8 Nombres complexes

8 Nombres complexes
8.1 Nombres complexes
Résumé des principales étapes de la résolution des équations mathématiques :
•L’équation x+ 5 = 3 n’a pas de solution dans N, mais en possède une dans Z:x=−2 ;
•L’équation 3x= 1 n’a pas de solution dans Nou Z(ni dans l’ensemble des nombres décimaux),
mais en possède une dans Q:x=1
3;
•L’équation x2= 2 n’a pas de solution dans Q, mais en possède deux dans R:x=√2 et x=−√2 ;
•L’équation x2+ 1 = 0 n’a pas de solution dans R, mais en possède deux dans l’ensemble des
nombres complexes C:x= i et x=−i.
Chaque nouvel ensemble de nombres ainsi créé contient le précédent : N⊂Z⊂Q⊂R⊂C.
8.1.1 Nombres complexes : forme algébrique
Théorème (admis) : Il existe un ensemble appelé ensemble des nombres complexes, noté C, qui possède
les propriétés suivantes :
•Ccontient l’ensemble des nombres réels R;
•L’addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres complexes et les
règles de calcul restent les mêmes ;
•Il existe un nombre complexe noté i tel que i2=−1 ;
•Tout nombre complexe zs’écrit de manière unique :z=x+ iy, où x∈Ret y∈R.
Définition : L’écriture z=x+ iy, avec x∈Ret y∈R, est appelée forme algébrique du nombre
complexe z.
xest la partie réelle de z, notée Re(z) et yest la partie imaginaire de z, notée Im(z).
Exemple : Pour z=√3−2i, on a Re(z) = √3 et Im(z) = −2.
Remarques :•Re(z) et Im(z) sont des nombres réels ;
•Si Im(z) = 0, alors zest un nombre réel ;
•Si Re(z) = 0, alors z= iy, avec y∈R:zest un imaginaire pur.
Théorème : Deux nombres complexes sont égaux, si, et seulement si, ils ont même partie réelle et
même partie imaginaire.
Preuve : La forme algébrique d’un nombre complexe est unique, donc si z=a+ ib=c+ id, alors a=cet b=d.
Remarque : En particulier (a+ ib= 0) ⇔(a= 0 et b= 0), a∈Ret b∈R.
Conjugué d’un nombre complexe
Définition : On appelle conjugué du nombre complexe z=x+ iy, le nombre complexe noté z, défini
par : z=x−iy.
Exemples : 2 + 3i = 2 −3i ; 2i = −2i ; −4 = −4.
Remarques :•Ne pas confondre opposé et conjugué ;
•Le conjugué d’un réel est égal à ce réel ;
•Le conjugué d’un imaginaire pur est l’opposé de cet imaginaire pur.
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Maths Ts 8. Nombres complexes prog 2011
Premières propriétés du conjugué
Théorème : Pour tout nombre complexe z:
(1) z=z(2) z+z= 2 Re(z) (3) z−z= 2i Im(z)
(4) (z∈R)⇔(z=z) (5) (zimaginaire pur) ⇔(z=−z)
Preuve :z=x+ iy, avec xet yréels : Re(z) = xet Im(z) = y.
(1) z= (x+ iy) = x−iy=x+ iy=z;
(2) z+z=x+ iy+x−iy= 2x= 2 Re(z) ;
(3) z−z=x+ iy−(x−iy) = 2iy= 2i Im(z) ;
(4) Si z∈R, alors z=x, donc z=x=z;
réciproquement si z=z, alors x−iy=x+ iyet l’écriture algébrique d’un nombre complexe étant unique on a
−y=ydonc y= 0, ce qui prouve que zest réel.
(5) Si zest un imaginaire pur, alors z= iy, donc z=−iy=−z;
réciproquement si z=−z, alors x−iy=−(x+ iy) = −x−iyd’où on tire que x=−xet puis x= 0, ce qui prouve
que zest un imaginaire pur. 
8.1.2 Calculs avec les nombres complexes
Addition
Si z=a+ ibet z′=a′+ ib′, alors :
•z+z′=a+a′+ i(b+b′) ;
• −z=−a−ibest l’opposé de z.
Exemples :•z= 2 −3i et z′=−2 + 4i, alors : z+z′= 2 −2−3i + 4i = i ;
•z=√3−2i et z′=−1 + 2i, alors : z+z′=√3−1−2i + 2i = √3−1.
Multiplication
Si z=a+ ibet z′=a′+ ib′, alors zz′= (a+ ib)(a′+ ib′) = aa′−bb′+ i(ab′+ba′).
Exemples :•z= 2 + 3i et z′=−2−4i, alors zz′= (2 + 3i)(−2−4i) = −4 + 12 + i(−8−6) = 8 −14i ;
•z=√3−2i et z′=√3 + 2i, alors zz′= (√3 + 2i)(√3−2i) = √32−4i2+ i(2√3−2√3) = 7.
Inverse et division
Théorème : Tout nombre complexe znon nul admet un inverse noté 1
ztel que z×1 z= 1.
Preuve : Soit z=a+ib, alors zz = (a+ib)(a−ib) = a2+b2, or si zest non nul, aet bne peuvent pas être nuls simultanément
et a2+b26= 0 ; par suite zz
a2+b2= 1, ou encore z×a−ib a2+b2= 1, donc a−ib a2+b2est l’inverse de z:1 z=a−ib a2+b2=z a2+b2,
ce qui prouve l’existence de l’inverse de zpour z6= 0. 
Si z=a+ ibet z′=a′+ ib′, avec z′6= 0, alors z
z′=z×1 z′= (a+ ib)×a′−ib′ a′2+b′2.
Exemple :2−3i
5 + i = (2 −3i) ×5−i 52+ 12=(2 −3i)(5 −i) 26 =7−17i 26 =7 26 −17 26i.
Conjugué et opérations
Théorème : Pour tous nombres complexes zet z′et tout nombre entier naturel nnon nul :
(1) z+z′=z+z′(2) zz′=zz′(3) zn= (z)n
et si z6= 0 :
(4) Å1
zã=1 z(5) Åz′ zã=z′ z
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Preuve : Pour z=a+ ibet z′=a′+ ib′:
(1) z+z′=a+a′+ i(b+b′) = a+a′−i(b+b′) = a−ib+a′+ ib′=z+z′;
(2) zz′=aa′−bb′+ i(ab′+ba′) = aa′−bb′−i(ab′+ba′) et zz′= (a−ib)(a′−ib′) = aa′−bb′−i(ab′+ba′), donc
zz′=zz′;
(3) la propriété précédente se généralise par récurrence pour zn=zn:
– la propriété est vraie au rang n= 1 : z1=z1=z,
– dès que zn=zn, alors zn+1 = (zn×z) = zn×z= (z)n×z= (z)n+1,
ce qui prouve la proposition pour tout n∈N,n > 0 ;
(4) Si z6= 0, 1
z=1 a+ ib=a−ib a2+b2=a a2+b2+ i b a2+b2=a+ ib a2+b2=1 z;
(5) Si z6= 0, z′
z= (a′+ ib′)×a−ib a2+b2=aa′+bb′+ i(ab′−ba′) a2+b2, alors z′ z=aa′+bb′−i(ab′−ba′) a2+b2,
d’autre part z′
z= (a′−ib′)×a+ ib a+b2=aa′+bb′+ i(−ab′+ba′) a2+b2=aa′+bb′−i(ab′−ba′) a+b2,
donc z′
z=z′ z.
8.2 Équation du second degré
8.2.1 Racines carrées d’un nombre réel dans C
Dans Rseuls les nombres positifs apossèdent une racine carrée définie comme le réel positif, noté √a,
dont le carré est égal à a:√a2=a.
Définition : Soit aun nombre réel.
Les solutions de l’équation z2=asont appelées racines carrées de adans C.
Théorème : Tout nombre réel a non nul admet deux racines carrées dans C:
•Si a > 0, alors les racines carrées de asont les nombres √aet −√a;
•Si a < 0, alors les racines carrées de asont les nombres complexes i√−aet −i√−a.
Preuve : Si a > 0, alors :
(z2=a)⇔(z2−√a2= 0) ⇔((z−√a)(z+√a) = 0)
d’où les racines carrées : √aet −√a.
Si a < 0, alors :
(z2=a)⇔(z2+ (−a) = 0) ⇔Äz2−i√−a2= 0ä⇔(z−i√−a)(z+ i√−a) = 0
d’où les deux racines carrées : i√−aet −i√−a.
Remarque : Les racines carrées dans Cd’un réel sont opposées.
Exemples : Les racines carrées de 2 sont √2 et −√2 ; les racines carrées de −3 sont i√3 et −i√3.
8.2.2 Équation az2+bz +c
Théorème : L’équation az2+bz +c= 0, a,bet créels et a6= 0, de discriminant ∆ = b2−4ac,
admet :
•si ∆ = 0, une solution unique réelle : −b
2a;
•si ∆ 6= 0 et ∆ >0, deux solutions réelles : −b−√∆
2aet −b+√∆ 2a;
•si ∆ 6= 0 et ∆ <0, deux solutions complexes conjuguées : −b−i√−∆
2aet −b+ i√−∆ 2a.
Preuve : Mise sous forme canonique :
az2+bz +c=az2+b
az+c a=aÅz+b 2a2
−∆
4a2ã,avec ∆ = b2−4ac
donc résoudre az2+bz +c= 0 revient à résoudre z+b
2a2
=∆
4a2, car a6= 0. Alors :
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•si ∆ = 0, z+b
2a2
= 0 est équivalent à : z=−b
2a;
•si ∆ >0, z+b
2a2
=∆
4a2est équivalent à : z=−b 2a−√∆ 2a=−b−√∆ 2aou z=−b 2a+√∆ 2a=−b+√∆ 2a;
•si ∆ <0, z+b
2a2
=−Å√−∆
2aã2
est équivalent à : z=−b
2a−i√−∆ 2a=−b−i√−∆ 2aou z=−b 2a+ i √−∆ 2a=
−b+ i√−∆
2a.
Remarque : Si on note z1et z2les solutions de l’équation az2+bz+c= 0 (racines du polynôme az2+bz+c),
éventuellement égales (z1=z2), alors pour tout nombre complexe z:az2+bz +c=a(z−z1)(z−z2).
Exemple :z2+z+1 = 0 a pour discriminant ∆ = −3, donc les solutions dans Cde cette équation sont les
nombres complexes conjugués : −1
2−i√3 2et −1 2+ i√3 2et z2+z+ 1 = Çz+1 + i√3 2åÇz+1−i√3 2å.
8.3 Représentation géométrique
Définition :•À tout point Mdu plan de coordonnées M(x;y) est associé le complexe z=x+ iy,
appelé affixe de M; on note aussi M(z) pour M(x;y) ;
•À tout complexe z=x+ iy, avec xet yréels, on associe le point Mde coordonnées M(x;y),
appelé point image de z;
•Le plan muni d’un repère orthonormal direct (O;~u,~v) dans lequel on représente les nombres com-
plexes est appelé plan complexe.
Rappel : Le repère orthonormal (O;~u,~v) est direct si (~u;~v) = π
2(angle orienté de vecteurs).
Exemple : Les nombres complexes 5 + 3i, 5 −3i, −1−i, −3 + 2i et 2 + i sont les affixes respectives des
points A(5 ; 3), B(5 ; −3), C(−1 ; −1), D(−3 ; 2) et M(2 ; 1).
Aest le point image du nombre complexe 5 + 3i, etc.
Remarques :•Les nombres réels sont les affixes des points de l’axe des abscisses appelé aussi axe des
réels dans le plan complexe ;
•Les nombres imaginaires purs sont les affixes des points de l’axe des ordonnées appelé aussi axe des
imaginaires purs dans le plan complexe ;
•Les points images de deux nombres complexes conjugués sont symétriques par rapport à l’axe des
réels ; ainsi les points Aet Bde la figure ayant des affixes conjuguées 5 + 3i et 5 −3i sont symétriques
par rapport à l’axe des abscisses.
x
y
A(5 ; 3)
B(5 ; −3)
C(−1 ; −1)
D(−3 ; 2)
M(2 ; 1)
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Affixe du milieu d’un segment
Théorème : Si deux points Aet Bont pour affixes respectives zAet zB, alors l’affixe du milieu M
du segment [AB] est zM=zA+zB
2.
Preuve :zA=xA+ iyAet zB=xB+ iyB, alors les coordonnées du milieu Mde [AB] sont : xM=xA+xB
2et yM=
yA+yB
2, d’où l’affixe de M:zM=xA+xB 2+i yA+yB 2=xA+xB+ i(yA+yB) 2=xA+ iyA+xB+ iyB 2=zA+zB 2.
Exemple : Sur la figure ci-dessus Md’affixe zM= 2 + i est le milieu du segment [AC]. En effet :
zA+zC
2=1 2(5 + 3i −1−i) = 1 2(4 + 2i) = 2 + i = zM.
Vecteurs dans le plan complexe
Définition : Dans le plan complexe :
•à tout vecteur ~u de coordonnées (x;y) est associé le nombre complexe z=x+iyappelé affixe
de ~u ;
•à tout nombre complexe z=x+ iy, avec xet yréels, on associe le vecteur ~u de coordonnées
(x;y) appelé vecteur image de z.
Exemple : Sur la figure ci-dessus, zA= 5 + 3i est l’affixe du vecteur −→ OA ;
−→
OA est le vecteur image de zA.
Théorème : Si Aet Bsont deux points du plan complexe d’affixes respectives zAet zB, alors le
vecteur −−→
AB a pour affixe zB−zA.
Preuve :zA=xA+ iyAaffixe de A, donc A(xA;yA) et zB=xB+ iyBaffixe de B, donc B(xB;yB), alors les coordonnées
du vecteur −→ AB sont (xB−xA;yB−yA), ce qui prouve que zB−zA=xB−xA+ i(yB−yA) est bien l’affixe de −→ AB.
Exemple : Sur la figure ci-dessus, zA= 5 + 3i et zD=−3 + 2i, alors −−→ AD a pour affixe zD−zA=
−3 + 2i −(5 + 3i) = −8−i.
Théorème : Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, leurs affixes sont égales.
Preuve : Soit ~u d’affixe z=x+ iy, avec xet yréels, et ~ u′d’affixe z′=x′+ iy′, avec x′et y′réels. Alors :
(~u =~ u′)⇔(~u −~ u′=~ 0) ⇔(z−z′= 0) ⇔(x−x′+ i(y−y′) = 0) ⇔(x=x′et y=y′)
car l’écriture algébrique d’un nombre complexe est unique. 
Théorème : Soient ~u et ~v d’affixes respectives zet z′et λun réel, alors l’affixe du vecteur ~u +~v est
z+z′et celle du vecteur λ~u et λz.
Preuve : Si z=x+iyet z′=x′+iy′, le vecteur ~u+~v a pour coordonnées (x+x′;y+y′) donc pour affixe x+x′+i(y+y′) = z+z′
et λ~u a pour coordonnées (λx ;λy) donc pour affixe λx + iλy =λ(x+ iy) = λz.
8.4 Forme trigonométrique
Module d’un nombre complexe
M(z)
|z|
0
~u
~v
x
y
Définition : Dans le plan complexe, zétant un nombre com-
plexe de forme algébrique z=x+ iy(xet yréels uniques),
le module de zest le nombre réel positif noté |z|et défini
par :
|z|=px2+y2
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