Rétractions et homotopies

Universit´e des Sciences et Technologies de Lille
Master Math, S2 (2008-09)
Topologie alg´ebrique, Feuille 6
§1. Homotopie des applications
1. Exercice
1.1) Prouver que le cˆone CX d’un espace X, d´efini comme l’espace quotient CX = [0,1]×X/{0}×
Xest contractile. On notera [s, x] la classe d’un ´el´ement (s, x)∈[0,1] ×Xdans CX. On pourra
prendre la classe [0, x] comme point base.
1.2) La suspension ΣXd’un espace X, d´efinie comme le quotient ΣX= [0,1] ×X/{0,1} × X,
est-elle contractile en g´en´eral? (Indication: ´etudier le cas le plus simple X=pt.)
1.3) L’ensemble
t= [0,1] × {0}∪{0,1} × [0,1] ⊂[0,1] ×[0,1]
est-il r´etract par d´eformation de [0,1] ×[0,1]?
2. Exercice
Construire des ´equivalences d’homotopies inverses φ:F2→S1et ψ:S1→F2entre les
espaces
F2={(z1, z2)∈C×Ctels que z16=z2}et S1={z∈Ctels que |z|= 1 }.
(On explicitera les homotopies telles que ψφ ∼Id et φψ ∼Id.)
3. Exercice
Prouver que des applications f, g :X→Sn−1d’un espace Xdans la sph`ere
Sn−1={−→ v∈Rntels que ||−→ v|| = 1}
telles que f(x)6=−g(x), ∀x∈X, sont (librement) homotopes vues comme applications de X
dans Rn\ {−→ 0}, puis vues comme applications de Xdans Sn−1. (On utilisera la r´etraction usuelle
r:Rn\ {−→ 0} → Sn−1pour passer de Rn\ {−→ 0}`a Sn−1.)
4. Exercice
Prouver que SO(2,R), respectivement SU(2,C), est r´etract par d´eformation de SL(2,R),
respectivement SL(2,C). On utilisera la d´ecomposition
P=Q·λ0
0λ−1·1x 0 1 ,
obtenue dans un exercice pr´ec´edent o`u λ∈R∗
+, et Q∈SO(2,R), respectivement Q∈SU(2,C).
BF, Courriel: [email protected]
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