Exercices fonctions homographiques EXERCICE 1

Seconde Exercices fonctions homographiques 2010-2011
EXERCICE 1 :
On considère la fonction fdéfinie sur R∗par f(x) = 3x+ 1
x.
1. Prouver que f(x) peut s’écrire, pour tout x6= 0, sous la forme 3 + b
xoù best un nombre réel à
déterminer.
2. Démontrer que cette fonction est décroissante sur ] − ∞; 0[ et sur l’intervalle ]0; +∞[.
EXERCICE 2 :
Dans la ligne de saisie du logiciel Geogebra, on tapr l’expression suivante pour définir une fonction f:
f(x) = Si[x < 0, x2+ 4x−1,(−2x−3)/(x+ 3)]
1. Calculer les images par fdes réels −2 ; −1 ; 0 ; 1 et 2.
2. Écrire un algorithme permettant de calculer l’image par fd’un réel quelconque. Vérifier les résultats
de la question 1. en faisant fonctionner cet algorithme sur un logiciel de programmation.
3. La courbe obtenue avec le logiciel Geogebra est donnée ci-dessous :
01
1
Cf
(a) Quels sont les réels αet βtels que : x2−4x+ 1 = (x−α)2+β? En déduire les variations de f
sur chacun des intervalles ] − ∞;−2] et [−2; 0].
(b) Déterminer deux réels aet btels que −2x−3
x+ 3 =a+b x+ 3 pour tout x6=−3.
(c) Montrer que fest décroissante sur [0; +∞[.
(d) Établir le tableau de variations de f.
4. Question ouverte : montrer que −est le minimum de fsur R.
EXERCICE 3 :
Soit la fonction fdéfinie par
f(x) = 3 + x−x2+ 2
x+ 1
Elle est représentée ci-contre sur une partie de son
ensemble de définition.
1. Quel est l’ensemble de définition de la fonction
f? (justifier) Comment cela se traduit-il sur la
représentation graphique ?
2. Par lecture graphique, dire quel nombre ne
semble pas avoir d’antécédent par la fonction f.
3. Montrer que f(x) peut s’écrire f(x) = 4x+ 1
x+ 1 ,
puis prouver par le calcul que le nombre trouvé
à la question précédente n’a pas d’antécédent.
01
1
Cf
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