Logique mathématique 26 avril 2005

Logique math´ematique
26 avril 2005
Veuillez `a justifier vos r´eponses; la qualit´e de la r´edaction sera not´ee.
1. Soit L={f, a, b}un langage avec un symbole de fonction unaire fet deux symboles
de constantes a, b.
(a) Donner les L-termes de L.
(b) Donner les L-formules atomiques de L.
(c) Exprimer par un L-´enonc´e le fait que la fonction fest injective.
(d) Montrer que R=hR,exp,0,1iest une L-structure.
(e) Soit S=hR,sin,0,1iune Lstructure (vous ne devez pas le prouver). D´eterminer
si Ret Ssont ´el´ementairement ´equivalentes?
2. On consid`ere tous les filtres sur N.
(a) Y-a-t-il un filtre comprenant {1,2,3}et ne comprenant pas {n∈N|n≥3}. Si
oui, d´ecrivez ces filtres.
(b) {1,2,3}a-t-il la PIF ?
(c) Soit E⊆ F un filtre sur N,Ea-t-il la PIF ?
3. Soit Iun ensemble infini, Lun langage fix´e et (Ai)i∈Iune famille de L-strucures
v´erifiant T hL(Ai) = Tpour tout i∈I, soit Uun ultrafiltre sur I. Quelle est
T hL(ΠUAi)?
4. Soit Iun ensemble infini, Lun langage fix´e et (Bi)i∈Iune famille de L-structures et U
un ultrafiltre non-principal sur I.
Supposons que pour tout L-´enonc´e σ, on a que Eσ={i∈I| Bi|=σ}est soit fini, soit
cofini. Prouver que T hL(ΠUBi) = {σ|σest un L − ´enonc´e et Eσest cofini}.
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5. Soit Lun langage fix´e, soit θ(X) une L-formule. Soit Zun symbole de pr´edicat unaire
/∈ L. Soit A,Bdeux L-structures. On consid`ere le langage LZ=L ∪ {Z}. On
peut naturellement consid´erer Aet Bcomme des LZ-structures en interpr´etant Zpar
ZA={a∈A| A |=θ(a)}.
(a) Soit la LZformule
ϕ=∃X1∃X2∃X3^
1≤i<j≤3
Xi6=Xj∧^
1≤i≤3
Z(Xi)
trouver une L-formule ψtel que A |=ϕ⇔ψ.
(b) Prouver que si A ≡LBalors A ≡LZB.
(c) Prouver que si A ≺LBalors A ≺LZB.
6. (a) R2est-il un espace?
(b) {n∈N|nest racine de X17 + 3X7+ 13X5+ 5X3+ 2X+ 11}est-il un espace?
Est-ce un ensemble r´ecursivement ´enum´erable?
(c) {n∈N|na pour reste 3 pour la division par 5}est-il un espace? Est-ce un en-
semble r´ecursivement ´enum´erable?
7. Calculer les cardinaux de Z[X]∪Net R×2C.
8. Prouver (en utilisant Schroeder-Bernstein) que l’ensemble des parties finies de Ra
mˆeme cardinal que R.
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