1 - DÉRIVATION DE FONCTION I. NOMBRE DÉRIVÉ ET
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DÉRIVATION DE FONCTION
I. NOMBRE DÉRIVÉ ET TANGENTE
Idée générale : Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Dans l’optique d’étudier les variations de cette fonction nous allons chercher à approximer localement la courbe de f par
une droite, c'est-à-dire à approximer la fonction f par une fonction affine et ce en chaque point de la courbe.
Définition : Soit a un nombre réel appartenant à I. Soit une fonction f définie en a et au voisinage de a.
f(a + h)− f(a)
La fonction f est dérivable en a si et seulement si il existe un nombre réel L tel que : lim
=L
h →0
h
Définitions :
• Le nombre
• Si lim
h →0
f ( a + h) − f ( a )
est appelé le taux d’accroissement de f entre a et a + h.
h
f(a + h)− f(a)
n’est pas un nombre réel alors on dit que f n’est pas dérivable en a.
h
Définition : Dans les conditions du théorème précédent, on appelle L le nombre dérivé de f en a. On note : f ′( a ) = L
Aspect géométrique de la dérivée : tangente à la courbe en un point (exemple)
y
On a tracé ci-contre la courbe représentative de la fonction
2
définie sur par : f(x) = x – x
La droite T est la tangente à en 1.
M1 et M1+h sont les point de d’abscisses 1 et 1 + h.
On considère la corde (M1M1+h), en pointillés sur le graphique.
1
1. Déterminer graphiquement le coefficient directeur de T :
M1+h
T
2. Déterminer en fonction de h :
• Les coordonnées de M1+h :
0
•
M1
1
x
1+h
Le coefficient directeur de (M1M1+h) :
Lorsque h tend vers 0 :
• le point M1+h « se déplace » vers le point M1.
• La droite (M1M1+h) se déplace de la même manière
pour atteindre comme position limite la tangente T.
3. Calculez la limite de ce coefficient directeur lorsque h tend vers 0 : Que représente-t-il ?
4. Quel est le signe de f '(1) ? Que peut on en déduire, localement en 1, pour la fonction f ?
Théorème : Soit a un nombre réel. Soit une fonction f dérivable en a de représentation graphique .
Le coefficient directeur de la tangente à au point Ma d’abscisse a est égal au nombre dérivé de f en a.
Théorème : L’équation de la tangente à
au point Ma d’abscisse a est : y = f ′(a ) (x – a) + f(a)
Exemple : Donner l’équation de la tangente T dans l’exemple ci-dessus.
-1-
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II. FONCTIONS DÉRIVÉES
Définition : Soit une fonction f dont l’ensemble de définition est un intervalle ou une réunion d’intervalles.
Soit 1 l’ensemble de tous les réels x de tels que f soit dérivable en x. ( 1 ⊂ )
On dit alors que f est dérivable sur 1.
On appelle fonction dérivée de f la fonction f ′ qui à tout réel x de 1 associe le nombre dérivé de f en x.
On note : f ′ : 1 →
x a f ′(x)
Exemple :
Soit la fonction f définie sur
par : f(x) = x2. Soit x ∈
quelconque et soit h non nul, alors :
f(x + h) – f(x)
=
h
Lorsque h tend vers 0 : lim
h →0
=
Quelle que soit la valeur de x dans IR ce calcul est valable et la limite est finie.
Nous pouvons donc affirmer que la fonction carré : f(x) = x2 est dérivable sur et que sa fonction dérivée est la
→
fonction :
f′ :
x a f ′(x) =
Exercice :
Déterminer l’ensemble de dérivation et les fonctions dérivées des fonctions suivantes :
f définie sur par : f(x) = k
f définie sur par : f(x) = x
f définie sur R* par : f(x) =
Avec k ∈ R.
Théorème : Dérivées des fonctions usuelles
Le tableau ci-dessous donne les dérivées de certaines fonctions usuelles. Les résultats non démontrés précédemment
seront admis ou traités en exercice.
Ensemble de
*
[0 ; +∞[
définition
1
mx+p
ax2+bx+c
Fonction f(x)
k
x
x2
x3
xn n ∈ *
x
x
m,p ∈ R a,b,c ∈ R
Fonction
3x2
nxn – 1
m
2ax + b
Dérivée f ′(x)
Ensemble de
dérivation
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Propriétés : Opérations sur les fonctions dérivables
Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I, soit k un nombre réel et soit n ∈ IN.
k
Fonction
Dérivée
Ensemble de
dérivation
u+v
u’ + v’
I
[ x2 –
k
I
[ 5x2]’ = 5×[ x2 ]’ = 5×2x = 10x
I
[x x]’ = [ x ]’ x + x [ x ]’ = x +
u avec k ∈
u
v
1
v
u’
u’ v + u
−
v’
v′
v2
Exemple
1
1
1
]’ = [ x2] ’ – [ ]’ = 2x + 2
x
x
x
x
2 x
=
3
x
2
I \ {v(x) = 0}
[
1
2x
2x
2
]’= – 2 2 = – 4 = – 3
x2
(x )
x
x
[
x+1
1× (2x – 1) – 2× (x + 1)
3
]’ =
=–
2x – 1
(2x – 1)2
(2x – 1)2
u
v
u ′ × v − v′ × u
v2
I \ {v(x) = 0}
u2
2u’u
I
[(3x + 1)2 ]’ = 2×3×(3x + 1) = 18x + 6
Exercices :
1. Pour chaque fonction donnée en exemple dans le tableau ci-dessus, déterminer l’ensemble sur lequel elle est dérivable
2. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer son ensemble de dérivabilité puis calculer sa fonction dérivée.
3
5
3
b(x) = 5x –
c(x) = (x2 – 3)(3 – 2x2)
(sans développer)
a(x) = x4 – x3 – 4x + 3
2
6
x
7t – 3
–4
d(t) =
e(x) = 2
1 – 9t
7x + 1
III. DÉRIVÉE ET SENS DE VARIATION D’UNE FONCTION
1. Signe de la dérivée et sens de variation
Théorème : Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I.
Si, pour tout x ∈ I, f '(x) = 0, alors f est constante sur I.
Si, pour tout x ∈ I, f '(x) 0, alors f est décroissante sur I.
Si, pour tout x ∈ I, f '(x) 0 , alors f est croissante sur I.
Exercice : Etudier les variations d’une fonction
Soit la fonction f définie sur R par f(x) = x3 – 3x2 –24x + 12
1. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation.
2. Dans repère orthogonal aux unités judicieusement choisies, représenter graphiquement la fonction f.
2. Extremum d'une fonction
Théorème : Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle ouvert I.
Si la dérivée f ' de f s'annule et change de signe en un réel c de I alors f admet un extremum en x = c.
Exercice :
La fonction f définie sur R par f(x) = –x3 + 3x2 + 9x – 4 admet-elle des extrema sur R ?
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