Systèmes d`équations linéaires 1 Généralités

Lycée Berthollet
PCSI2 2016-17
Programme de colle de la semaine du 3 au 6 janvier 2017
Systèmes d’équations linéaires
Comme précédemment K désignera soit le corps R, soit le corps C.
1
I
Généralités
Systèmes linéaires
— Équation linéaire à p inconnues (x j , j ∈ [[1, p]]),
— Exemples d’équations de droites en dimension 2 et de plans en dimension 3,
— Système S de n équations linéaires à p inconnues (∀i ∈ [[1, n]],
p
X
ai, j x j = bi ),
j=1
— Système linéaire homogène associé H , seconds membres,
II
Représentation matricielle
On représente un système linéaire d’une part par le tableau A à n lignes et p colonnes des
coefficients ai, j ((i, j) ∈ [[1, n]] × [[1, p]]), qu’on appelle matrice du système H , et d’autre part
par le tableau B à n lignes et une colonne des bi (i ∈ [[1, n]]), qu’on appelle vecteur colonne
(ou matrice colonne) des seconds membres. On représente la donnée totale du système dans
un tableau (A|B) à n lignes et p + 1 colonnes formé en juxtaposant A et B, séparés par un trait
vertical, appelé matrice augmentée du système S .
III
Opérations élémentaires sur les lignes
— On traite simultanément le cas des systèmes et des matrices : échange de deux lignes
(Li ↔ L j , i 6= j), ajout à une ligne d’un multiple d’une autre (Li ← Li + λL j , i 6= j),
produit d’une ligne par un scalaire non nul (Li ← λLi , λ 6= 0).
— Équivalence par lignes : deux systèmes linéaires (resp. matrices, resp matrices augmentées) sont équivalents par lignes si l’on peut passer de l’un à l’autre par une suite finie
d’opérations sur les lignes. On notera S ∼ S 0 (resp. A ∼ A0 , resp. (A|B) ∼(A0 |B0 )). L’équiL
L
L
valence par lignes est une relation d’équivalence sur l’ensemble des systèmes linéaires
(resp. sur l’ensemble des matrices, resp. sur l’ensemble des matrices augmentées). Si
deux systèmes sont équivalents par lignes, alors ils sont équivalents d’un point de vue
logique, c’est-à-dire qu’ils ont le même ensemble de solutions. Deux systèmes linéaires
sont équivalents par lignes si et seulement si leur matrices augmentées le sont.
2
I
Échelonnement et algorithme du pivot
Matrices échelonnées
Une matrice est dite échelonnée par lignes si elle vérifie les deux propriétés suivantes :
1. Si une ligne est nulle, toutes les lignes suivantes le sont aussi ;
2. À partir de la deuxième ligne, dans chaque ligne non nulle, le premier coefficient non
nul à partir de la gauche est situé plus à droite que le premier coefficient non nul de la
ligne précédente.
L’échelonnement se traduit par le fait que la matrice vérifie un schéma “en escalier”, à marches
éventuellement inégales. Pour une matrice échelonnée, on appelle pivot le premier coefficient
non nul de chaque ligne non nulle. Une matrice échelonnée par lignes est dite échelonnée réduite
par lignes si (elle est nulle ou si) tous ses pivots sont égaux à 1 et sont les seuls éléments non
nuls de leur colonne. Le résultat fondamental de ce chapitre est le suivant :
Théorème. Toute matrice est équivalente par lignes à une unique matrice échelonnée réduite
par lignes. On admet l’unicité, qui peut se montrer à l’aide des outils d’algèbre linéaire qu’on
verra au second semestre. L’existence repose sur l’algorithme du pivot de Gauβ-Jordan, qu’on
décrit ci-dessous.
II
Algorithme du pivot
Soit A une matrice à n lignes et p colonnes. Cet algorithme mène par une suite d’opérations
élémentaires sur les lignes à l’unique matrice échelonnée réduite par lignes qui est équivalente
par lignes à la matrice A. Il se compose de trois étapes :
1. La descente, qui mène à une matrice échelonnée par lignes ;
2. La remontée, qui mène à une matrice échelonnée par lignes telle que les pivots sont les
seuls éléments non nuls de leur colonne ;
3. La normalisation, qui mène à une matrice échelonnée réduite par lignes.
Les étapes de remontée et de normalisation peuvent éventuellement être interverties.
Pour la commodité de la description des algorithmes, on prend la convention d’appeler toujours ai, j les coefficients des différentes matrices obtenues après chaque opération élémentaire.
Cette convention est cohérente avec la vision informatique des choses, où la variable représentant la matrice garde le même nom tout en étant sans cesse modifée.
Descente : Le principe de la descente est d’échelonner la matrice colonne par colonne, dans le
sens des indices croissants.
Initialisation : Si la première colonne est entièrement nulle, elle convient. Sinon, quitte à
échanger des lignes, on s’arrange pour que le coefficient a1,1 (le pivot) soit non nul. On fait
ai,1
L1 pour i ∈ [[2, n]] ce qui fait apparaître des 0 sous le pivot.
ensuite les opérations Li ← Li − a1,1
Hérédité : Supposons qu’on ait déja “échelonné” une partie de la matrice jusquà la colonne
j0 − 1 < p comprise, le dernier pivot exhibé (i.e. le plus à droite) étant dans une colonne j < j0
et en ligne i0 − 1. On considère alors la colonne j0 .
— Si les coefficients ai, j0 pour i ≥ i0 sont nuls, alors la colonne j0 convient.
— Sinon, quitte à faire des échanges de lignes, on peut s’arranger pour que ai0 , j0 6= 0 : c’est
alors notre pivot, dont on se sert pour faire apparaître des 0 en dessous de lui, par les
2
opérations élémentaires
Li ← Li −
ai, j0
Li , pour i ∈ [[i0 + 1, n]]
ai0 , j0 0
puis la colonne j0 convient.
On continue ainsi jusqu’à la dernière colonne et on obtient une matrice échelonnée par lignes.
Remontée : on parcourt cette fois les colonnes par ordre décroissant des indices, et dans
chaque colonne contenant un pivot, on effectue des opérations élémentaires pour faire apparaître des 0 au dessus du pivot : si la colonne a comme indice j0 et le pivot est en ligne i0 , on
effectue :
ai, j0
Li , pour i ∈ [[1, i0 − 1]].
Li ← Li −
ai0 , j0 0
Remarquer qu’on peut faire ces opérations-là en “remontant” cette colonne ou en la descendant
car ces opérations sont indépendantes les unes des autres.
À la fin de cette étape, on a une matrice échelonnée, dont chaque pivot est le seul élément
non nul de sa colonne.
Normalisation : il suffit alors de multiplier chaque ligne contenant un pivot par l’inverse de ce
pivot pour obtenir une matrice échelonnée réduite par ligne.
3
Ensemble des solutions d’un système linéaire
On applique l’algorithme du pivot à la matrice A mais en faisant les opérations élémentaires
nécessaires directement sur la matrice augmentée (A|B). À la fin de la descente, on peut définir
les inconnues principales (correspondant aux colonnes contenant un pivot) et les inconnues secondaires ou paramètres (les autres). On peut aussi dire à cet instant si le système est compatible
(toutes les lignes de la matrice augmentée transformée ayant leurs p premiers coefficients nuls
sont nulles et le système aura alors des solutions, d’après la suite de l’algorithme du pivot) ou
incompatible (dans ce cas il est immédiat qu’il n’y a pas de solutions). On peut aussi définir à
cet instant le rang du système comme le nombre de pivots et donc le nombre de paramètres est
égal à la différence du nombre d’inconnues et du rang.
En poursuivant l’algorithme du pivot (remontée et normalisation), puis en revenant à l’écriture du système et passant les paramètres au second membre, on obtient l’expression des solutions du système linéaire : on donne différentes écritures de cette forme paramétrique. Interprétation : description des solutions comme somme d’une solution particulière du système avec
second membre et de la “solution générale” du système homogène associé.
Limites de fonctions
1
Introduction de la limite
On se place ici dans le cas d’une fonction f définie sur un intervalle I (non forcément
ouvert) non vide et non réduit à un point. On regarde le comportement de f au voisinage d’un
point a ∈ R qui est soit un point de I, soit une extrémité de I.
L
On demande à la classe de construire des définitions de limites dans différents cas. Il
ressort de cette activité que ces définitions, quoique différentes, ont une structure commune.
3
Pour unifier ces différentes notions de limites, on introduit alors la notion de voisinage
standard :
Définition 1 Pour w ∈ R, on a trois cas :
— Si w ∈ R, les voisinages standard de w sont les segments non triviaux centrés en w, à
savoir les [w − η, w + η], avec η > 0 ;
— Si w = −∞, les voisinages standard de −∞ sont les intervalles ] − ∞, A], avec A ∈ R ;
— Si w = +∞, les voisinages standard de +∞ sont les intervalles [A, +∞[, avec A ∈ R ;
On notera V (w) l’ensemble des voisinages standard de w.
On peut alors définir la notion de propriété vérifiée “au voisinage d’un point” :
Définition 2 Une propriété est dite vérifiée au voisinage d’un point w ∈ R ss’il existe un voisi-
nage standard de w tel que la propriété soit vérifiée sur ce voisinage.
Exemples 3 On dit par exemple que la fonction f est bornée au voisinage de +∞ ou qu’elle est
strictement positive au voisinage de 1.
Remarque 4 L’expression “à partir d’un certain rang” utilisée pour les suites se traduirait ainsi :
“au voisinage de +∞”.
Définition 5 Soit ` ∈ R. On dit que f (x) tend vers ` lorsque x tend vers a ssi
∀V ∈ V (`), ∃U ∈ V (a), ∀x ∈ I, (x ∈ U =⇒ f (x) ∈ V ) .
Remarque 6 Cela est aussi équivalent aux formulations suivantes
∀V ∈ V (`), ∃U ∈ V (a), f (U ∩ I) ⊂ V
∀V ∈ V (`), ∃U ∈ V (a), U ⊂ f −1 (V ).
À partir de cette définition, on retrouve les formulations classiques de la limite dans les
différents cas de figure suivant que a (resp. `) est fini, −∞ ou +∞, avec les valeurs absolues ou
avec des intervalles. Notation f (x) −→
`.
x→a
Remarque 7 Lorsque a ∈ R, il est souvent utile d’effectuer un changement de variables “x =
a + h” et d’utiliser le fait immédiat suivant :
f (x) −→
` ⇐⇒ f (a + h) −→ `.
x→a
h→0
Remarque 8 Comme pour les suites, lorsque ` ∈ R, il est souvent pratique de soustraire la limite
en utilisant les faits immédiats suivants :
f (x) −→
` ⇐⇒ ( f (x) − `) −→
0 ⇐⇒ | f (x) − `| −→
0.
x→a
x→a
x→a
On prouve souvent ce dernier résultat en majorant la valeur absolue par une fonction qui tend
vers 0 quand x tend vers a.
4
2
Plan du cours
— Unicité de la limite : démonstration à faire en exercice en copiant celle de l’unicité de la
limite d’une suite. Notation lim f (x).
x→a
— Propriétés : si a ∈ I et f a une limite ` en a, alors ` = f (a). Si f possède une limite finie
en a, alors elle est bornée au voisinage de a. La notion de limite est locale : il suffit de
regarder la restriction de f à I ∩ [a − η, a + η] pour un certain η > 0 (resp. à I ∩ [A, +∞[,
resp. à I∩] − ∞, A]).
— Limite à droite (resp. à gauche) : on considère la limite de g = f |I∩]a,+∞[ (resp...). Notations lim et lim+ .
x −→ a
>
x→a
— Extension : définition de la limite au cas d’une fonction définie sur un intervalle épointé
(I \ {a}). Définition de la limite lorsque x tend vers a par valeurs différentes de a, notation lim .
x −→ a
6=
— Caractérisation séquentielle des limites : f a pour limite ` en a ssi
Ä
ä
∀(un ) ∈ I N , (lim un = a =⇒ lim f (un ) = `) .
— Opérations sur les limites : combinaisons linéaires, produits, quotients, les élèves sont
chargés de verifier que les démonstrations analogues dans le cas des suites “passent”
bien à ce nouveau cadre.
— Composition de limites : f étant définie sur un intervalle I et g sur un intervalle J, on
suppose que f (I) ⊂ J. Si f a pour limite b en a et g a pour limite ` en b, alors g ◦ f a
pour limite ` en a.
— Lien avec l’ordre : stabilité de ≤ par passage à la limite, théorème d’encadrement (“Gendarmes”), de minoration et de majoration. Théorème de la limite monotone : si f est
monotone sur I et a n’est pas un point de I (cela implique en particulier que a est une
extrémité de I), alors f admet une limite ` ∈ R en a. Corollaire ; une fonction monotone
sur I admet une limite à gauche et une limite à droite en tout point qui n’est pas une
extrémité de I.
3
Démonstrations exigibles
Théorème 9 (Caractérisation séquentielle de la limite)
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R non vide et non réduit à un point, soit a ∈ R
qui est soit un point de I, soit une des bornes de I et soit ` ∈ R. Alors
lim f (x) = `
x→a
⇐⇒
Ä
ä
∀(un ) ∈ I N , (lim un = a =⇒ lim f (un ) = `) .
Démonstration: Pour la démonstration, on se restreint au cas où a et ` sont réels, les
autres cas se traitant de manière similaire.
On commence par la réciproque, qui est la partie la plus intéressante, et pour cela, on raisonne par la contraposée. On suppose donc que f (x) ne tend pas vers ` lorsque x tend vers a, ce
qui s’écrit formellement :
∃ ε0 > 0, ∀α > 0, ∃ x ∈ I, (|x − a| ≤ α et | f (x) − `| > ε0 ) .
5
1
On choisit alors un tel ε0 et, pour tout n ∈ N, on applique ce qui précède à α = n+1
, ce qui nous
1
fournit un xn ∈ I tel que |xn − a| ≤ n+1 et | f (xn ) − `| > ε0 . On a alors lim xn = a par majoration
de |xn − a| par une suite tendant vers 0. Par ailleurs, pour tout N ∈ N, il existe au moins un n ≥ N
(en fait tous conviennent !) tel que | f (xn ) − `| > ε0 , donc la suite ( f (xn )) ne tend pas vers `. On
vient donc de montrer que
∃ (xn ) ∈ I N , (lim xn = a et f (xn ) 6→ `) ,
ce qui achève la preuve de la contraposée.
La preuve du sens direct est en fait une preuve de composition de limites. Supposons que
lim f (x) = `. Soit alors une suite (un ) ∈ I N telle que lim un = a. Pour montrer que lim f (un ) = `,
x→a
on prend un ε > 0 quelconque. Comme x→a
lim f (x) = `, il existe un α > 0 tel que
∀x ∈ I, (|x − a| ≤ α =⇒ | f (x) − `| ≤ ε) .
Comme lim un = a et α > 0, on peut alors choisir un N ∈ N tel que pour tout n ≥ N, |un − a| ≤ α.
Comme par ailleurs les un sont des éléments de I, cela entraîne que | f (un ) − `| ≤ ε. Ainsi
lim f (un ) = `.
2
Théorème 10 (Composition des limites)
Soient f une fonction définie sur un intervalle I de R non vide et non réduit à un point et g une
fonction définie sur un intervalle J de R non vide et non réduit à un point, telles que f (I) ⊂ J.
Soit a ∈ R (resp. b ∈ R) qui est soit un point de I (resp. J), soit une borne de I (resp. J). Soit
` ∈ R.
Si x→a
lim f (x) = b et lim g(y) = `, alors x→a
lim g( f (x)) = `.
y→b
Démonstration: Pour la démonstration, on se restreint au cas où a = −∞, b ∈ R et
` = +∞, les autres cas se traitant de manière similaire.
On suppose que lim f (x) = b et lim g(y) = +∞. Pour montrer que lim g( f (x)) = +∞,
x→−∞
x→−∞
y→b
on prend un A ∈ R quelconque. Comme lim g(y) = +∞ , il existe un α > 0 tel que
y→b
∀y ∈ J, (|y − b| ≤ α =⇒ g(y) ≥ A) .
Comme lim f (x) = b et α > 0, on peut alors choisir un B ∈ R tel que
x→−∞
∀x ∈ I, (x ≤ B =⇒ | f (x) − b| ≤ α) .
Comme par ailleurs, pour tout x ∈ I, f (x) ∈ J par hypothèse, en combinant les deux implications,
∀x ∈ I, (x ≤ B =⇒ g( f (x)) ≥ A) .
2
Ainsi lim g( f (x)) = +∞.
x→−∞
Théorème 11 (Limite monotone)
Soient f une fonction définie sur un intervalle I de R non vide et non réduit à un point. Soit a
une des bornes de l’intervalle I dont on suppose que a 6∈ I.
Si f est monotone sur I, alors f admet une limite ` ∈ R en a.
6
Démonstration: Pour la démonstration, on se restreint au cas où a = inf(I), a ∈ R et la
fonction f est croissante, les autres cas se traitant de manière similaire.
On pose ` = inf( f (I)), qui vaut −∞ si f (I) n’est pas minorée et qui existe et est un réel
sinon, d’après la propriété de la borne inférieure, puisque f (I) est non vide (car I est non vide).
Montrons que lim f (x) = ` en séparant l’étude suivant que ` est réelle ou non.
x→a
Cas ` ∈ R : Soit ε > 0. Comme ` est le plus grand des minorants de f (I), alors ` + ε ne
minore pas f (I), donc il existe x0 ∈ I tel que f (x0 ) < ` + ε. Comme x0 > a puisque a minore
I et a 6∈ I, il s’écrit x0 = a + α, avec α > 0. Pour x ∈ I, si |x − a| ≤ α, alors a < x ≤ x0 et
par définition de ` et croissance de f , ` ≤ f (x) ≤ f (x0 ) ≤ ` + ε, donc | f (x) − `| ≤ ε. Ainsi
lim f (x) = `.
x→a
Cas ` = −∞ : Soit A ∈ R. Alors A ne minore pas f (I), donc il existe x0 ∈ I tel que f (x0 ) < A.
Comme x0 > a puisque a minore I et a 6∈ I, il s’écrit x0 = a + α, avec α > 0. Pour x ∈ I, si
|x − a| ≤ α, alors a < x ≤ x0 et par croissance de f , f (x) ≤ f (x0 ) ≤ A. Ainsi lim f (x) = −∞. 2
x→a
De manière générale, l’objectif est ici de s’assurer que les élèves savent restituer et utiliser
en les comprenant les définitions de limites adaptées au différents cas en présence. À ce titre les
démonstrations des opérations sur les limites peuvent être données en exercice.
Nous avons aussi commencé le cours sur la continuité, mais je le garde pour le prochain
programme de colle...
Toutes les définitions et tous les énoncés sont exigibles.
Démonstrations de cours exigibles
— Pour toute matrice, existence d’une matrice échelonnée réduite par lignes qui lui est
équivalente par ligne, par la description de l’algorithme du pivot de Gauβ-Jordan ;
— Caractérisation séquentielle de la limite (voir ci-dessus) ;
— Composition de limites ;
— Théorème de la limite monotone.
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