DM8 bis - MP Camille Vernet

Frédéric Dupré, classe de MP lycée Camille Vernet, Valence
XMP 2015-2016 DM N°8 bis (5/2)
0. Préliminaire :
Soient
k
,
K
et
L
trois corps vérifiant
⊂ ⊂
k K L
. On suppose que
L
est un
K
-espace vectoriel de dimension
finie, et que
K
est un
k
-espace vectoriel de dimension finie. Prouver que
L
est un
k
-espace vectoriel de dimension finie,
et donner sa dimension (résultat connu sous le nom de "théorème de la base télescopique").
On se donne maintenant deux corps
k
et
K
(typiquement,
=
k Q
et
=
K R
), avec
⊂
k K
. Un élément
α
de
K
est dit algébrique sur
k
s'il existe un polynôme non nul Q de
[ ]
X
k
tel que
( ) 0
Q
α =
. Dans le cas contraire,
α
est dit
transcendant sur
k
.
1. a. Prouver que les réels
7
,
3
2 4
et
3
7 2 4
− sont algébriques sur
Q
, et donner pour chacun un polynôme non
nul à coefficients rationnels dont il est racine.
b. Prouver que tout nombre complexe est algébrique sur
R
.
c. Prouver que les réels algébriques sur
Q
sont les racines des polynômes non nuls à coefficients entiers .
d. Soit P un polynôme non nul de
[ ]
X
Z
,
1 0
p
p
P a X a X a
= + + +
… avec
0
p
a
≠
. On appelle poids de P l'entier :
0
( )
p
k
k
P p a
=
γ = +
∑
.
Étant donné un entier N, prouver qu'il n'existe qu'un nombre fini de polynômes de poids égal à N.
En déduire que l'ensemble
{
}
/ [ ], ( ) 0 et ( )
N
P X P P N
= α∈ ∃ ∈ α = γ =
A R Z
est fini.
e. Prouver que l'ensemble
A
des réels algébriques sur
Q
est dénombrable, et en déduire l'existence de réels trans-
cendants sur
Q
.
2. a. Soit
α∈
K
. On note
{
}
[ ] ( ), [ ]
P P X
α = α ∈
k k
. Prouver que
[ ]
α
k
est un
k
-espace vectoriel, et en donner une
famille génératrice.
b. On suppose que
[ ]
α
k
est de dimension finie sur
k
. En envisageant une famille comportant trop d'éléments,
prouver que
α
est algébrique sur
k
.
c. Réciproquement, on suppose que
α
est algébrique sur
k
. Soit
0
[ ]
P X
∈
k
un polynôme non nul de degré p dont
α
est racine. Prouver que :
{
}
[ ] ( ), [ ] avec deg( ) 1
P P X P p
α = α ∈ ≤ −
k k
.
En déduire que
[ ]
α
k
est de dimension finie sur
k
.
3. On fixe un élément
α∈
K
dont on suppose qu'il est algébrique sur
k
.
a. Prouver que
[ ]
α
k
est un anneau.
b. On fixe un élément non nul
0
x
de
[ ]
α
k
. Prouver que
[ ]
α
k
est un corps en considérant l'application :
0
[ ] [ ]
:u
x x x
α → α
k k
֏
.
4. Soient deux éléments
α
et
β
de
K
, supposés algébriques sur
k
.
a. Prouver que
β
est algébrique sur le corps
[ ]
α
k
.
b. On pose
{
}
[ , ] ( , ), [ , ]
P P X Y
α β = α β ∈
k k
.
Justifier que
[ , ] [ ][ ]
α β = α β
k k
.
c. En déduire que
[ , ]
α β
k
est de dimension finie sur
k
.
d. Prouver que
α+β
et
αβ
sont algébriques sur
k
.
5. Prouver que l'ensemble
A
des réels algébriques sur
Q
est un corps.
N.B. : les réels
e
,
π
,
2
2
sont transcendants sur
Q
… mais c'est très délicat à démontrer !