Les complexes

I Supposé connu, admis
C est un ensemble contenant R, et muni des lois de composition interne + et qui
prolongent les lois + et usuelles sur R.
On suppose connues les règles de calcul :
 + et sont commutatives, associatives.
est distributive sur +.
 0 est neutre pour +.
 1 est neutre pour .
 Tout élément x de C est symétrisable pour +, son symétrique est noté
x
(opposé)
 Tout élément x de C* est symétrisable pour , son symétrique est noté
1
x
(inverse)
 Il y a dans C un élément i tel que
1ii
 Tout complexe
Cz
s’écrit de manière unique sous la forme
biaz 
, où
Rba,
(écriture algébrique). a est la partie réelle de z (
)Re(z
), et b sa partie
imaginaire (
)Im(z
).
(Les six premières règles sont communes à R et C, et définissent un corps commutatif)
Interprétation graphique :
Soit P un plan muni d’un repère orthonormé
),,( jiOR 
. On peut mettre P en bijection
avec C en associant à tout point M de P le complexe
iyxz 
, où
),( yx
est le couple de
coordonnées de M dans R. Ce complexe est l’affixe de M.
On parle alors du plan complexe.
II Conjugaison et module
Soit
Cz
. Alors z s’écrit de manière unique
iyxz 
, avec
2
),( Ryx
(c'est-à-dire
)Im(),Re( zyzx 
)
Le module de z est, par définition,
22 yxz 
Remarque : si
Rz
, alors
xxyxz  222
.
Le conjugué de z est, par définition,
iyxz 
O1
iz
iyxz 
y
x
-y
iyxz 
z
: distance de O à z ;
z
: symétrique de z par rapport à l’axe réel.
Propriétés :
Les complexes

ire) triangula(inégalité ''
11
,0 si
''''''
1
où d' ,
)Im()Re( 2
)Im(
2
)Re(
''''
222
2
2
zzzz
zz
z
zzzzzzzzzzzz
z
z
z
zzz
zzzz izz
z
zz
z
zzzzzzzz
zz
izzz
zzz
R
R
Démonstration du dernier point :
'''''''''' 222 zzzzzzzzzzzzzzzzzzzz 
Et
222 ''2' zzzzzz 
.
Or,
'2'2)'Re(2'''' zzzzzzzzzzzzzz 
Donc
22 '' zzzz 
, d’où l’inégalité voulue.
Conséquence : le module d’un complexe a les propriétés suivantes :
''',',
,,...,
'',',
'',',
00,
,
11
21
zzzzzzzz
zzzzz
zzzzzz
zzzzzz
zzz
zz
n
kk
n
kkn
C
C
C
C
C
RC
III Exponentielle complexe
Définition :
On note
1,  zz CU
(c’est le "cercle unité")
Pour
R
, on pose
sincos iei
.
Interprétation géométrique :
On oriente C de sorte que le repère naturel
),1,0( i
soit direct.
i
e
est l’unique point M
du cercle unité tel qu’une mesure de l’angle orienté
),( OMOx
soit .
Propriétés :
')'(
21
1
iii
i
i
eee
e
e
Z
Proposition :
Tout complexe de module 1 s’écrit sous la forme
i
ez 
.
Démonstration :
ibaz 
, où
Rba,
.

1z
. Donc
1
22  ba
. Donc
1
2a
, soit
]1,1[a
.
Il existe donc
R
tel que
a cos
.
Alors
2222 sincos11  ab
Donc :
Si
sinb
, alors
cosa
et
sinb
, soit
i
ez 
.
Si
sinb
, alors
)cos( a
et
)sin( b
, soit
i
ez 
.
Conséquence :
L’application
i
eCR :
est un morphisme de groupes de
),( R
dans
)*,(C
, dont le
noyau est
Z 2
et l’image U.
Autres formules :
nini een  )(,Z
(formule de Moivre).
(Démonstration par récurrence pour N, puis pour Z avec
nm 
)
2
cos
ii ee 
,
iee ii 2
sin
(formule d’Euler)
Argument d’un complexe – module.
Proposition :
Soit
*Cz
, soit
z
.
(1) Il existe
R
tel que
i
ez 
. Un tel réel est un argument de z.
(2) Si
0
est un argument de z, alors l’ensemble des arguments de z est l’ensemble
Z kk ,2
0
.
(3) z admet un unique argument dans
,
, c’est l’argument principal de z, noté
)(Arg z
Démonstration :
(1)
z
est un complexe de module 1 :
0z
, donc
0
et
1
z
z
.
Il s’écrit donc sous la forme
i
e
.
(2) Soit
0
tel que
0
i
ez 
, soit
R
.
On a les équivalences :
Z 21 0
)( 00  ii
ii eeeez
, d’où le résultat.
(3) Soit
0
un argument de z. Les autres arguments sont les
Z kk ,2
0
.
On a :
2
1
2
)1(22
22
22
0
0
0
0
00
Ek
kk
kk
kk
kk
D’où l’existence et l’unicité.
Propriétés (pour
0z
) :
2)'(Arg)(Arg)'(Arg zzzz 
. En effet,
)'(' '''
 iii eeezz
.
2)(Arg)(Arg
1
Arg zz
z
2)(ArgArg zz 

IV Racine n-ième de l’unité
A) Détermination
On cherche les
Cz
tels que
1
n
z
, où n est un entier naturel non nul.
D’abord, si z vérifie
1
n
z
, alors
1 n
nzz
.
Donc
1z
(un seul réel positif vérifie
1
n
x
, et c’est
11 
n
)
On cherche donc les z sous la forme
i
e
, avec
2,0
.
Soit
2,0
. On a les équivalences :
n
k
nk
nnknnk
knk
nee nini
2
,1,0
)2,0 donc ,2,0(2,1,0
2,
211)(
ZZ
Conclusion :
Les racines n-ièmes de 1 sont les
1,0,
2
 nke n
ik
. Il y en a exactement n car les
n
k 2
pour
1,0  nk
sont n réels distincts de
2,0
, et
i
e
est injective sur
2,0
puisque deux éléments de
2,0
ne peuvent jamais différer d’un multiple entier
non nul de
2
.
Représentation :
On note
n
U
l’ensemble des racines n-ièmes de 1. On a alors :
n
i
k
n
ik
nenknke
22 où ,1,0,1,0, 
U
Soit :
ZU 
 k knnnn
n,,...,,,...,,...,1
0
1121121
Ainsi, on coupe le cercle trigonométrique en n parties égales (et en prenant 1).
n
U
est de cardinal n.
Autre notation :
Pour
Zk
,
k
est aussi noté
k
.
Ainsi, pour tout
Zqp,
, on a
pqp
qpq
q
p1
Proposition :
Les racines n-ièmes de l’unité sont représentés sur un polygone régulier à n côtés
inscrit dans le cercle unité et dont l’un des sommet est 1.
Ce polygone est symétrique par rapport à
Ox
car
n
U
est stable par la conjugaison.
(En effet, si
11,  nn
nzzz U
).
En revanche,
n
U
est stable par
zz 
si et seulement si n est pair
En effet,
1)1()(  nnnn zzz
si n est pair, et
1)(  nn zz
sinon.
Proposition :
n
U
est un sous-groupe du groupe
)*,(C
, c'est-à-dire :
n
U
est stable par , par passage à l’inverse, et
n
U1
B) Calcul de certaines sommes

Soit
*Nn
.
Pour tout
Zk
, on note
n
ik
ke
2
Soit
Np
.
On s’intéresse à
p
n
pp
S  ...
10
(somme des puissances p-ièmes des racines n-ièmes de 1)
On a :
 1 si 0
1
11 si
...
10 p
n
S
p
n
p
p
n
ppp
Si
1p
,
0... 1
1
1
0
1 n
.
C) Racine n-ième d’un complexe quelconque
Soit
CZ
; une racine n-ième de Z, c’est un complexe
Cz
tel que
Zzn
.
- Si
0Z
, Z n’admet qu’une seule racine n-ième, à savoir 0.
- Sinon,
0Z
.
Z s’écrit
i
e
, où
R
, et
R
. Une racine n-ième évidente de Z est
n
i
nez
1
. Cherchons les autres :
Soit
Cz
. On a les équivalences :
uzzu
z
z
zzZz n
n
nnnn 1
1
1,1 
 U
.
Conclusion :
Si
0Z
, Z a exactement n racines n-ièmes, ce sont les
n
uuzz U ,
1
, où
1
z
est
l’une d’entre elles.
Cas particuliers, exemples :
 Si
aZ 
, où a est un réel non nul, les racines carrées de Z sont
a
et
a
si
0a
,
ai 
et
ai 
si
0a
.
 Si
ibZ
, où b est un réel non nul, les racines carrées de b sont :
0 si
0 si
4
3
4
beb
beb i
i
 Si
ibaZ 
, où a et b sont deux réels non nuls :
On cherche les racines sous forme
iyxz 
)sgn()sgn(2
2
2
2
) (avec et2
et)(
et
2
2
2
2
22
22
222222
22222
222
bxy
y
x
bxy
ay
ax
bxy
yx
ayx
bayxibayiyxx
bayxibaiyx
ZzZzZz
a
a
(Faire attention pour les implications dans l’autre sens)
Si Z se met facilement sous forme trigonométrique, il vaut mieux l’utiliser.
V Equation polynomiale de degré 2 à coefficients complexes
Rappels :