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Feuille d’exercices n 4 - ESPACES VECTORIELS NORM´ ES
NORMES
Exercice 140. ( )
Soit E, un K-e.v.n. et fun endomorphisme de E.
On d´efinit l’application Nsur Een posant N X f X . D´eterminer une
condition n´ecessaire et suffisante pour que Nsoit une norme sur E.
Exercice 141. ( )
Soit EKn, pour x E, on pose xp
n
i1
xip
1
p
(avec p1).
(on ne demande pas de v´erifier que pest une norme)
Prouver que, pour tout x E, lim
pxpx.
Exercice 142. ( )
1. Montrer que N:R2R;Nx
ysup
t0,1
x ty est une norme sur R2.
2. Repr´esenter la boule unit´e ferm´ee pour cette norme.
Exercice 143. ( )
Soit EMnR.
On d´efinit sur Eles applications : Atr tAA et Asup
1i,j n
ai,j .
1. ´ Ecrire Aen fonction des ´el´ements ai,j de la matrice A.
2. Montrer que est une norme sur MnR.
3. Montrer que : α, β 2R2,AMnR,α A A β A .
4. (a) Montrer que est une norme matricielle, c’est `a dire :
A, B MnR2, AB A B .
(b) Caract´eriser les couples A, B pour lesquels AB A B .
Exercice 144. ( )
On d´efinit sur MnCl’application : Amax
1i n
n
j1
aij
Montrer que est une norme matricielle sur MnC.
NATURE ET LIMITES DE SUITES
Exercice 145. ( )
Soit AMpKet Bn n MpKNtel que BnB.
1. En utilisant une norme matricielle, prouver que ABnAB.
2. De mˆeme, avec PGLpK, prouver que P1BnP P 1BP .
On peut donc «passer `a la limite »`a l’int´erieur d’un produit matriciel, r´esultat
que l’on pourra utiliser pour les exercices suivants sans le red´emontrer.
Exercice 146. ( )
Trouver la limite de la suite matricielle An n 1o`u An
11
n
1
n1
n
.
Exercice 147. ( )
Soient A, B MpR2tels que AB nOp. Montrer que BA nOp.
Exercice 148. ( )
Soit AMpRdiagonalisable dans R. On pose exp A
k0
1
k!Ak.
Montrer que exp Aest bien d´efinie et que det exp Aexp(tr A).
Exercice 149. ( )
Soit AMpRdiagonalisable telle que Sp A1,1 . Montrer An0p.
Exercice 150. ( )
Soit AMnRune matrice antisym´etrique telle que la suite AkkNconverge
vers Bdans MnR. Montrer que Best la matrice nulle.
Exercice 151. ( )
Condition sur AMnKexiste-t-il MMnKtelle que lim
nMnA?
Exercice 152. ( )
On d´efinit dans l’e.v. euclidien R3, la suite Zn
un
vn
wn
par :
Z0
u0
v0
w0
et nN,
un1
1
3un
1
6wn61
vn1
1
3un
1
2vn
1
3wn61
wn1
1
3un
1
3vn
1
3wn61
Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis 1 PSI - 2016-2017

Feuille d’exercices n 4 - ESPACES VECTORIELS NORM´ ES
La norme euclidienne est not´ee .
1. Montrer que la suite Zn n v´erifie une relation matricielle lin´eaire de la
forme Zn1AZnBavec Aet B`a pr´eciser.
2. Montrer que la suite Zn n admet un point fixe que l’on pr´ecisera.
3. Montrer que, pour tout vecteur Xde R3, on a AX k X , o`u k0,1 .
(Indication : On exploitera copieusement l’in´egalit´e ab 1
2a2b2)
4. Montrer que la suite Zn n converge et pr´eciser sa limite.
TOPOLOGIE
Exercice 153. ( )
Soit Oun ouvert d’un e.v.n. E.Oest-il ´egal `a l’int´erieur son adh´erence ?
Soit Fun ferm´e d’un e.v.n. E.Fest-il ´egal `a l’adh´erence de son int´erieur ?
Exercice 154. ( )
Montrer que Zest un ferm´e de R.
Exercice 155. ( ) Soit E, un K-e.v.n. et Fun s.e.v. de E.
1. On suppose que Fadmet un point int´erieur. Montrer que F E.
2. On suppose Fde dimension finie, montrer que Fest un ferm´e de E.
Exercice 156. ( )
1. GLnCest-il un s.e.v. de MnC?
2. Montrer que toute matrice de MnCest adh´erente `a GLnC.
(On dit que MnC”dense” dans MnC)
Exercice 157. ( )
Soit Eun e.v.n. et Aune partie non-vide de E.
Pour x E, on pose d x, A inf
a A x a (qui se lit distance de x`a A).
1. Montrer que d x, A est bien d´efinie et prouver que :
x, y E E, d x, A d y, A x y
2. Montrer que d x, y 0xadh´erent `a A.
LIMITES DE FONCTIONS VECTORIELLES
Exercice 158. ( )
´
Etudier la limite en 0,0 des fonctions suivantes :
1. f x, y x3
y2. f x, y x2y
x2y23. f x, y x2y2
x y
Exercice 159. ( )
´
Etudier la limite en 0,0 des fonctions suivantes :
1. f x, y x3y3
x2y22. f x, y x2y x4y23. f x, y xy x4y44. f x, y xy
x y
CONTINUIT´ E ET PROLONGEMENT PAR CONTINUIT ´ E
Exercice 160. ( )
Montrer que f:z1
zest continue sur C.
Exercice 161. ( )
Montrer que f:x, t tnetx
1t2x2est continue sur R2.
Exercice 162. ( )
Montrer que l’application f:x, y yxest continue sur R R .
Exercice 163. ( )
Continuit´e de f:R2Rd´efinie par : f x, y
sin ysin x
y x si x y
cos xsi x y ?
Exercice 164. ( )
Soit fla fonction d´efinie par : f x, y
ln 1 xy
xsi x0
ysi x0.
1. D´eterminer son domaine de d´efinition D.
2. Prouver que ϕ:t
ln 1 t
tsi t0
1 si t0est continue sur 1; .
3. Prouver que fest continue sur D.
Exercice 165. ( )
Soit E, un e.v.n. de dimension finie et h:E E.
On suppose que hadmet une limite, L, en 0Eet x E, h x
2h x .
Prouver que hest constante.
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Feuille d’exercices n 4 - ESPACES VECTORIELS NORM´ ES
Exercice 166. ( )
Soit hC1R,Ret ∆ x, y R2x y .
On d´efini l’application f:R2∆Rpar f x, y h x h y
x y .
1. Calculer, si possible, lim
y xf x, y et lim x yf x, y .
2. Prouver que fest prolongeable par continuit´e sur R2.
3. Soit ϕ:ttln tsi t0
0 si t0.
(a) Montrer que ϕest continue sur R.
(b) Soit fC1R,Ret pour x y, Φ x, y f y f x ln x y .
Montrer que Φ se prolonge par continuit´e sur R2.
Exercice 167. ( ) Soient E, Eet F, Fdes e.v.n. r´eels.
Soit f:E F v´erifiant :
x, y E2, f x y f x f y et fcontinue en 0E
Montrer que fest continue sur E, puis que fest lin´eaire.
Exercice 168. ( )
Soit Eun K-e.v.n. de dimension finie. Montrer que tout hyperplan est ferm´e.
FONCTIONS LIPSCHITZIENNES
Exercice 169. ( )
Soit E, un e.v.n. et on note T:E E l’application d´efinie par :
T u usi u1
u
usi u1.
Montrer que Test 2-lipschitzienne.
Exercice 170. ( )
Soit E, un e.v.n. de dimension finie, Kun ferm´e born´e de Eet f:K K :
x, y K K, x y f x f y x y
Montrer que fa un unique point fixe. (Consid´erer g:x f x x )
Exercice 171. ( )
Soit a, b non nuls dans un R-e.v. Eet fd´efinie par :
tR, f t a tb
1. Prouver que fest continue et lipschitzienne.
2. Prouver que lim
tf t .
3. Prouver que tRat b B 0,1 un intervalle ouvert de Rou vide.
Exercice 172. ( )
Soit Eun e.v.n., et Aune partie non-vide de E.
Pour tout x E, on pose d x, A inf
a A x a (qui se lit ”distance de x`a A”).
1. Montrer que d x, A est bien d´efinie.
2. Prouver que d:x d x, A est 1-lipschitzienne sur E.
3. Montrer que d x, A 0 ´equivaut `a xest adh´erent `a A.
4. On suppose Ede dimension finie.
(a) Justifier que si Aest un ferm´e born´e, alors il existe a0dans Atel que :
d x, A x a0.
(b) Soit Kun ferm´e born´e. Justifier qu’il existe x0dans Ktel que :
d x0, A inf
x Kd x, A .
Exercice 173. ( )
Soient Eun e.v.n. de dimension finie et uun endomorphisme de Ev´erifiant :
x E, u x x
Montrer que les espaces Ker u Id et Im u Id sont suppl´ementaires.
(on pourra consid´erer vn
1
n1
n
k0
uket calculer vnu Id .)
Exercice 174. ( )
Prouver le r´esultat de l’exercice n 145 sans utiliser de norme matricielle.
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Feuille d’exercices n 4 - ESPACES VECTORIELS NORM´ ES
APPLICATIONS MULTILIN ´ EAIRES
Exercice 175. ( )
Prouver que GLnRest un ouvert de MnR.
Exercice 176. ( )
Soit Eun espace vectoriel euclidien.
Montrer que l’ensemble x, y E2x, y libre est un ouvert de E2.
EN DIMENSION INFINIE
Exercice 177. ( )
Soit EC00,1,R,N1fsup
x0,1
f t et N2f
1
0
etf t dt.
1. D´emontrer que N1et N2sont des normes.
2. Trouver ktel que f E, N2f kN1f.
3. On consid`ere la suite de fonctions fnd´efinies sur 0,1 par :
fn:x1nx si 0 x1
n
0 si 1
nx1.
Les fonctions fnsont-elles dans E?
4. Calculer N1fnet N2fn.
5. Montrer que fnconverge dans E, N2mais diverge dans E, N1.
Exercice 178. ( )
Soit EC0,1,R. On d´efinit les normes 1,2et par :
f1
1
0
f t dt f 2
1
0
f t 2dt
1 2
fsup
t0,1
f t
1. Comparer 1avec , puis comparer 2avec .
2. D´eterminer une suite fnavec fn1 mais fn10 et fn20.
3. Comparer 1et 2.
4. En consid´erant la suite de fonctions fn:x2n1xnd´efinie sur 0,1 ,
montrer que le rapport fn2
fnn’est pas born´e.
Exercice 179. ( )
Soit EC10,1,R.On pose N:f f 02
1
0
f t 2dt.
1. Montrer que c’est une norme et que f E, f 2N f .
(Indication : ´ Ecrire fx f0
x
0
f t dt)
2. En exploitant la suite de fonction fn:x1xnd´efinies sur 0,1 ,
montrer qu’il n’existe pas de constante ktelle que f E, N f k f .
Exercice 180. ( )
Soit ERX. Pour P E 0E, on ´ecrit P
deg P
k0
akXk.
On pose : Pmax ak,0k deg P et 0 0.
Pour tout nde N, on pose Pn
n
k1
1
kXk.
1. Montrer que est une norme de E.
2. Calculer Pn. En d´eduire que Pn n ne converge pas vers 0 dans E, .
3. Soit P E de degr´e d. Montrer que pour n d 1, on a PnP1
d1.
4. En d´eduire que la suite Pnest divergente au sens de .
Exercice 181. ( )
Soit a0,1 et EC0, a muni de fsup
x0,a
f x .
1. Prouver que la suite fnde fonctions de Ed´efinie par f x
n
k0
xk
converge dans E, N vers la fonction f:x1
1x.
2. En d´eduire un sous-espace vectoriel de Equi ne soit pas ferm´e.
Exercice 182. ( )
Soit ERXmuni de la norme
n
i0
aiXi
n
i0
ai.
1. Montrer que D:P P est lin´eaire, mais n’est pas continue en 0E.
2. Montrer que Dn’est continue en aucun point de E.
3. Montrer que f:P P 0 et f D sont continues de E, dans R,.
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