TRIGONOMETRIE

TRIGONOMETRIE- Exercices -1eS- Série N°1
Exercice 1 :

Dans le triangle ABC , rectangle en A , on note   ABC et on définit :
AB
BC
AC
sin(  ) 
,
BC
sin(  )
tan(  ) 

cos( )
cos( ) 
cot an( ) 
1°)
2°)
,
,
1
cos( )


tan(  ) sin(  )
Première propriété : Montrer que cos 2 ( )  sin 2 ( )  1
 
Soit (C ) , dans le repère orthonormé R(O, i , j ) , le cercle de centre O et de
rayon 1 ; et M ( xM , y M ) , un point de (C )

On note   i , OM


(Voir figure ci-dessous )
a) Vérifier que cos( )  xM , sin(  )  y M et tan( )  t M
b) Redémontrer la propriété dans 1°)
Exercice 2 :
L’unité de mesure pour les angles est le radian (rad )
 rad est la mesure principale de l’angle plat

1°)
rad est la mesure principale de l’angle droit
2
ABC est un triangle équilatéral de côté 1, on note H la projeté orthogonal du
point C sur le segment AB


a) Donner la mesure principale de chacun des angles   CAH et   BCH
 
 
 
 
b) Calculer cos  , sin   , cos  et sin  
3
6
3
6
2°)
ABCD est un carré de côté 1

a) Donner la mesure principale de l’angle   CAB
 
 
b) Calculer cos  et sin  
4
4
Exercice 3 :
1°)
Soit M un point du cercle trigonométrique (C ) , et notons x la mesure

principale de l’angle   i , OM


Exprimer en fonction de cos(x) , sin( x ) ou tan( x) chacune des expressions
suivantes :
cos(  x )
et
sin(  x)
 x)
et
sin(
 x)
et
sin(
et
sin(   x)
cos( x   )
et
sin( x   )
cos( x  2 )
et
sin( x  2 )
cos( x  8 )
et
sin( x  4 )
cos( x  5 )
et
sin( x  11 )
cos( x  2k )
et
sin( x  2k )
(k Z )
cos( x  (2k  1) )
et
sin( x  (2k  1) )
(k Z )
cos(
cos(

2

2
cos(  x)

2

2
 x)
 x)
tan(  x)
tan( x   )
tan( x  k )
(k Z )
2°)
Discuter suivant les valeurs de k  Z la valeur exacte de chacune des
expressions suivantes :


cos( k )
sin( k )
cos( k )
sin( k )
;
;
;
2
2
Exercice 4 :
1°)
Reproduire
remarquables :
(
le
les multiples de 

2

les multiples de
4

les multiples de
3

les multiples de
6
les multiples de
2°)
Que vaut :

cos( )
3

cos( )
4

cos( )
2
5
cos( )
6
5
cos( )
4
5
cos( )
3
cercle
trigonométrique
dans
0;2 
dans
0;2 
dans
0;2 
dans
0;2 
dans
0;2  …
sin(
sin(
sin(

3

4

avec
les
principaux
)


)
cos( )
6
sin(
)
cos(0)
sin( 0)
)
cos(
2
5
sin(
)
6
5
sin(
)
4
7
sin(
)
4
2
)
3
sin(
6
)
2
)
3
cos( )
sin(  )
3
)
2
11
cos(
)
6
3
)
2
11
sin(
)
6
cos(
sin(
angles


sin(  )
2
3
sin(  )
4
11
sin(
)
4
cos(  )
4
7
cos(  )
4
7
cos( )
2
Exercice 5 :
cos( 
3
)
2
sin( 
sin( 2 )
cos( 2 )
cos(
2
)
3
11
)
3
sin(
 9
)
4
 869 
 869 
Le but de cet exercice est de calculer cos
 et sin 

 6 
 6 
869


 a  2k et    a  
6
6
6

869
( a est appelée valeur principale de
)
6
6
1°)
Trouver les deux entiers a et k tels que
2°)
 869 
 869 
Donner alors cos
 et sin 

 6 
 6 
3°)
Déterminer la valeur principale de chacun des angles suivants puis préciser,
dans chaque cas, cos( ) et sin(  )
373
4
93
 
4

;
;
224
3
222

6

358
6
358
 
4

;
;
Exercice 6 :
1°)
Rappeler les principaux formules trigonométriques :
cos( a  b) 
cos( a  b) 
sin( a  b) 
sin( a  b) 
tan( a  b) 
tan( a  b) 
2°)
Redémontrer les propriétés donnant :
cos(  x )
sin(  x)
;
cos(
cos(

2


 x)
;
sin(
 x)
;
;
 x)
2
sin(   x)
;
sin( x   )
2
cos(  x)
cos( x   )
sin(
2
 x)

;
;
47
3
7

3

cos( x  2k )
;
sin( x  2k )
(k Z )
cos( x  (2k  1) )
;
sin( x  (2k  1) )
(k Z )
Exercice 7 :
1°)
a) Exprimer cos(2 x) en fonction de cos(x) seulement
b) Exprimer cos(2 x) en fonction de sin( x ) seulement
2°)
a) Exprimer cos(3x) en fonction de cos(x) seulement
b) Exprimer sin( 3x) en fonction de sin( x ) seulement
Exercice 8 :
Démontrer les égalités suivantes :
(sin( x)  cos( x)) 2  1  sin( 2 x)
(sin( x)  cos( x))(1  sin( x) cos( x))  sin 3 ( x)  cos 3 ( x)
sin 4 ( x)  cos 4 ( x)  1  cos 2 ( x)
sin( x)
1  cos( x)

1  cos( x)
sin( x)
(cos( x)  sin( x)) 2  (cos( x)  sin( x)) 2  2 sin( 2 x)
Exercice 9 :
1°)
 
 
a

b

 3
4 12
Résoudre le système d’équations d’inconnu (a, b) suivante : 
a   b   5 
 3
12
12
2°)
Calculer alors cos(

12
),
sin(

12
),
cos(
5
)
12
Exercice 10 :
1°)
Donner une relation entre cos 2 ( x) et sin 2 ( x )
2°)
a) Exprimer cos 2 ( x) en fonction de cos(2 x)

b) En déduire la valeur de cos( )
8
Exercice 11 :
 
Soit   0;  tel que cos( ) 
 4
1°)
a) Quel est le signe de sin(  ) ?
2 2
2
et
sin(
5
)
12
b) Donner une relation entre cos 2 ( ) et sin 2 ( )
c) Trouver alors la valeur de sin(  )
2°)
a) Exprimer sin( 2 x ) en fonction de sin( x ) et cos(x)
b) Calculer alors sin( 2 )
c) Trouver la valeur exacte de 
Exercice 12 :
Soit x un nombre réel tel que 0  x 

et
2
Calculer cos(2 x) et en déduire la valeur de x
cos( x) 
6 2
4
Exercice 13 :
 
Soit deux nombres réels x et y éléments de 0;  tels que :
 2
sin( x) 
1°)
6 2
4
et
cos( y ) 
3
2
2
 6 2
2 3
 
a) Vérifier que 

4
4


b) Calculer cos(x)
c) Calculer sin( y ) ; quelle est la valeur de y ?
2°)
a) Calculer cos( x  y )
et
sin( x  y )
b) Calculer cos( x  y )
et
sin( x  y ) ; en déduire la valeur de x
Exercice 14
Démontrer que dans un triangle ABC rectangle en A, sin2A=sin2B+sin2C.
La réciproque est-elle vraie ?