Sujet d`Étude : Classification des R

Mathématiques Spéciales Premier Devoir à la Maison
Sujet d’Étude : Classification des R-algèbres intègres
Du 15/09/2014 au 29/09/2014
Si Kest un corps commutatif, on rappelle qu’une K-algèbre est un ensemble A muni
d’une structure de K-espace vectoriel, et d’une structure d’anneau, telles que
∀λ∈K∀a,b∈Aλ(ab)=(λa)b=a(λb)
Par exemple, K[X], K(X), Mn(K), sont des K-algèbres.
Si A est une K-algèbre, on dit qu’elle est intègre (resp. commutative) si, pour la structure
d’anneau, A est intègre (resp. commutatif). On dit qu’elle est de dimension finie si, pour la
structure de K-espace vectoriel, elle est de dimension finie. Si P ∈K[X], P définit canoni-
quement une fonction polynomiale sur A en posant :
∀a∈A P(a)=
∞
P
k=0
Pkak
Si a∈A, comme toutes les puissances de acommutent, il est évident que
∀P,Q ∈K[X] (P +Q)(a)=P(a)+Q(a) (PQ)(a)=P(a)Q(a)
Il est également clair que l’application
K−→ A
λ7−→ λ·1A
est un morphisme d’anneaux injectif, ce qui permet d’identifier Kà un sous-anneau de A :
autrement dit, si λ∈K, alors λ·1Asera noté λ. En particulier, 1Aest simplement noté 1.
Le but de ce problème est de classifier les R-algèbres intègres de dimension finie, et de
prouver le théorème de classification de Frobenius : toute R-algèbre intègre de dimension
finie non nulle est isomorphe à R,C, ou H(le corps des quaternions).
Questions préliminaires
Soit A une K-algèbre intègre de dimension finie n∈N?.
1. Montrer que A est un corps.
Indication : Si x∈An’est pas nul, considérer l’application y7−→ x y définie sur A.
2. Soit a∈A.
(a) Montrer que Ia={P ∈K[X] |P(a)=0} est un idéal de K[X] et que Ia6= {0}.
Indication : Considérer la famille (ak)k∈Net utiliser la dimension.
(b) On note alors P0le générateur principal de Ia. Prouver que P0est irréductible.
Première partie : Les quaternions
On pose H=½·a−b
b a ¸¯
¯
¯a,b∈C¾
Hest appelé l’ensemble des quaternions, étudié pour la première fois par Hamilton.
1. Montrer que Hest un corps, non commutatif.
2. Montrer que Hpeut être muni d’une structure de R-algèbre. Calculer sa dimension et
trouver une base (très simple) de la forme (1,I,J,K) telle qu’on ait la table de multipli-
cation suivante :
·1 I J K
1 1 I J K
I I −1 K −J
J J −K−1 I
K K J −I−1
3. Résoudre l’équation « x2+1=0 » dans H. Combien a-t-elle de solutions ? Est-ce éton-
nant, vu que cette équation est de degré 2 ?
Deuxième partie : R-algèbres commutatives intègres
Dans cette partie, A est une R-algèbre intègre commutative de dimension finie n>2.
1. Soit x0∈A tel que x0∉R. Montrer que (1, x0) est libre. En utilisant les questions pré-
liminaires, montrer qu’il existe a,b∈Rtels que x2
0=a+bx0et b2+4a<0. On pose
B=Vect (1, x0).
2. En déduire qu’il existe y0∈B tel que y2
0= −1. Prouver alors que l’application
C−→ B
z7−→ Re z+(Im z)y0
est un isomorphisme de R-algèbres.
3. On suppose que B (A. Il existe donc z0∈A tel que z0∉B.
(a) Prouver qu’il existe t0∈Vect (1, z0) tel que t2
0= −1.
(b) Prouver que t0=y0ou t0= −y0et conclure.
Ceci prouve la première partie du théorème de Frobenius : A =B est donc isomorphe à C.
1

Mathématiques Spéciales Premier Devoir à la Maison
Troisième partie : R-algèbres non commutatives intègres
Dans cette partie, A est une R-algèbre intègre, non commutative, de dimension finie.
1. Soit x0∈A tel que x0∉R. En posant B =Vect(xk
0)k∈N, montrer que B est isomorphe à C.
En particulier, il existe i ∈A tel que i2= −1 et on identifie Vect(1,i) avec C. Dans toute
la suite, on notera
A+={x∈A|xi=ix} A−={x∈A|xi= −ix}
2. Montrer que l’application
C×A−→ A
(z,x)7−→ zx
permet de munir A d’une structure de C-espace vectoriel.
3. Montrer que A+et A−sont des C-sous-espaces de A, supplémentaires.
4. Montrer que A+est une C-algèbre de dimension finie qui contient C.
5. En déduire que A+=C.
Indication : Si a∈A+, montrer que VectC(ak)k∈Nest une C-algèbre commutative de dimension
finie. Utiliser les questions préliminaires.
6. Montrer que ∀(x,y)∈A−×A+x y ∈A−
et ∀(x,y)∈A−×A−x y ∈A+
7. Montrer que A−6= {0}. On prend u∈A−tel que u6= 0.
(a) Montrer que l’application δ: A −→ A
x7−→ xu
est C-linéaire, bijective, et δ(A±)⊂A∓.
(b) Prouver que dimCA−=1.
(c) Prouver que u2∈R?
−.
(d) En déduire qu’il existe j ∈A−tel que j2= −1.
(e) On pose k =ij. Donner la table de multiplication de (1,i,j,k).
8. Montrer que A =VectR(1,i,j,k) et trouver un isomorphisme de R-algèbres entre Het A.
2