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Lycée :Habib Thamer
Prof : Regaieg Farhat
Classe : 3ème Math + Sc
Série d’exercices N°6 (Trigonométrique)
Exercice 1 :
Exercice 8 :
Exprimer en fonction de cos x ou sin x les nombres suivants :
 3

a) cos(3 + x) ; b) sin(– x – ) ; ; c) sin 
 x ;
2


9 
 7


d) cos 
 x  e) sin (11 – x) ; f) cos  x 

6 
 2


g) cos ( – x) + cos(x – 3) ; h) sin (– x) – sin ( + x) ;
i) sin (– x) – cos (– x) ; j) sin ( + x) + cos ( – x) ;
k) cos (–  – x) + sin(x –) + sin(4 – x)
Résoudre dans]- ; ] les équations données et représenter les
solutions sur le cercle trigonométrique.
1
a) cos 2x = 1 ; b) sin 2x = 0 ; c) sin 2x = – 1 ; d) cos 2x = 
2
Exercice 9 :
Exercice 2 :
Résoudre les équations suivantes dans l’intervalle I.Représenter
les points aux solutions sur le cercle trigonométrique.
Résoudre dans [0 ; 2[ les équations suivantes :
a) cos 2x = sin x ;
b) cos 2x – cos x + 1 = 0
Exercice 10 :
3
.
5
Calculer cos t dans chacun des cas suivantes :
 
 
a) t  0;  ;
b) t   ; 
2


2 
1
2) t est un réel tel que cos t =  .
3
Calculer sin t dans chacun des cas suivants :
a) t  [0 ; ] ;
b) t  ] -  ; 0].
Donner une valeur approchée de t à 10 – 2 près dans chaque cas.
1) Soit t un réel tel que sin t =
1
3
; I = ] -  ; 2] b) sin x =
; I = ] -  ; ]
2
2
2
2
c) cos x =
; I = [0 ; 2[
d) sin x = 
; I = [0 ; 2[
2
2

   3 
e) sin x = sin ; I = [-2 ; 0[ f) cos x = - cos ; I   ; 
6
4  2 2 
g) sin x = 1 ; I = [0 ; 2]
h) cos x = - 1 ; I = [-  ; ].
a) cos x = 
Exercice 11 :
x désigne un réel quelconque. Simplifier les expressions :
2 
4 


1) a) A = cos x + cos  x 
 + cos  x 

3 
3 


2 
4 


b) B = sin x + sin  x 
 + sin  x 

3 
3 



2 


2) a) A’ = cos²x + cos²  x   + cos²  x 

3
3 




2 


b) B’ = sin²x + sin²  x   + sin²  x 

3
3 


3) On considère les points M,N et P du cercle trigonométrique
2
4
repérés par les réels x, x +
,x+
.
3
3
Quelle est la nature du triangle MNP ? quel est son centre de
Exercice 3 :
2 2


. Calculer sin et tan .
2
8
8
3 5 7 9
En déduire les lignes trigonométriques de :
; ; ;
8 8 8 8
On donne cos

8

Exercice 4 :
Résoudre dans]- ; ] les équations suivantes :
1
a) 4cos²x – 3 = 0 ;
b) sin²x – = 0 ;
c) tan²x = 3
2
Exercice 5 :
A l’aide du cercle trigonométrique sur lequel on représentera
les solutions, résoudre les inéquations suivantes :
1) Dans]- ; ] : a) sin x  0 ; b) cos x < 0 ; c) cos x  0.
2) dans [0 ; 2[ : a) sin x < 0 ; b) cos x < 0 ; c) cos x  0.
gravité ? en déduire la valeur de OM  ON  OP et retrouver
le résultat de la question 1).
Exercice 6 :
Exercice 12 : Egalité diverses :
Résoudre dans]- ; [ les inéquations suivantes :
Etablir les égalités suivantes :
a) cos4x – sin4x = cos 2x.
1
b) cos4x + sin4x + sin2 2x = 1.
2
2 tan x

 k
c) tan 2x =
; (x différent de + k et 
, k Z).
2
4
2
1  tan ² x
 1

d) (cos x + sin x) 1  sin 2 x  = cos3x + sin3x.
 2

1

cos
4
x
e) cos2x sin2x =
8
1
2
2
2
a) cos x   ;b) sin x 
;c) cos x >
; d) sin x > 
2
2
2
2
Même question en donnant les solutions dans [0 ; 2[.
a) cos x  - 1 ; b)
Exercice 7 :
2
1
1
3
c) 
 cos x 
 sin x 
2
2
2
2
3 cos x  sin x dans [0 ; 2[.
1
a) Démontrer que x est aussi solution de cos²x =
4
1
b) Résoudre l’équation cos²x = dans [0 ; 2[.
4
c) En déduire les solutions de l’équation (on remarquera que
cos x et sin x doivent avoir le même signe).
On veut résoudre l’équation
Exercice 13 :
1) Exprimer sin2 2x et cos2 2x en fonction de cos 4x.
3 1
2) Démontrer que cos4x + sin4x = + cos4x.
4 4
-1-
Exercice 14 :
Exercice 19 :
k
On suppose que x est différent de
avec k élément de Z.
2
sin 2 x cos 2 x
1
a) Démontrer que


sin x
cos x cos x
sin 3x cos 3x
b) Démontrer que
est une constante.

sin x
cos x


3 sin x = 2 cos  x  
3

2) Résoudre dans [0 ; 2[ les équations :
1) Démontrer que cos x –
a) cos x – 3 sin x = - 1 ; b) cos x –
Exercice 20 :
On considère un point A de coordonnées

polaires (R, ) dans O; i . Soit B tel que
OAB est un triangle équilatéral direct.
a) Déterminer les coordonnées polaires

de B dans O; i .
b) En déduire que les coordonnées cartésiennes de B sont :
1

1

3
3
xB  R cos 
sin   ;
y B  R sin  
cos 
2

2

2
2




Application
Déterminer les coordonnées cartésiennes de B, connaissant
 
celle de A dans O, i , j ;
a) A(2 ; 3) ;
b) A(1 ; -1)
Exercice 15 :
 
Soit P = cos x cos 2x cos 4x, où x désigne un réel.
1
a) Démontrer que : P  sin x = (sin 2x)(cos 2x)(cos 4x)
2
1
=
sin 8x.
8


2
b) En remplaçant x par , démontrer que : cos  cos
7
7
7
4
1
 cos
= 
8
7
 

Exercice 16 :
1) Démontrer que :

3
5
7
a) cos + cos
+ cos
+ cos
= 0.
8
8
8
8

3
5
7
b) cos² + cos²
+ cos²
+ cos²
= 2.
8
8
8
8
5

3
7
2) Déterminer: cos4 + cos4
+ cos4
+ cos4
8
8
8
8
Exercice 21 :

12

et sin

12
.

 
Dans le repère orthonormal direct O, i , j , on considère le
point M de coordonnées (2 3 ; 2)
 

1) Déterminer des coordonnées polaires de M dans O, i .
3
2) On considère le point N tel que : OM , ON 
2  et
4
1
ON = OM
2

Déterminer des coordonnées polaires de N dans le repère O, i

Soit f : IR  IR; x  1  cos2x  sin2x
π

1) a) Montrer que f(x) = 2 2 cosx cos  x  
4

b) Résoudre dans [0, ] : f (x) = 0 et f (x) > 0
sin2x  1
2) g : 0, π  IR; x 
1  cos2x  sin2x
a) Déterminer le domaine de définition de g
b) Résoudre dans [0, ] : g (x)  0
1
3) a) Montrer que pour tout x  Dg : g (x) = (tanx – 1)
2
π
b) En déduire que tan  2  1
8

 
 11 
3) En utilisant les formules d’addition, calculer : cos 
 et
 12 
 11 
sin 

 12 
 
En déduire les coordonnées cartésiennes de N dans O, i , j
4) Déterminer la distance MN et une valeur approchée à 10 – 2

Exercice 18 :

Soit l’application f : 0,    IR
 3  2cos x 

En déduire les valeurs exactes de cos
Exercice 17 :
x  2 sin ² x 
3 sin x = 0.
près par défaut de MO, MN


Exercice 22 :
32
Une pièce métallique est entaillée selon l’angle EAˆ C . On place
un cylindre de rayon 30 mm comme ci-dessous :
 
 2 
1) Calculer f   et f 

2
 3 
2) Soit  l’élément de [0,] tel que tan  =  2 . Calculer
cos  ; tan  puis f().
3) Montrer que pour tout x  [0,] ; f(x) = 2cos²x – ( 3 + 2)
cos x + 3
4) Résoudre dans [0,] l’équation f(x) = 0 puis l’équation
2cos²x – ( 3 + 2) |cos x| + 3 = 0
5) Résoudre dans [0,] l’inéquation f(x) > 0
1) Calculer la tangente de l’angle KAˆ C
2) Calculer, à 10 – 2 près par défaut, la cote x.
3) Calculer OH, puis en déduire la cote y à 10 – 2 près par
défaut.
 
6) Dans cette question x désigne un élément de 0, 
 2
a) Montrer que (cosx – sinx) ² + (cosx + sinx) ² = 2


b) Exprimer f   x   f   x  à l’aide de cosx et sinx.
2


c) Résoudre l’équation f   x   f   x   3
2

-2-