendantes.
)²²,mm(N~XX 212121
Soit
),m(N~X 21i
pour i = 1, …, n
Xi indépendantes.
n
1i
n
1i
ii ²,m
Section 5 : Calcul de probabilités pour N(0, 1).
Soit U ~ N(0, 1) de densité f (x) =
2
²x
e
2
1
de fonction de répartition
x2
²t
e
2
1
)x(
Table 1 :
p (U < u) connaissant u on lit les probabilités.
Table 2 :
On connaît la probabilité, on lit les fractiles.
A- Utilisation de la table
On lit
)uU(p)u( 
connaissant u.
Exemple 1 :
U ~ N(0, 1)
p (U < 0,27) = 0,6064
p (U < 1,74) = 0,9591
p (U > 1,21) = 0,1131
Propriété 1 :
U ~ N(0, 1)
p (U > u) = 1 – p (U < u) = 1 - (u)
Exemple :
p (U < - 0,38) = p (U > 0,38) = 1 – p (U < 0,38) = 1 – 0,648 = 0,352.
Propriété 2 :
Soit U ~ N(0, 1)
P (U < - u) = 1 – p (U < u) = 1 - (u)
Propriété 3 :
Soit U ~ N(0, 1)
0u5,0)u(
0u5,0)u(

Propriété 4 :
U ~ N (0, 1)
)u()u(uUup 1221
Exemple :
p ( - 0,2 < u < 1,07) = (1,07) - (- 0,2) = (1,07) – 1 + (0,2) = 0,8577 – 1 + 0,5793 = 0,437
p ( -1 < u < 1) = (1) - (-1) = (1) – 1 + (-1) = 2 (1) – 1 = 0,6826
Propriété 5 :
Soit U ~ N(0, 1)
p (
U
< u) = 2 (u) – 1
p (
U
> u) = 2 - 2 (u)
p (
U
> 0) = 1 – p (
U
< u) = 1 – (2 (u) – 1) = 2 - 2 (u).
Exemple :
P (U < 1,646)
(1,64) = 0,9495 et (1,65) = 0,9505
(1,646) = 0,9501
p (U < 1,646) = 0,9501.
B- Utilisation de la table 2.
Définition :
On appelle fractile d’ordre ( [0 ; 1]) pour une fonction de répartition F, la valeur
U
/ F (
U
) =
. P (U <
U
) = .
Exemples :
U ~ N (0, 1)
Déterminer u / p (U < u) = 0,975 U = 1,96
Déterminer u / p (U < u) = 0,2.
0,2 < 0,5 u < 0.
On lit 0,8416.
u = - 0,8416.
Déterminer u / p (U > u) = 0,05 u / p (U < u) = 0,95 u = 1,6449.
Déterminer u / p (-1,16 < U < u) = 0,5.
(-1,16) = 0,123. (u) = 0,623 U = 0,3134.
Section 6 : Calculs de probabilité pour une loi N (m, )
X ~ N (m, ) alors
mX 
~ N (0, 1)
Exemples de calcul de probabilité :
1) X ~ N (3, 2) p (X < 6,24)
1ère étape : Se ramener à une loi centrée réduite.
P (X < 6,24) = p
2
324,6
2
3X
= p
62,1
2
3X
.

On pose U =
2
3X 
U ~ N (0, 1).
2ème étape : On fait le calcul avec U. p (U < 1,62) = 0,9474
3ème étape : Conclusion p (X < 6,24) = 0,9474.
2) X ~ N (-4, 5) p (X < 1,65)
p (X < 1,65) = p
5
465,1
5
4X
p (U < 1,13) = 0,8709
p (X < 1,65) = 0,8709.
3) X ~ N (-2, 4) p (X > 4,94)
p (X > 4,94) = p
4
294,4
4
2X
p (U > 1,735) = 1 – 0,9587 = 0,0413
p (X > 4,94) = 0,0413
4) X ~ N (-3, 4) p (-5 < X < -1)
p (-5 < X < -1) = p
4
31
4
3X
4
35
p (-0,5 < U) = 0,3085
P (U < 0,5) = 0,6905
P (-5 < X < -1) = 0,6905 – 0,3085 = 0,383
1) Soit X ~ N (2, 0,5)
Déterminer x / p (X < x) = 0,675
p
5,0
2x
5,0
2X
= 0,675
p (2X – 4 < 2x – 4) = 0,675
2x – 4 = 0,4538
2x = 4,4538
x = 2,2269
2) Soit X ~ N (1, 3)
Déterminer x / p (X < x) = 0,294.
X = - 0,5417 * 3 + 1 = - 0,6251
3) Soit X ~ N (-3, 1)
Déterminer x / p (- 4,53 < X < x) = 0,687
P
1
3x
1
3X
1
353,4
= 0,687
P ( - 1,53 < U < x + 3 ) = 0,687
( - 1,53) = 0,063
( x + 3 ) = 0,75
x + 3 = 0,6745
x = - 2,3255
Chapitre 7 : Condition d’application de la loi normale.