Exercice 5

NOMBRES COMPLEXES – Série d'exercices n°1
Exercice 1
1.- Résoudre dans C :
a)
01zz 48 
b)
IRaoù,0a1z)ia1(2z 24 
c)
z)3i2(z3z 
d)
0z.zzz 
e)
0zizziz1et1z 4325 
.
f)
01z2zz2z 234 
g)
01z2z5z2z 234 
2.- Sans déterminer les racines z’ et z’’ de l’équation :
03z3z2 2
, calculer les modules de
"zet'z,
"z
1
'z
1
,"z'.z,''z'z 
.
3.- Quels sont les nombres complexes dont le carré est égal au conjugué ?
4.- Déterminer z tel que
z1et
z
1
,z 
aient le même module.
5.- Soit
2i6z 
. Comment faut-il choisir l’entier relatif k pour que z k soit imaginaire pur ?
6.- Calculer
4
3i
2
1
puis déterminer toutes les racines quatrièmes de
3
2
11
i
16
73 
Exercice 2
Soit
 z4z)z(P 3
, où  est un nombre réel.
a) Montrer que si l’équation P(z) = 0 admet une solution complexe z0, alors
0
z
est aussi
solution.
b) En déduire quel’ équation P(z) = 0 admet au moins une solution réelle,sans chercher à
résoudre l’équation.
c) Déterminer  pour que l’équation P(z) = 0 admette une racine réelle de module 2, et
résoudre l’équation pour la valeur de  ainsi trouvée.
d) Déterminer  pour que l’équation P(z) = 0 admette une racine complexe de module 2, et
résoudre l’équation pour la valeur de  ainsi trouvée.
Exercice 3
1.- Quel est le conjugué de
etxoùex i,
sont des réels ?
2.- Exprimer en fonction de
tan
les nombres
1e2e,
1e 1e i2i4
i2
i2 
Exercice 4
Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z telle que :
a)
zzz 
?
b)
0 zzzz
?
c)
2
)1( z
est réel ? imaginaire pur ?
d) z2 ait pour partie imaginaire 2 ?
e)
3
)i5zarg( 
f)
 )1z)i1arg((
Exercice 5
En calculant de deux manières différentes
nnn jj )11(,)1(,)1( 2
et en utilisant la relation
1+j+j2 = 0, déduire :
......C.....CC1S k3
n
6
n
3
n0 
....C............CCCS 1p3
n
7
n
4
n
1
n1  
.....C............CCCS 2q3
n
8
n
5
n
2
n2  

Exercice 6
1.- Soit q un nombre complexe quelconque. Montrer que :
q1q1
q......qq1alors,INnet,1qsi 1n
n2 
2.- Soit T un élément de [0 ;], et n un entier naturel non nul.
On pose
 n
1k
n
1k
nn ktsin)t(Setktcos)t(C
.
a) Calculer
)t(iS)t(C nn 
.
b) En déduire, si t = 0,
n)t(Cn
et si
2
t
sin 2t)1n(
cos
2
nt
sin
)t(C,];0]t n
Exercice 7
Soient z , z’ et u des nombres complexes tels que u² = z z’.
Montrer que
u
2'zz
u
2'zz
'zz 
Exercice 8
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct, on considère les points Ak,
)0( nk 
d’affixes :
0)
2
sin
2
(cos  aavec
n
k
i
n
k
azk
et le point M d’affixe
)sin(cos irz 
avec r >0.
a) Démontrer que
)zz).......(zz)(zz)(az(az 1n21
nn 
.
b) Dé la relation trouvée pour a = 1, déduire
n1
2n
n
)1n(
sin......
n
2
sin
n
sin 
et
1n
2
n
n2
)1n(
sin......
n2
2
sin
n2
sin 
.
Exercice 9
Pour tout complexe z, on pose
1z 1z
'z 
, et on appelle A, B M et M’ les points d’affixes 1, -1, z
et z’ dans le plan complexe.
1.- a)Comparer
1zet1z 
et en déduire |z’|.
c) Traduire géométriquement ce résultat pour le point M’.
2.- Calculer en fonction de z et
z
le complexe
1z 1'z
r
et en déduire que r est réel.
3.- Montrer que les vecteurs
 'BMetAM
sont colinéaires.
4.- Utiliser ce qui précède pour donner une construction géométrique de M’ connaissant M. O
fera une figure.
Exercice10
1.-Ecrire sous forme trigonométrique le complexe 1+ i.
2.- On pose
i
ez 
avec
2;0;0 et
.
a) Calculer
zietz)1(
2
en fonction de
et
.
b) En déduire la valeur r de pour laquelle on a l’égalité
z)i1(z2
.(1)
c) Déterminer les valeurs de
deet 210 ,
telles
i rez
vérifie l’égalité (1). On note
respectivement les nombres complexes d’argument
210 ,
et
.
3.- Soit A1 et A2 les points d’affixes respectives z1 - z0 et z2 - z0.

Calculer sous sa forme trigonométrique, le nombre complexe
01
02
zz
zz
. En déduire que le
triangle OA1A2 est équilatéral.