Sujet d`Étude : Classification des R

Mathématiques Spéciales
Premier Devoir à la Maison
Sujet d’Étude : Classification des R-algèbres intègres
Première partie : Les quaternions
Du 15/09/2014 au 29/09/2014
On pose
Si K est un corps commutatif, on rappelle qu’une K-algèbre est un ensemble A muni
d’une structure de K-espace vectoriel, et d’une structure d’anneau, telles que
∀λ ∈ K ∀a, b ∈ A
2. Montrer que H peut être muni d’une structure de R-algèbre. Calculer sa dimension et
trouver une base (très simple) de la forme (1, I, J, K) telle qu’on ait la table de multiplication suivante :
Si A est une K-algèbre, on dit qu’elle est intègre (resp. commutative) si, pour la structure
d’anneau, A est intègre (resp. commutatif ). On dit qu’elle est de dimension finie si, pour la
structure de K-espace vectoriel, elle est de dimension finie. Si P ∈ K[X], P définit canoniquement une fonction polynomiale sur A en posant :
∞
P
k=0
·
1
I
J
K
Pk a k
Si a ∈ A, comme toutes les puissances de a commutent, il est évident que
∀P, Q ∈ K[X]
(P + Q)(a) = P(a) + Q(a)
¸¯
¾
−b ¯
¯ a, b ∈ C
a
a
b
1. Montrer que H est un corps, non commutatif.
λ(ab) = (λa)b = a(λb)
P(a) =
½·
H est appelé l’ensemble des quaternions, étudié pour la première fois par Hamilton.
Par exemple, K[X], K(X), Mn (K), sont des K-algèbres.
∀a ∈ A
H=
1
1
I
J
K
I
I
−1
−K
J
J
J
K
−1
−I
K
K
−J
I
−1
3. Résoudre l’équation « x 2 + 1 = 0 » dans H. Combien a-t-elle de solutions ? Est-ce étonnant, vu que cette équation est de degré 2 ?
(PQ)(a) = P(a)Q(a)
Il est également clair que l’application
K −→ A
λ 7−→ λ · 1A
Deuxième partie : R-algèbres commutatives intègres
Dans cette partie, A est une R-algèbre intègre commutative de dimension finie n > 2.
est un morphisme d’anneaux injectif, ce qui permet d’identifier K à un sous-anneau de A :
autrement dit, si λ ∈ K, alors λ · 1A sera noté λ. En particulier, 1A est simplement noté 1.
1. Soit x 0 ∈ A tel que x 0 ∉ R. Montrer que (1, x 0 ) est libre. En utilisant les questions préliminaires, montrer qu’il existe a, b ∈ R tels que x 02 = a + bx 0 et b 2 + 4a < 0. On pose
B = Vect (1, x 0 ).
Le but de ce problème est de classifier les R-algèbres intègres de dimension finie, et de
prouver le théorème de classification de Frobenius : toute R-algèbre intègre de dimension
finie non nulle est isomorphe à R, C, ou H (le corps des quaternions).
2. En déduire qu’il existe y 0 ∈ B tel que y 02 = −1. Prouver alors que l’application
C −→ B
z 7−→ Re z + (Im z) y 0
Questions préliminaires
Soit A une K-algèbre intègre de dimension finie n ∈ N? .
est un isomorphisme de R-algèbres.
1. Montrer que A est un corps.
3. On suppose que B ( A. Il existe donc z 0 ∈ A tel que z 0 ∉ B.
Indication : Si x ∈ A n’est pas nul, considérer l’application y 7−→ x y définie sur A.
(a) Prouver qu’il existe t 0 ∈ Vect (1, z 0 ) tel que t 02 = −1.
2. Soit a ∈ A.
(b) Prouver que t 0 = y 0 ou t 0 = −y 0 et conclure.
(a) Montrer que Ia = {P ∈ K[X] | P(a) = 0} est un idéal de K[X] et que Ia 6= {0}.
Ceci prouve la première partie du théorème de Frobenius : A = B est donc isomorphe à C.
Indication : Considérer la famille (a k )k∈N et utiliser la dimension.
(b) On note alors P0 le générateur principal de Ia . Prouver que P0 est irréductible.
1
Mathématiques Spéciales
Premier Devoir à la Maison
Troisième partie : R-algèbres non commutatives intègres
Dans cette partie, A est une R-algèbre intègre, non commutative, de dimension finie.
1. Soit x 0 ∈ A tel que x 0 ∉ R. En posant B = Vect (x 0k )k∈N , montrer que B est isomorphe à C.
En particulier, il existe i ∈ A tel que i2 = −1 et on identifie Vect (1, i) avec C. Dans toute
la suite, on notera
A+ = {x ∈ A | x i = i x}
A− = {x ∈ A | x i = −i x}
2. Montrer que l’application
C × A −→ A
(z, x) 7−→ zx
permet de munir A d’une structure de C-espace vectoriel.
3. Montrer que A+ et A− sont des C-sous-espaces de A, supplémentaires.
4. Montrer que A+ est une C-algèbre de dimension finie qui contient C.
5. En déduire que A+ = C.
Indication : Si a ∈ A+ , montrer que VectC (a k )k∈N est une C-algèbre commutative de dimension
finie. Utiliser les questions préliminaires.
6. Montrer que
et
∀(x, y) ∈ A− × A+
x y ∈ A−
∀(x, y) ∈ A− × A−
x y ∈ A+
7. Montrer que A− 6= {0}. On prend u ∈ A− tel que u 6= 0.
(a) Montrer que l’application δ : A −→ A est C-linéaire, bijective, et δ(A± ) ⊂ A∓ .
x 7−→ xu
(b) Prouver que dimC A− = 1.
(c) Prouver que u 2 ∈ R?
−.
(d) En déduire qu’il existe j ∈ A− tel que j2 = −1.
(e) On pose k = i j. Donner la table de multiplication de (1, i, j, k).
8. Montrer que A = VectR (1, i, j, k) et trouver un isomorphisme de R-algèbres entre H et A.
2