Devoir surveillé 24/09/10 Devoir surveillé 24/09/10 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; . Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; . Partie A Restitution organisée de connaissances Prérequis Soit z un nombre complexe tel que z = a + ib où a et b sont deux nombres réels. On note , le nombre complexe défini par = a – ib. Question Démontrer que, pour tous nombres complexes z zt z’ : et |z×z’|=|z|×|z’| Partie A Restitution organisée de connaissances Prérequis Soit z un nombre complexe tel que z = a + ib où a et b sont deux nombres réels. On note , le nombre complexe défini par = a – ib. Question Démontrer que, pour tous nombres complexes z zt z’ : et |z×z’|=|z|×|z’| Partie B On considère l’équation (E) z4 = -4 où z est un nombre complexe. 1. Montrer que si z est solution de (E) alors les nombres –z et sont aussi solutions de l’équation (E). 2. On considère le nombre complexe z0 = 1 + i. a. Ecrire z0 sous forme exponentielle. b. Vérifier que z0 est solution de (E). c. Déduire des deux questions précédentes trois autres solutions de l’équation (E). Partie B On considère l’équation (E) z4 = -4 où z est un nombre complexe. 1. Montrer que si z est solution de (E) alors les nombres –z et sont aussi solutions de l’équation (E). 2. On considère le nombre complexe z0 = 1 + i. a. Ecrire z0 sous forme exponentielle. b. Vérifier que z0 est solution de (E). c. Déduire des deux questions précédentes trois autres solutions de l’équation (E). Partie C Soient A, B, C et D les points d’affixes respectives : Partie C Soient A, B, C et D les points d’affixes respectives : 1. Soit E le point d’affixe . Montrer que E appartient au cercle de centre C et de rayon BC. 2. Calculer une mesure de l’angle orienté . 1. Soit E le point d’affixe . Montrer que E appartient au cercle de centre C et de rayon BC. 2. Calculer une mesure de l’angle orienté . 3. Soit F le point d’affixe – 3. Soit F le point d’affixe – . Montrer que 4. Que peut-on en déduire pour les points A, E et F ? 5. Trouver l’ensemble des points M d’affixes z tels que a. |z – 1 + i| = |z + 1 + i|, b. . 1 est un réel. . Montrer que 4. Que peut-on en déduire pour les points A, E et F ? 5. Trouver l’ensemble des points M d’affixes z tels que a. |z – 1 + i| = |z + 1 + i|, b. . est un réel.