DS 1

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Devoir surveillé 24/09/10
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; .
Partie A Restitution organisée de connaissances
Prérequis
Soit z un nombre complexe tel que z = a + ib où a et b sont deux nombres
réels.
On note , le nombre complexe défini par  = a – ib.
Question
Démontrer que, pour tous nombres complexes z zt z’ :
 et |z×z’|=|z|×|z’|
Partie B
On considère l’équation (E) z4 = -4 où z est un nombre complexe.
1. Montrer que si z est solution de (E) alors les nombres –z et  sont
aussi solutions de l’équation (E).
2. On considère le nombre complexe z0 = 1 + i.
a. Ecrire z0 sous forme exponentielle.
b. Vérifier que z0 est solution de (E).
c. Déduire des deux questions précédentes trois autres solutions de
l’équation (E).
Partie C
Soient A, B, C et D les points d’affixes respectives :
1. Soit E le point d’affixe   . Montrer que E appartient au cercle
de centre C et de rayon BC.
2. Calculer une mesure de l’angle orienté  .
3. Soit F le point d’affixe    . Montrer que 
 est un réel.
4. Que peut-on en déduire pour les points A, E et F ?
5. Trouver l’ensemble des points M d’affixes z tels que
a. |z – 1 + i| = |z + 1 + i|,
b.      .
Devoir surveillé 24/09/10
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; .
Partie A Restitution organisée de connaissances
Prérequis
Soit z un nombre complexe tel que z = a + ib où a et b sont deux nombres
réels.
On note , le nombre complexe défini par  = a – ib.
Question
Démontrer que, pour tous nombres complexes z zt z’ :
 et |z×z’|=|z|×|z’|
Partie B
On considère l’équation (E) z4 = -4 où z est un nombre complexe.
1. Montrer que si z est solution de (E) alors les nombres –z et  sont
aussi solutions de l’équation (E).
2. On considère le nombre complexe z0 = 1 + i.
a. Ecrire z0 sous forme exponentielle.
b. Vérifier que z0 est solution de (E).
c. Déduire des deux questions précédentes trois autres solutions de
l’équation (E).
Partie C
Soient A, B, C et D les points d’affixes respectives :
1. Soit E le point d’affixe   . Montrer que E appartient au
cercle de centre C et de rayon BC.
2. Calculer une mesure de l’angle orienté  .
3. Soit F le point d’affixe    . Montrer que 
 est un réel.
4. Que peut-on en déduire pour les points A, E et F ?
5. Trouver l’ensemble des points M d’affixes z tels que
a. |z – 1 + i| = |z + 1 + i|,
b.      .