Les systèmes mécaniques

La mécanique de Newton
Notions de mécaniques
Un référentiel est un objet de référence qui sert à étudier le mouvement.
Le référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le centre d’inertie d’un solide soumis à
des forces qui se compensent a un mouvement rectiligne uniforme.
Le système est l’objet auquel on s’intéresse.
Le vecteur vitesse s’exprime sous la forme :
dt
OMd
v
avec
kzjyixOM  
z
dt
dz
k
dt
dy
i
dt
dx
v
en m.s-1.
Point d’application : Mi
Direction : tangente à la trajectoire
v
Sens : celui du mouvement
Valeur :
2τ
MM
v1i1i
Mi 
Relation entre variation de vecteur vitesse et somme des forces
Dans un référentiel galiléen, si le vecteur vitesse du centre d’inertie varie alors la somme des
forces n’est pas égale au vecteur nul. La direction et le sens de
vΔ
est le même que la
résultante des forces extérieures.
Les lois de Newton
1ière loi de Newton
Dans un référentiel galiléen, si le vecteur vitesse du centre d’inertie ne varie pas alors la
somme des forces extérieures qui s’appliquent sur le système est égale au vecteur nul et
réciproquement.
2ème loi de Newton
Dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures appliquée au système est égale à
la masse multipliée par le vecteur accélération :
amFext 
.
3ème loi de Newton
Soient A et B 2 corps :
OFF B/AA/B
pour tout mouvement.

L’accélération
L’accélération s’exprime sous la forme :
dt
vd
a
k
dt
dv
j
dt
dv
i
dt
dv
azyx 
avec
dt
dx
vx
;
dt
dy
yv
;
dt
dz
vz
k
dt²
d²z
j
dt²
d²y
i
dt²
d²x
a
en m.s-².
Repère de Frenet
C’est un repère mobile qui dépend du point considéré, composé de 2 vecteurs unitaires :
N
R
v²
T
dt
vd
a
.

Le travail des forces
Travail d’un force
Travail élémentaire d’une force
OM.dF)FδW(
en Joules (J)
jdyidxOMd 
petit déplacement.
Travail d’une force constante
AB.F)FW(  
)AB;Fcos(ABF)FW(  
.
J N m degrés
Etude du travail de 2 forces
Travail de la force exercée par un opérateur sur un ressort
T = kx avec k constante de raideur en N.m-1 et x allongement en m (x = (l-l0))
ikxT
avec kx valeur de la force.
D’après la 3e loi de Newton :
0FT  
ikxF
La force
F
n’est pas constante
1ière méthode :
OM.dF)FδW(
)jdxi.(dxikx  
i.ikxdx 
kxdx)FδW( 
B
A
B
A
x
x
x
xkx²
2
1
kxdx)FW( 
²)x²k(x
2
1
)FW( AB 
Méthode géométrique :
2)x)(xkx(kx
)FW( ABBA 
2)x)(xxk(x
)FW( ABBA 
²)x²k(x
2
1
)FW( AB 
Travail du poids
)zmg(z)PW( BA 
avec zA altitude de départ et zB altitude d’arrivée
Le travail du poids ne dépend que des positions de départ et d’arrivée.
Le travail est moteur si le travail est positif : le poids participe au déplacement.
Le travail est résistant si le travail est négatif : le poids s’oppose au déplacement.

Energie cinétique et énergie potentielle
Energie cinétique de translation
EC =
mv²
2
1
en J avec m en kg et v en m.s-1.
Théorème de l’énergie cinétique
Dans un référentiel galiléen, la variation de l’énergie cinétique d’un système entre 2 instants
est égale à la somme des travaux des forces extérieures qui s’exercent sur le système entre ces
2 instants.
ECf – ECi =
)FW(
Energie potentielle
La diminution de l’énergie potentielle est égale au travail responsable de cette diminution.
L’énergie potentielle de pesanteur a besoin d’une référence que je choisi :
Epp = mgz en J avec m en kg, g en N.kg-1 et z en m.

Etude de mouvements
Mouvement rectiligne uniforme
Mouvement rectiligne uniforme
a = 0 m.s-1
or a =
dt
dv
v = v0 (constante)
v =
dt
dx
x = v0 t + k (constante)
Je trouve k par les conditions initiales, à t = 0 :
x = x0  k = x0
x = v0 t + x0.
Mouvement rectiligne uniformément accéléré ou décéléré
Un mouvement est accéléré ou décéléré si le vecteur accélération est constant, qu’il a même
direction, même sens et même valeur.
a
= constante
a = a1 or a =
dt
dv
v = a1 t + k
On trouve k par les conditions initiales, à t = 0 :
v = v0  k = v0 or v =
dt
dx
v = a1 t + v0
x = ½ a1 t² + v0 t + k’
On trouve k’ par les conditions initiales, à t = 0 :
à t = 0 : x = x0 et x = k’  k’ = x0
x = ½ a1 t² + v0 t + x0.
Mouvement circulaire
Vitesse et mouvement circulaire
La vitesse angulaire ω :
ω =
Δt
α
en rad.s-1 avec α angle balayé (rad) et ∆t durée du balayage (s).
La vitesse instantanée :
v = Rω.