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Feuille d’exercices n 4 - ESPACES VECTORIELS NORMÉS
NORMES
NATURE ET LIMITES DE SUITES
Exercice 140. ()
Exercice 145. ()
Kn, pour x P E, on pose }x}p |xi|p (avec p ¡ 1).
i1
(on ne demande pas de vérifier que } }p est une norme)
Prouver que, pour tout x P E, lim }x}p }x}8 .
pÑ 8
Exercice 146. ()
Soit A P Mp pKq et pBn qn P Mp pKqN tel que Bn Ñ B.
Soit pE, } }q un K-e.v.n. et f un endomorphisme de E.
1. En utilisant une norme matricielle, prouver que ABn Ñ AB.
On définit l’application N sur E en posant N pX q }f pX q}. Déterminer une
condition nécessaire et suffisante pour que N soit une norme sur E.
2. De même, avec P P GLp pKq, prouver que P 1 Bn P Ñ P 1 BP .
On peut donc « passer à la limite » à l’intérieur d’un produit matriciel, résultat
Exercice 141. ()
1
que l’on pourra utiliser pour les exercices suivants sans le redémontrer.
ņ
p
Soit E
Exercice 142. ()
1. Montrer que N : R2
ÑR; N
x
y
sup |x
Pr s
t 0,1
Trouver la limite de la suite matricielle pAn qn¥1
Exercice 147. ()
Soient pA, B q P Mp pRq2 tels que pAB qn
ty | est une norme sur R2 .
Exercice 148. ()
2. Représenter la boule unité fermée pour cette norme.
} } : A ÞÑ
a
trpt AAq et }A}8
1. Écrire }A} en fonction des éléments ai,j de la matrice A.
1 n
n .
1
Ñ Op. Montrer que pBAqn Ñ Op.
81
¸
Ak .
k!
k 0
Montrer que exppAq est bien définie et que detpexppAqq exp(trpAq).
sup |ai,j |.
Exercice 149. ( )
¤ ¤
Soit A P Mp pRq diagonalisable telle que SppAq €s 1, 1r. Montrer An
1 i,j n
Exercice 150. ( )
} } est une norme sur MnpRq.
3. Montrer que : Dpα, β q2 P R2 , @A P Mn pRq, α}A}8 ¤ }A} ¤ β }A}8 .
4. (a) Montrer que } } est une norme matricielle, c’est à dire :
@pA, B q P MnpRq2, }AB } ¤ }A} }B }.
(b) Caractériser les couples pA, B q pour lesquels }AB } }A} }B }.
Exercice 144. ( )
ņ
On définit sur Mn pCq l’application } } : A ÞÑ max
|aij |
1¤i¤n
j 1
Montrer que } } est une norme matricielle sur Mn pCq.
Ñ 0p.
Soit A P Mn pRq une matrice antisymétrique telle que la suite pAk qkPN converge
vers B dans Mn pRq. Montrer que B est la matrice nulle.
2. Montrer que
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1
où An 1
n
Soit A P Mp pRq diagonalisable dans R. On pose exppAq Exercice 143. ( )
Soit E Mn pRq.
On définit sur E les applications
Exercice 151. ( )
Condition sur A P Mn pKq existe-t-il M
Exercice 152. ()
P MnpKq telle que nÑlim8M n A ?
un
On définit dans l’e.v. euclidien R3 , la suite pZn q vn par :
wn
$
u0
& un
vn
Z0 v0 et @n P N,
%
w0
wn
1
1
1
1
1
3 un
1
3 un
1
3 un
61 wn 61
1
1
2 v n 3 wn
1
1
3 v n 3 wn
61
61
PSI - 2016-2017
Feuille d’exercices n 4 - ESPACES VECTORIELS NORMÉS
La norme euclidienne est notée
} }.
LIMITES DE FONCTIONS VECTORIELLES
1. Montrer que la suite pZn qn vérifie une relation matricielle linéaire de la Exercice 158. ()
forme Zn 1 AZn B avec A et B à préciser.
Étudier la limite en p0, 0q des fonctions suivantes :
2
2
3
2. Montrer que la suite pZn qn admet un point fixe que l’on précisera.
2. f px, y q xx2 2y
1. f px, y q xy
3. f px, y q |xx| |yy|
y2
3. Montrer que, pour tout vecteur X de R3 , on a }AX } ¤ k }X }, où k Ps0, 1r.
Exercice 159. ()
(Indication : On exploitera copieusement l’inégalité ab ¤ 12 pa2 b2 q)
Étudier la limite en p0, 0q des fonctions suivantes :
3
3
2
4. Montrer que la suite pZn qn converge et préciser sa limite.
1. f px, y q xx2 yy2 2. f px, y q x4x yy2 3. f px, y q x4xyy4 4. f px, y q TOPOLOGIE
Exercice 160. ()
ÞÑ z1 est continue sur C.
Exercice 161. ()
tn etx
Montrer que f : px, tq ÞÑ
est continue sur R2 .
1 t2 x2
Exercice 162. ()
Montrer que l’application f : px, y q ÞÑ y x est continue sur R R .
Exercice 163. ( )
#
sin y sin x
si x y
y x
Continuité de f : R2 Ñ R définie par : f px, y q cos x
si x y
Soit O un ouvert d’un e.v.n. E. O est-il égal à l’intérieur son adhérence ?
Soit F un fermé d’un e.v.n. E. F est-il égal à l’adhérence de son intérieur ?
Montrer que f : z
Exercice 154. ()
Montrer que Z est un fermé de R.
}q un K-e.v.n. et F
un s.e.v. de E.
1. On suppose que F admet un point intérieur. Montrer que F
E.
2. On suppose F de dimension finie, montrer que F est un fermé de E.
Exercice 156. ( )
1. GLn pCq est-il un s.e.v. de Mn pCq ?
Exercice 164. ()
2. Montrer que toute matrice de Mn pCq est adhérente à GLn pCq.
(On dit que Mn pCq ”dense” dans Mn pCq)
Soit f la fonction définie par : f px, y q Exercice 157. ( )
"
p
ln 1 xy
x
y
P
a A
1. Montrer que dpx, Aq est bien définie et prouver que :
?
q si x 0
.
si x 0
1. Déterminer son domaine de définition D.
" lnp1 tq
si t 0
t
2. Prouver que ϕ : t ÞÑ
est continue sur
1
si t 0
3. Prouver que f est continue sur D.
Soit E un e.v.n. et A une partie non-vide de E.
Pour x P E, on pose dpx, Aq inf }x a} (qui se lit distance de x à A).
s 1; 8r.
Exercice 165. ()
@px, yq P E E, |dpx, Aq dpy, Aq| ¤ }x y}
Soit pE, } }q un e.v.n. de dimension finie et h : E Ñ E.
On suppose que h admet une limite, L, en 0E et @x P E,
Prouver que h est constante.
2. Montrer que dpx, y q 0 ô x adhérent à A.
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CONTINUITÉ ET PROLONGEMENT PAR CONTINUITÉ
Exercice 153. ()
Exercice 155. ( ) Soit pE, }
xy
x y
2
h
x
2
hpxq.
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Feuille d’exercices n 4 - ESPACES VECTORIELS NORMÉS
Exercice 166. ()
Soit h P C 1 pR, Rq et ∆ tpx, y q P R2 | x y u.
On défini l’application f : R2 z∆ Ñ R par f px, y q 1. Calculer, si possible, lim f px, y q et lim f px, y q.
y
Ñx
x
Exercice 171. ( )
Soit a, b non nuls dans un R-e.v. E et f définie par :
hpxq hpy q
.
xy
@t P R, f ptq }a
Ñy
1. Prouver que f est continue et lipschitzienne.
2. Prouver que lim f ptq 2. Prouver que f est prolongeable par continuité sur R2 .
"
t ln t si t ¡ 0
3. Soit ϕ : t ÞÑ
.
0
si t 0
Ñ8
t
3. Prouver que tt P R | at
(b) Soit f P pR, Rq et pour x y, Φpx, y q pf py q f pxqq ln |x y |.
Montrer que Φ se prolonge par continuité sur R2 .
Soit E un e.v.n., et A une partie non-vide de E.
Pour tout x P E, on pose dpx, Aq inf }x a} (qui se lit ”distance de x à A”).
C1
Soit f : E
Ñ F vérifiant :
@px, yq P E 2, f px
P
a A
1. Montrer que dpx, Aq est bien définie.
}E q et pF, } }F q des e.v.n. réels.
y q f px q
8.
b P B p0, 1qu un intervalle ouvert de R ou vide.
Exercice 172. ( )
(a) Montrer que ϕ est continue sur R .
Exercice 167. () Soient pE, }
2. Prouver que d : x ÞÑ dpx, Aq est 1-lipschitzienne sur E.
3. Montrer que dpx, Aq 0 équivaut à x est adhérent à A.
f py q et f continue en 0E
4. On suppose E de dimension finie.
Montrer que f est continue sur E, puis que f est linéaire.
(a) Justifier que si A est un fermé borné, alors il existe a0 dans A tel que :
Exercice 168. ()
dpx, Aq }x a0 }.
Soit E un K-e.v.n. de dimension finie. Montrer que tout hyperplan est fermé.
(b) Soit K un fermé borné. Justifier qu’il existe x0 dans K tel que :
FONCTIONS LIPSCHITZIENNES
dpx0 , Aq inf dpx, Aq.
Exercice 169. ()
Soit pE, }
P
}q un e.v.n. et on note T : E Ñ E l’application définie par :
"
u
si }u} ¤ 1
.
T puq u
}u} si }u} ¥ 1
x K
Exercice 173. ()
Soient E un e.v.n. de dimension finie et u un endomorphisme de E vérifiant :
@x P E, }upxq} ¤ }x}
Montrer que les espaces Kerpu Idq et Impu Idq sont supplémentaires.
n
°
uk et calculer vn pu Idq.)
(on pourra considérer vn n 1 1
Montrer que T est 2-lipschitzienne.
Exercice 170. ()
Soit pE, } }q un e.v.n. de dimension finie, K un fermé borné de E et f : K
ÞÑ K :
@px, yq P K K, x y ñ }f pxq f pyq} }x y}
Montrer que f a un unique point fixe. (Considérer g : x ÞÑ }f pxq x})
Lycée de l’Essouriau - Les Ulis
tb}
k 0
Exercice 174. ()
Prouver le résultat de l’exercice n 145 sans utiliser de norme matricielle.
3
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Feuille d’exercices n 4 - ESPACES VECTORIELS NORMÉS
Exercice 179. ( )
APPLICATIONS MULTILINÉAIRES
Soit E
Prouver que GLn pRq est un ouvert de Mn pRq.
Exercice 176. ()
Soit E un espace vectoriel euclidien.
Montrer que l’ensemble tpx, y q P E 2 | px, y q libreu est un ouvert de E 2 .
EN DIMENSION INFINIE
Soit E
C 0pr0, 1s, Rq, N1pf q sup |f ptq| et N2 pf q Pr s
x 0,1
»1
0
et |f ptq| dt.
1. Démontrer que N1 et N2 sont des normes.
2. Trouver k tel que @f
P E,
N2 pf q ¤ kN1 pf q.
3. On considère la suite de fonctions pfn q définies sur r0, 1s par :
fn : x ÞÑ
"
1 nx si 0 ¤ x ¤ n1
.
0
si n1 x ¤ 1
Les fonctions fn sont-elles dans E ?
4. Calculer N1 pfn q et N2 pfn q.
1. Prouver que la suite pfn q de fonctions de E définie par f pxq
converge dans pE, N8 q vers la fonction f : x ÞÑ 11 x .
2. En déduire un sous-espace vectoriel de E qui ne soit pas fermé.
C pr0, 1s, Rq. On définit les normes
} }1, }
}2 et } }8 par :
» 1
»1
1{2
}f }1 |f ptq| dt }f }2 f ptq2 dt
}f }8 sup |f ptq|
0
Exercice 182. ()
Pr s
t 0,1
} }1 avec } }8, puis comparer } }2 avec } }8.
Déterminer une suite pfn q avec } fn }8 1 mais }fn }1 Ñ 0 et }fn }2 Ñ 0.
Comparer } }1 et } }2 .
?
En considérant la suite de fonctions fn : x ÞÑ 2n 1 xn définie sur r0, 1s,
3.
4.
montrer que le rapport
n
°
xk
k 0
ņ
Soit E
1.
2. Montrer que D n’est continue en aucun point de E.
3. Montrer que f : P ÞÑ P p0q et f D sont continues de pE, }
}fn }2
}fn }8 n’est pas borné.
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ņ
RrX s muni de la norme } aiX i} |ai|.
i0
i0
Montrer que D : P ÞÑ P 1 est linéaire, mais n’est pas continue en 0E .
1. Comparer
2.
2
x 0,a
Exercice 178. ()
0
C1
Pr s
5. Montrer que pfn q converge dans pE, N2 q mais diverge dans pE, N1 q.
Soit E
»1
pr0, 1s, Rq.On pose N : f ÞÑ |f p0q|
pf 1ptqq2 dt.
0
?
1. Montrer que c’est une norme et que» @f P E, }f }8 ¤ 2N pf q.
x
(Indication : Écrire f pxq f p0q
f 1 ptq dt)
0
2. En exploitant la suite de fonction fn : x ÞÑ p1 xqn définies sur r0, 1s,
montrer qu’il n’existe pas de constante k telle que @f P E, N pf q ¤ k }f }8 .
Exercice 180. ()
deg
pP q
¸
Soit E RrX s. Pour P P E zt0E u, on écrit P ak X k .
k 0
On pose : }P } maxt|ak |, 0 ¤ k ¤ deg pP qu et }0} 0.
ņ
1 k
X .
Pour tout n de N, on pose Pn k
k 1
1. Montrer que } } est une norme de E.
2. Calculer }Pn }. En déduire que pPn qn ne converge pas vers 0 dans pE, } }q.
1
.
3. Soit P P E de degré d. Montrer que pour n ¥ d 1, on a }Pn P } ¥
d 1
4. En déduire que la suite pPn q est divergente au sens de } }.
Exercice 181. ()
Soit a Ps0, 1r et E C pr0, asq muni de }f }8 sup |f pxq|.
Exercice 175. ()
Exercice 177. ()
d
4
}q dans pR, | |q.
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