Suites et séries de fonctions

Suites et séries de fonctions
Cadre :
On va parler de suites et séries de termes généraux un : A  E où A est une partie d’un evn, et
E est un evn.
I Convergence simple
A) Définition
 Suite de fonctions :
On dit que la suite de fonctions ( f n ) nN , f n : A  E converge simplement sur A
lorsque pour tout x  A , la suite de terme général ( f n ( x)) nN converge.
La fonction g définie sur A par x  A, g ( x)  lim f n ( x) s’appelle limite simple
n  
de ( f n ) nN .
 Séries de fonctions :
On dit que la série de terme général un : A  E converge simplement sur A
lorsque pour tout x  A , la série de terme général u n (x) converge, c'est-à-dire si la suite
n
des sommes partielles S n   u k converge simplement sur A.
k 0
 Domaine de convergence simple :
Il peut arriver qu’il n’y ait pas convergence simple sur tout le domaine de
définition des fonctions (ici A)
Dans ce cas, l’ensemble des x en lesquels la série converge s’appelle le domaine de
convergence simple.
Dans le cadre des séries, le domaine de convergence simple est le domaine de
définition de la fonction somme totale.
B) En pratique
L’étude de la convergence simple correspond à celle d’une suite ou d’une série
avec un paramètre.
Exemples sur les séries :
 Série géométrique :

Le domaine de convergence simple complexe de
x
n
est le disque unité (ouvert)
n 0

Exponentielle :

Le domaine de convergence simple complexe de
(D’après le critère de d’Alembert pour x  0 :
xn
est C.

n 0 n!
u n1
un
0)

xn
: domaine de définition complexe ?

n 0 n
D’après le critère de D’Alembert (pour z  0 ), la série converge si z  1 , diverge

si z  1 .
Pour z  1 :
- Cas réel :
Pour z  1 , la série diverge, pour z  1 , elle converge (critère de Leibniz)
Cas complexe : ( z  1 , z  1 )
-
1
1
  t n 1dt . Donc :
n 0
On a, pour tout n  N * ,
n
n
zk
 1 t k 1dt  z k  1 t k 1 z k dt



0
0 

k 1 k
k 1 
k 1
n
n
1 dt
1 (tz )
1  (tz) n
dt  z 
 z
dt
0 1  tz
0 1  tz
0 1  tz



 

1
 z.
A
n
A est l’intégrale d’une fonction continue, donc définie ( 1  tz  0 )
1
Et  n  z 
0
tz
n
1
dt  
1  tz
0
Où M    ,  : t 
1
tn
M
dt  M  t n dt 
0
1  tz
n 1
1
bornée.
1  tz
Ainsi,  n  0 , donc la série converge et

1 dt
zk
.
 z

0 1  tz
n 1 k
Calcul :
Comme z  1 , on a z  ei où   0,2  \  . Ainsi :
1
1

dt
dt
 t  cos  
e 
 
  ln t  ei  iArctan 

0 1  tei
0 t  e  i
  sin   0

i
1

  ln t  e

1

 t  cos  
 i Arctan 

0
  sin   0

i 1
 1  cos  
 1 
  ln 1  ei  iArctan 
  iArctan 

 sin  
 tan  
  ln 2 sin

2
 2 sin 2 2 
  iArctan tan( 2   ) 
 iArctan 

 
 2 sin 2 cos 2 
Pour   0,   , ei 
dt
  ln 2 sin
0 1  tei
1


2
 i ( 2  2   )   ln 2 sin

2
 2i (   )

Etude de  ( s )   n  s pour s  C
n 1
Si s  R , la série converge si et seulement si s  1 .
Pour s  C :
1
1
On pose u n ( s )  s ; ainsi, un ( s )  Re( s )
n
n
Si Re( s)  1 , il y a convergence absolue.
Si Re( s )  0 , il y a divergence grossière (la suite ne tend pas vers 0).
Si Re( s)  0;1 :
n 1 dt
On pose vn ( s )  
n
ts
Etude de vn :
n
k 1
n dt
dt
1
 s 
(n1 s  1)
s
k
1 t
t
1

s
k 1
Ainsi, la série de terme général vn (s) converge si et seulement si la suite de terme
On pose Vn ( s )   
général Vn (s) converge.
Si Re( s)  0;1, n1 s  n1 Re( s )   , et la série diverge.
Si Re( s)  1 ( s  1 ), s 1  ib où b  R * et n1 s  n ib  eib ln n .
Supposons que  n  e ib ln n converge vers l  C .
Alors  n2  ( n ) 2  l . Donc l  l 2 , soit l  1 (car l  1 )
Soit k  0 réel.
On pose  (n)  E (kn)  kn  O(1)
Alors  ( n)  e2ibln(knO(1))  e2ibln(kn )O(1/ n) ~ e2ibln(k ) n  l.e2ibln(k )  1
Donc k  0, e 2ibln(k )  1 , ce qui est impossible.
Donc la suite ( n ) n1 diverge, et donc (Vn ( s)) nN * aussi.
Ainsi,
 v (s) a pour domaine de définition z  C, Re( z)  1
n 1
n
Etude de la série de terme général wn 
On a wn 
n 1 dt
1
pour 0  Re( s)  1 et s  1 .

s
n
n
ts
n 1 dt
n 1  1
1
1

   s  s dt
s
s
n
n
n
t
n t 
D’après le théorème des accroissements finis appliqué à
n, t   n, n 1, on a
f (n)  f (0) 
(Car f (n)  f (t ) 
f :u 
1
us
sur
t n s
n Re( s )1
t n s
)
n Re( s ) 1
n 1 t  n s
n 1
s
s
dt  Re( s )1  t  n dt  Re( s )1 , terme général d’une série
Donc wn  
Re(
s
)

1
n
n
n
n
n
convergente. Donc la série de terme général wn converge absolument, donc converge.


n 1
n 1
Ainsi, le domaine de définition de  est z  C, Re( z)  1 (    wn   vn )
C) Inconvénients de la convergence simple
En général, par passage à la limite simple, on perd les propriétés analytiques des
fonctions.
Exemple :
La série de terme général u n : x  n xe nx .
Pour x  0 la série converge.
u ( x) (n  1)  x
Si x  0 , n 1

e  e x

un ( x)
n
Donc le domaine de convergence est 0,
0 si x  0

Dans le cas particulier où   0 , on a s( x)   x
si x  0
1  e  x
Et donc lim s( x)  1  s(0) , donc la continuité est perdue.
x 0
1
, la suite de terme général f n converge simplement vers
n2
x  x qui n’est pas dérivable en 0 alors que les f n sont de classe C  .
Donc le caractère dérivable peut se perdre par passage à la limite simple.
Pour f n ( x)  x 2 
Lien avec les intégrales :
Problème :
A t’on lim

b
n  a
b
f n (t )dt   lim f n (t )dt , ou
a n 


n 0
b
a
un  
b 
a
u
n 0
n
?
Réponse : non en général. Il faut des hypothèses supplémentaires, la convergence
simple ne suffit pas.
Exemple :
1

On pose f n ( x)  n xe nx . Pour quels  a-t-on lim
n  0
Pour x  0;1 , on a lim f n  0
1
f n   lim f n ?
0 n 
n  
Donc pour tout  ,
Mais pour n  1,
1

Soit
0
1

0
1

lim f n  0
0 n 
 1
 te
fn  n
1
 1

dt  n  e n.t t   n 1  e n.t dt
0
n
0
1
 n.t
0

f n  n 1e n  n 2 (1  e n ) ~ n 2
n 
Conclusion :
Si   2 , on a bien l’égalité.
1


Si   2 , lim
n   0
1
Si   0 , lim
n 0
f n  1 et
1

lim f n  0 .
0 n 
f n  
En général, on ne peut donc pas intervertir l’intégrale et la limite.
Explication :
Graphe de f n pour   2 :
f 'n (t )  n 2 e  nt (1  nt )
0
f 'n
1
1/ n
+
0
-
n
fn
n 2e n
0
n 1
n2
On a un phénomène de bosse glissante :
- Justification de la convergence simple :
En x  0 , ok
Pour x  0 : au bout d’un certain temps, la bosse est à gauche de x et à partir d’un
certain rang, f n (x) décroît vers 0.
1
1
1
- Minoration de  f n : la bosse a une largeur en , une hauteur en n, donc  f n
0
0
n
est minorée par une constante.
II Convergence uniforme des suites et séries de fonctions, convergence normale des séries
A) Définition
 Suites de fonctions :
On dit que la suite de terme général ( f n ) nN où
uniformément sur A vers g si elle vérifie :
(1)   0, N  N , n  N , x  A, f n ( x)  g ( x) E  
f n : A  E converge
(2) C'est-à-dire si ( f n  g ) est bornée à partir d’un certain rang n0 et si
lim f n  g
n  
n  n0

0
Montrons l’équivalence :
Supposons (1) : pour tout   0 , on peut trouver N ( ) tel que
n  N ( ), x  A, f n ( x)  g ( x) E  
Pour   1 : cela montre qu’à partir du rang N (1) , f n  g est bornée par 1.
De plus, pour tout   0 et n  N ( ) , f n  g est bornée par  .
-
Donc n  N ( ), f n  g    , c'est-à-dire (2).
Supposons (2)
Soit   0 . Il existe alors N  n0 tel que n  N , f n  g
Alors, pour tout n  N et tout x  A , f n ( x)  g ( x)
E

 .
 fn  g


 Convergence uniforme des séries :
Définition :
On dit que la série de terme général (un ) nN converge uniformément sur A si la
n
suite des somme partielles S n   u k converge uniformément sur A.
k 0
 Convergence normale des séries :
Définition :
On dit que la série de terme général (un ) nN est normalement convergente si pour
tout n, u n est bornée et si la série de réels positifs un

converge.
 Illustrations :
(1) Soit f : R  R continue. On pose f n ( x)  f ( x  1n ) .
f n converge uniformément sur R si et seulement si f est uniformément continue.

(2)
u
n 0
n
où u n : x  n xe nx (le domaine de convergence de la série est 0, )
Etude de la convergence normale :
un   un ( 1n )  n 1e1
On a donc convergence normale si et seulement si 1    1 c'est-à-dire   0 .
A-t-on convergence uniforme ?
Pour   0 , il y a convergence normale donc uniforme (car R est complet, vu
après)
Si   0 :

Posons S ( x)   n xe nx
n 0
On veut savoir si S  Sn

Pour x  0 , S ( x)  S n ( x) 
Si x  0 , S ( x)  S n ( x) 
Donc S  S n

0

 k  xekx 
k  n 1

 xe
 kx
k  n 1
 ( n 1) x
xe
1  e x
 1 /( n  1) 
 ( S  S n )( n11 )  e 1 
n 1) 
1

e 1/(


1
Donc il n’y a pas convergence uniforme.
Ainsi, dans ce cas, il y a convergence uniforme si et seulement si il y a
convergence normale c'est-à-dire si et seulement si   0 .
B) Cas des fonctions bornées : interprétation topologique
On note B ( A, E ) l’ensemble des fonctions bornées de A dans E, muni de
f


avec
 sup f (a) E .
aA
Pour une suite de fonctions bornées ( f n ) nN : ( f n ) nN converge uniformément
vers g signifie que ( f n ) nN converge vers g dans ( B( A, E),

)
Pour une série de terme général un  B( A, E ) , la convergence uniforme de la série,
c’est la convergence de la série d’éléments de l’evn ( B( A, E),  )
La convergence normale des séries, c’est la convergence absolue dans l’evn
( B( A, E),  ) .
Morale :
On a deux langages qui se correspondent :
Celui des fonctions : les u n , f n vus en tant que fonction de A dans E.
Celui de vecteurs : les u n , f n sont des éléments de l’evn ( B( A, E),
Lexique :
Une suite bornée de ( B( A, E),


)
) est une suite de fonctions uniformément
bornées ; ce sont les suites ( f n ) nN telles que :
M  0, n  N , f n

M
C'est-à-dire : M  0, n  N , x  A, f n ( x)
E
M
Suite convergente de ( B( A, E),  ) : suite uniformément convergente de
fonctions.
Série convergente de ( B( A, E),  ) : série uniformément convergente de
fonctions.
Série absolument convergente de ( B( A, E),  ) : série normalement convergente
de fonctions.
C) Comparaison des différentes notions de convergence
 Suites de fonctions :
Théorème :
Si la suite de fonctions ( f n ) nN , où f n : A  E , converge uniformément sur A vers
g : A  E , alors ( f n ) nN converge simplement vers g sur A.
Application :
Soit ( f n ) nN , où f n : A  E .
On veut étudier la convergence uniforme de ( f n ) nN .
- S’il n’y a pas convergence simple sur A, il n’y a pas convergence uniforme.
- Si ( f n ) nN converge simplement vers g sur A, ( f n ) nN converge uniformément
sur A si et seulement si f n  g est bornée et f n  g
Démonstration du théorème :
Pour x  A , on a n  N , f n ( x)  g ( x)
Donc si f n  g

E
 fn  g

0

 0 , alors f n ( x)  g ( x) E  0 .
 Cas des séries :
Théorème :
(1) Pour les séries de fonction, la convergence uniforme entraîne la convergence
simple.
(2) Si le but E est complet pour
, la convergence normale entraîne la
E
convergence uniforme.
Démonstration :
(1) C’est le théorème précédent appliqué à la suite des sommes partielles.
(2) Rappel : si ( E,
E
) est complet, alors ( B( A, E),

) l’est aussi.
Soit u n le terme général d’une série normalement convergente.
Alors les u n sont des éléments de B ( A, E ) (car par hypothèse, un

existe et

u
n 0
converge)
n 

Comme ( B( A, E),
) est complet et


n 0

un
converge,

u
n 0
n
converge pour la
norme  , c'est-à-dire converge uniformément.
Application :
Etude de la convergence uniforme d’une série de fonctions un : A  E , ( E,
étant complet.
On commence par étudier la convergence normale, c'est-à-dire un  .
Si un

E
)
ne tend pas vers 0, il n’y a pas convergence uniforme
(Car si la suite ( S n ) nN converge uniformément vers g, alors ( S n1 ) nN converge
aussi uniformément vers g, donc un  Sn1  S n  0 )
Si la série de terme général un
uniforme (car E est complet).

converge, on a convergence normale, donc

Si maintenant
u
n 0
n 
diverge mais un

 0 , on a le
Théorème :
La série de terme général (un ) nN est uniformément convergente si et seulement si
elle converge simplement et la suite des restes tend uniformément vers 0.
Démonstration :
Si il y a convergence uniforme, alors il y a convergence simple.
De plus, Rn  S  S n , donc Rn   S  Sn   0 .

Si la série converge simplement vers S ( x)   u n ( x) , alors pour tout n  N et
n 0
tout x  A , S ( x)  Sn ( x)
E
 Rn ( x) E donc S  Sn

 Rn

0
Donc ( S n ) nN converge uniformément sur A vers S.
Application :
Lorsqu’on est dans ce cas (s’il n’y a pas convergence normale), on étudie la
convergence simple :
S’il n’y a pas convergence simple, il n’y a pas non plus convergence uniforme.
Si il y a convergence simple, on étudie Rn  .
Remarque :
La suite ( f n ) nN où f n : A  E ne converge pas uniformément vers 0 si et
seulement si il existe une suite (an ) nN de A telle que f n (an ) ne tend pas vers 0.
En effet, si
f n ( an )
E

S’il
n  N , f n
fn


 0 , alors pour tout n  N , il existe an  A tel que
1
f n  , et donc f n (an ) 
 0.
2
existe une suite (an ) nN

 f n (an ) E , et donc f n

de

 0
D) Critère de Cauchy uniforme d’une application
A
telle
que
f n (an ) 
 0,
alors
On suppose ( E,
E
) complet.
On dit que la suite de fonctions ( f n ) nN , où f n : A  E , vérifie le critère de
Cauchy uniforme lorsque :
  0, N  N , m  n  N , f n  f m   
Remarque :
Pour des fonctions bornées, c’est le critère de Cauchy dans ( B( A, E),

).
Théorème :
Si ( E, E ) est complet, le critère de Cauchy équivaut à la convergence uniforme.
(Déjà vu pour les suites, d’après la remarque…)
Exemples :
(1) n x n 1
converge uniformément sur 0;1 .
n 1
Déjà, il n’y a pas convergence normale.
Méthode 1 :
Etude de la convergence simple :
x n 1
Pour x  0;1 , la suite de terme général
décroît vers 0, donc la série de terme
n 1
(1) n x n 1
général
converge.
n 1

(1) k x k 1
Etude de la suite des restes Rn ( x)  
:
k 1
k  n 1
Montrer que la série de terme général
Pour x  0;1 , on a Rn ( x) 
(1) n x n 1
n 1
1
0
n 1
Donc la suite de terme général Rn tend uniformément vers 0 sur 0;1 , donc la
Donc Rn


série converge uniformément sur 0;1 .
Méthode 2 : on peut vérifier le critère de Cauchy…
Soit (bn ) nN une suite de réels qui décroît vers 0.
On pose un (t )  bn sin( nt ) .
Alors la série de terme général u n converge uniformément sur tout intervalle
a,2  a où a  0,   .
n
On va montrer le critère de Cauchy uniforme pour
u
k 1
k
(t )
n p
Etude de
b
k n
k
sin kt avec une transformation d’Abel :
n
 1  ei ( n1)t
 n ikt 

S
(
t
)

sin
kt

Im
e

Im
Posons, pour t  a,2  a , n
 

it
k 0
 k 0 
 1 e
Alors S n (t ) 
1  ei ( n 1)t
2
1
1



it
it
t
1 e
sin 2 sin a2
1 e
Donc S n est uniformément bornée sur a,2  a . Ainsi,
n p
n p
n p
n  p 1
k n
k n
k n
k  n 1
 bk sin kt   bk (S k (t )  S k 1 (t ))   bk S k (t ) 
n p
b
S (t )
k 1 k
  (bk  bk 1 ) S k (t )  bn S n 1 (t )  bn  p 1S n  p (t )
k n



Vérifions le critère de Cauchy :
Pour tout n  1 et p  2 et t  a,2  a :
n p
n p
bk sin kt   b j  b j 1 S j (t )  bn S n 1 (t )  bn  p 1 S n  p (t )



k n
j n 
b j b j 1
n p
  (b j  b j 1 )
j n
2b
1
1
 (bn  bn  p 1 )
 na
a
a
sin 2
sin 2 sin 2
Soit   0 ; comme bn  0 , il existe un rang N pour lequel n  N ,
Alors pour tout n  N , p  0 et tout t  a,2  a , on a
2bn

sin a2
n p
 u (t )  
k n
k
Donc le critère de Cauchy–uniforme est vérifié, et la série est uniformément
convergente sur a,2  a .
E) Dernière remarque
En pratique, on n’étudie la convergence uniforme que sur des fermés, d’après le
théorème :
Soit f : R  C continue et A une partie de R. Alors sup f ( x)  sup f ( x)
xA
x A
Conséquence :
Si une suite de fonctions réelles à valeurs dans C, continues, converge
uniformément sur A, alors elle converge uniformément sur A .
En effet :
Pour tout n, m  N , on a sup f n (t )  f m (t )  sup f n (t )  f m (t )
xA
xA
Donc le critère de Cauchy–uniforme sur A équivaut au critère de Cauchy–uniforme
sur A .
III Propriétés éventuelles des limites et des sommes de séries
A) Interversion des limites
Théorème (1) :
Soient E et F deux evn, où F est complet ; soit A une partie de E, et ( f n ) nN une
suite de fonctions de A dans F, et x0 un élément de A.
On suppose :
- Que f n converge uniformément sur A vers g : A  F
- Que pour tout n  N , f n (x) a une limite finie ln  F lorsque x  x0
Alors les quantités suivantes existent et sont égales :
lim g ( x)  lim ln , c'est-à-dire : lim lim f n ( x)  lim lim f n ( x) .
x x0
n
x  x0 n
n x x0
Démonstration :
- Convergence de l n :
Comme F est complet, il suffit de montrer que (ln ) nN est de Cauchy.
Or, en passant à la limite quand x  x0 dans x  A, f n ( x)  f m ( x)
on a n, m  N , ln  lm
E
 fn  fm
E
 fn  fm  ,

Comme la suite ( f n ) nN est uniformément convergente, elle vérifie le critère de
Cauchy–uniforme et donc (ln ) nN vérifie le critère de Cauchy dans E.
- Posons   lim ln , montrons que lim g ( x)   ,
n  
n  
C'est-à-dire que   0, V V ( x0 ), x V  A, g ( x)     .
Soit   0 . Comme ( f n ) nN converge uniformément vers g, il existe N tel que
n  N , f n  g

 3 .
Comme ln   , il existe N’ tel que n  N ' , ln    3
On prend n0  max( N , N ' ) .
Ainsi, lim f n0 ( x)  ln0
x  x0
Donc il existe V V ( x0 ) tel que x V  A, f n0 ( x)  ln0  3
Pour x V  A , on a ainsi
g ( x)    g ( x)  f n0 ( x)  f n0 ( x)  ln0  ln0    3  3  
Limite diagonale :
Soient ( f n ) nN , g avec f n , g : A  E .
On suppose que les f n sont continus en x0  A , que ( f n ) nN converge
uniformément vers g sur A ; soit de plus (t n ) nN une suite de A tendant vers x0 .
Alors f n (t n ) tend vers g ( x0 ) .
Illustration pour le nom de « diagonale » :
f1 (t0 )  f1 (t k )  f1 ( x0 )


f k (t0 ) 


f k (t k ) 


f k ( x0 )

g (t0 )
g (t k )  g ( x0 )
Démonstration :
g est continue en x0 car limite uniforme de fonctions continues en x0 .
Alors
f n (t n )  g ( x0 ) E  f n (t n )  g (t n )  g (t n )  g ( x0 ) E
 f n (t n )  g (t n ) E  g (t n )  g ( x0 )
E
0
B) Continuité des limites uniformes
Théorème (2) :
Soit ( f n ) nN où f n : A  F , A étant une partie d’un evn E, F un evn.
On suppose que ( f n ) nN converge uniformément sur A vers g : A  F , et que
pour tout n  N , f n est continue en x0 .
Alors g est continue en x0 .
Corollaire :
Si ( f n ) nN converge uniformément vers g sur A et si pour tout n  N , f n est
continue sur A, alors g est continue sur A.
Démonstration :
C’est la démonstration du théorème précédent sans l’existence de l n puisqu’on a
supposé qu’elle existe, et donc la complétude de F n’est pas nécessaire.
C) Cas de la variable réelle, limite en   .
Théorème (3) :
Soit A une partie de R non majorée, on pose x0   .
Soit F un evn complet, ( f n ) nN une suite de fonctions f n : A  F convergeant
uniformément vers g : A  F sur A, et on suppose que pour tout n  N , f n a une limite
finie l n en x0 .
Alors les deux quantités suivantes existent et sont égales :
lim ln  lim g ( x)
n
x  x0
Démonstration :
Voir théorème (1), analogue…
D) Exemples

Pour montrer que la somme d’une série de fonctions est continue, on peut
appliquer le théorème (2).
Exemple :

xn
x   2 est définie et continue sur D (0,1)  C
n 0 n
xn
En effet, pour tout n  N , un : x  2 est continue sur D (0,1) .
n
De plus, la série est normalement convergente sur D (0,1) , donc uniformément
convergente car C est complet.

On peut utiliser le théorème pour montrer qu’il n’y a pas convergence
uniforme.
Exemple :
La série de terme général xe nx converge simplement sur 0;1 mais pas
uniformément.
En effet, il y a déjà convergence simple (déjà vu)
0 si x  0

Si il y avait convergence uniforme, la fonction somme s( x)   x
si x  0;1
1  e  x
serait continue en 0 ce qui est faux.
 Lemme de Dini (hors programme)
Soit A une partie compacte d’un evn E, ( f n ) nN une suite de fonctions de A dans F
où F est un evn.
On suppose que :
(1) ( f n ) nN converge simplement vers g : A  F sur A
(2) g est continue sur A
(3) Pour tout x  A , f n ( x)  g ( x) F décroît vers 0.
Alors la convergence est uniforme.
Remarque :
(1) et (2) ne suffisent pas :
Par exemple, f n ( x)  n xe nx converge simplement vers 0 sur R  lorsque   1 ,
n 1

 0

e
Démonstration du théorème :
Soit   0 , considérons On  x  A, f n ( x)  g ( x)
mais f n


Alors On est un ouvert de A car f n , g ,
F
F


sont continus.
Les On recouvrent A : pour x  A , comme ( f n ( x)) nN converge vers g (x ) , il
existe N tel que n  N , x  On
p
Comme de plus A est compact, il existe n0 ,...n p tels que A   On j
j 0
De plus, comme f n ( x)  g ( x)
Si on prend N  max n0 ,...n p ,
F
décroît, la suite On est croissante pour l’inclusion
On a A  ON , c'est-à-dire x  A, f N ( x)  g ( x)
On a alors n  N , x  A, f N ( x)  g ( x)
convergence uniforme.
F
F

  , ce qui correspond à la
E) Suites et séries d’intégrales
Théorème :
Soit a, b un segment de R, F un evn complet.
Soit ( f n ) nN , où les f n : a, b  F sont continues, convergeant uniformément vers
g sur a, b.
Alors g est continue, et

b

g (t )dt  lim
b
n  a
a
f n (t )dt .
Corollaire :
C’est la même chose pour les séries.
Démonstration :

b
a
b
g (t )dt   f n (t )dt 
a
b
 ( g (t )  f
a
n
(t )) dt
b
  g (t )  f n (t ) dt  g  f n  (b  a)  0
a
(La complétude est ici nécessaire pour définir l’intégrale d’une fonction continue)
1
F) Caractère C .
On se limite ici à des fonctions d’une variable réelle.
Théorème :
Soit I un intervalle de R, ( f n ) nN une suite de fonctions f n : I  F de classe C 1
où F est un espace de Banach.
On suppose que :
(1) ( f 'n ) nN converge uniformément vers h : I  F sur I.
(2) Il existe a  I tel que ( f n (a)) nN converge vers l  F .
Alors la suite ( f n ) nN converge simplement sur I vers la fonction
x
g : x  l   h(t )dt .
a
De plus, la convergence est uniforme sur tout segment inclus dans I.
NB :
La condition (1) est la convergence uniforme de la suite des dérivées
La condition (2) est la convergence simple en au moins un point.
Corollaire :
Soit ( f n ) nN une suite de fonctions de classe C 1 , f n : I  F (F étant un espace de
Banach). Pour que ( f n ) nN converge simplement sur I vers une fonction g : I  F de
classe C 1 , il suffit que la suite ( f 'n ) nN converge uniformément et qu’il y ait
convergence simple de ( f n ( x)) nN en au moins un point x.
(Et dans ce cas, ( f n ) nN converge uniformément vers g sur tout segment de I)
Démonstration :
Pour tout x  I ,
x
x
a
a
g ( x)  f n ( x)  l   h(t )dt  f n (a )   f 'n (t )dt
 l  f n (a) 

x
a
(h(t )  f 'n (t )) dt
 l  f n ( a )  x  a h  f 'n

(pour la dernière inégalité, distinguer a  x / a  x , mais on obtient la même chose)
D’où la convergence simple.
Soit K  u, v un segment inclus dans I, on note M  max  u  a , v  a 
Pour tout x K , on a alors g ( x)  f n ( x)  l  f n (a )  M h  f 'n 


majorant uniforme tendant vers 0
Donc ( f n ) nN converge uniformément vers g sur K.
k
G) Caractère C .
Théorème :
Soit I un intervalle de R, ( f n ) nN une suite de fonctions f n : I  F où F est un
espace de Banach, et k N   
On suppose que ( f n ) nN converge simplement vers g sur I.
On suppose de plus que :
(1) Pour tout n  N , f n est de classe C k .
(2) Pour tout j  k , la suite ( f n( j ) ) nN converge uniformément sur tout segment
a, b inclus dans I vers une fonction h j : I  F .
Alors g est de classe C k , et pour tout j  k , tout x  I :
g ( j ) ( x)  h j ( x) ,
C'est-à-dire g ( j ) ( x)  lim f n( j ) ( x) .
n
Corollaire :
On a le même énoncé avec les séries (on dit aussi dans ce cas que la fonction
somme est dérivable terme à terme)
Remarque :
La condition (2) n’est pas optimale :
Si k  N , on peut la remplacer par f (k ) converge uniformément sur tout segment
inclus dans I vers hk et pour tout j  k , f ( j ) converge simplement en au moins un point
Démonstration :
Pour k fini, on fait par récurrence sur k.
Sinon, on utilise le fait que C  ( I , F )   C k ( I , F ) .
kN