DM8 bis - MP Camille Vernet

XMP 2015-2016
DM N°8 bis (5/2)
0. Préliminaire :
Soient k , K et L trois corps vérifiant k ⊂ K ⊂ L . On suppose que L est un K -espace vectoriel de dimension
finie, et que K est un k -espace vectoriel de dimension finie. Prouver que L est un k -espace vectoriel de dimension finie,
et donner sa dimension (résultat connu sous le nom de "théorème de la base télescopique").
On se donne maintenant deux corps k et K (typiquement, k = Q et K = R ), avec k ⊂ K . Un élément α de K
est dit algébrique sur k s'il existe un polynôme non nul Q de k[ X ] tel que Q(α) = 0 . Dans le cas contraire, α est dit
transcendant sur k .
1.
a. Prouver que les réels 7 , 2 3 4 et 7 − 2 3 4 sont algébriques sur Q , et donner pour chacun un polynôme non
nul à coefficients rationnels dont il est racine.
b. Prouver que tout nombre complexe est algébrique sur R .
c. Prouver que les réels algébriques sur Q sont les racines des polynômes non nuls à coefficients entiers.
d. Soit P un polynôme non nul de Z[ X ] , P = a p X p + … + a1 X + a0 avec a p ≠ 0 . On appelle poids de P l'entier :
p
γ ( P ) = p + ∑ ak .
k =0
Étant donné un entier N, prouver qu'il n'existe qu'un nombre fini de polynômes de poids égal à N.
En déduire que l'ensemble A N = {α ∈ R / ∃ P ∈ Z[ X ], P (α) = 0 et γ ( P ) = N } est fini.
e. Prouver que l'ensemble A des réels algébriques sur Q est dénombrable, et en déduire l'existence de réels transcendants sur Q .
2.
a. Soit α ∈ K . On note k[α] = { P (α), P ∈ k[ X ]} . Prouver que k[α ] est un k -espace vectoriel, et en donner une
famille génératrice.
b. On suppose que k[α ] est de dimension finie sur k . En envisageant une famille comportant trop d'éléments,
prouver que α est algébrique sur k .
c. Réciproquement, on suppose que α est algébrique sur k . Soit P0 ∈ k[ X ] un polynôme non nul de degré p dont
α est racine. Prouver que :
k[α] = { P(α), P ∈ k[ X ] avec deg( P) ≤ p − 1} .
En déduire que k[α] est de dimension finie sur k .
3.
On fixe un élément α ∈ K dont on suppose qu'il est algébrique sur k .
a. Prouver que k[α ] est un anneau.
b. On fixe un élément non nul x0 de k[α ] . Prouver que k[α ] est un corps en considérant l'application :
k[α] → k[α]
.
u:
 x ֏ x0 x
4.
Soient deux éléments α et β de K , supposés algébriques sur k .
a. Prouver que β est algébrique sur le corps k[α ] .
b. On pose k[α, β] = { P (α, β) , P ∈ k[ X , Y ]} .
Justifier que k[α, β] = k[α][β] .
c. En déduire que k[α, β] est de dimension finie sur k .
d. Prouver que α + β et αβ sont algébriques sur k .
5.
Prouver que l'ensemble A des réels algébriques sur Q est un corps.
N.B. : les réels e , π , 2
2
sont transcendants sur Q … mais c'est très délicat à démontrer !
Frédéric Dupré, classe de MP lycée Camille Vernet, Valence