Théorème des accroissements finis

Théorème des accroissements finis Théorème 4 des ACCROISSEMENTS FINIS ( Joseph Louis Lagrange 1736-­‐1813)
Entre 2 points a et b, selon certaines conditions, il existe un point où la pente de la tangente est la même que la pente de la droite entre a et b Si f est 1) continue sur [a, b], 2) dérivable sur ]a, b [ f (b) − f (a)
Alors il existe un nombre c dans ]a, b [ tel que f '(c) =
b−a
f
f(b) • f(b)-­‐f(a) f(a) • b-­‐a x [ c ] a b Illustration graphique f (b) − f (a)
Puisque représente la pente de la droite entre a et b et que b−a
f '(c) est la pente de la tangente à f en (c;f(c)), le théorème des accroissements finis indique qu’il existe au moins une valeur c entre a et b telle que la pente de la tangente à f au point d’abscisse c est égal à la pente de la droite entre a et b. Démonstration Soit f une fonction satisfaisant les hypothèses. f
• f(b) f(b)-­‐f(a) f(a) • [ c a b-­‐a ] b x f (b) − f (a)
( x − a ) + f (a) b−a
Posons ϕ (x) := f(x) -­‐ d(x) (ϕ est une fonction auxiliaire qui est définie comme la distance algébrique entre les graphiques de f et de d) Équation de la sécante d passant par (a;f(a)) et (b;f(b)) : d(x) =
d
ϕ(x) f(x) d(x) f
x ϕ satisfait aux hypothèses du théorème de ROLLE car : ϕ(a) = ϕ(b) = 0 ϕ est continue sur [a;b] ϕ est dérivable sur ]a;b[ Donc il existe un nombre c ∈ ]a;b[ tel que ϕ’(c) = 0 Or ϕ′(x) = f '(x) − d '(x) et ϕ′(c) = 0 , alors f ′(c) − d '(c) = 0 ⇒ f ′(c) = d '(c) f (b) − f (a)
f (b) − f (a)
et comme d '(c) =
on a f ′(c) =
. b−a
b−a
!