Exercices fonctions homographiques EXERCICE 1

Seconde
2010-2011
Exercices fonctions homographiques
EXERCICE 1 :
3x + 1
.
On considère la fonction f définie sur R∗ par f (x) =
x
b
où b est un nombre réel à
1. Prouver que f (x) peut s’écrire, pour tout x 6= 0, sous la forme 3 +
x
déterminer.
2. Démontrer que cette fonction est décroissante sur ] − ∞; 0[ et sur l’intervalle ]0; +∞[.
EXERCICE 2 :
Dans la ligne de saisie du logiciel Geogebra, on tapr l’expression suivante pour définir une fonction f :
f (x) = Si[x < 0, x2 + 4x − 1, (−2x − 3)/(x + 3)]
1. Calculer les images par f des réels −2 ; −1 ; 0 ; 1 et 2.
2. Écrire un algorithme permettant de calculer l’image par f d’un réel quelconque. Vérifier les résultats
de la question 1. en faisant fonctionner cet algorithme sur un logiciel de programmation.
3. La courbe obtenue avec le logiciel Geogebra est donnée ci-dessous :
Cf
1
0
1
(a) Quels sont les réels α et β tels que : x2 − 4x + 1 = (x − α)2 + β ? En déduire les variations de f
sur chacun des intervalles ] − ∞; −2] et [−2; 0].
b
−2x − 3
=a+
pour tout x 6= −3.
(b) Déterminer deux réels a et b tels que
x+3
x+3
(c) Montrer que f est décroissante sur [0; +∞[.
(d) Établir le tableau de variations de f .
4. Question ouverte : montrer que − est le minimum de f sur R.
EXERCICE 3 :
Soit la fonction f définie par
x2 + 2
f (x) = 3 + x −
x+1
Elle est représentée ci-contre sur une partie de son
ensemble de définition.
1. Quel est l’ensemble de définition de la fonction
f ? (justifier) Comment cela se traduit-il sur la
représentation graphique ?
2. Par lecture graphique, dire quel nombre ne
semble pas avoir d’antécédent par la fonction f .
4x + 1
,
3. Montrer que f (x) peut s’écrire f (x) =
x+1
puis prouver par le calcul que le nombre trouvé
à la question précédente n’a pas d’antécédent.
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Cf
1
0 1