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Maths Ts 8. Nombres complexes prog 2011
Affixe du milieu d’un segment
Théorème : Si deux points Aet Bont pour affixes respectives zAet zB, alors l’affixe du milieu M
du segment [AB] est zM=zA+zB
2.
Preuve :zA=xA+ iyAet zB=xB+ iyB, alors les coordonnées du milieu Mde [AB] sont : xM=xA+xB
2et yM=
yA+yB
2, d’où l’affixe de M:zM=xA+xB
2+i yA+yB
2=xA+xB+ i(yA+yB)
2=xA+ iyA+xB+ iyB
2=zA+zB
2.
Exemple : Sur la figure ci-dessus Md’affixe zM= 2 + i est le milieu du segment [AC]. En effet :
zA+zC
2=1
2(5 + 3i −1−i) = 1
2(4 + 2i) = 2 + i = zM.
Vecteurs dans le plan complexe
Définition : Dans le plan complexe :
•à tout vecteur ~u de coordonnées (x;y) est associé le nombre complexe z=x+iyappelé affixe
de ~u ;
•à tout nombre complexe z=x+ iy, avec xet yréels, on associe le vecteur ~u de coordonnées
(x;y) appelé vecteur image de z.
Exemple : Sur la figure ci-dessus, zA= 5 + 3i est l’affixe du vecteur −→
OA ;
−→
OA est le vecteur image de zA.
Théorème : Si Aet Bsont deux points du plan complexe d’affixes respectives zAet zB, alors le
vecteur −−→
AB a pour affixe zB−zA.
Preuve :zA=xA+ iyAaffixe de A, donc A(xA;yA) et zB=xB+ iyBaffixe de B, donc B(xB;yB), alors les coordonnées
du vecteur −→
AB sont (xB−xA;yB−yA), ce qui prouve que zB−zA=xB−xA+ i(yB−yA) est bien l’affixe de −→
AB.
Exemple : Sur la figure ci-dessus, zA= 5 + 3i et zD=−3 + 2i, alors −−→
AD a pour affixe zD−zA=
−3 + 2i −(5 + 3i) = −8−i.
Théorème : Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, leurs affixes sont égales.
Preuve : Soit ~u d’affixe z=x+ iy, avec xet yréels, et ~
u′d’affixe z′=x′+ iy′, avec x′et y′réels. Alors :
(~u =~
u′)⇔(~u −~
u′=~
0) ⇔(z−z′= 0) ⇔(x−x′+ i(y−y′) = 0) ⇔(x=x′et y=y′)
car l’écriture algébrique d’un nombre complexe est unique.
Théorème : Soient ~u et ~v d’affixes respectives zet z′et λun réel, alors l’affixe du vecteur ~u +~v est
z+z′et celle du vecteur λ~u et λz.
Preuve : Si z=x+iyet z′=x′+iy′, le vecteur ~u+~v a pour coordonnées (x+x′;y+y′) donc pour affixe x+x′+i(y+y′) = z+z′
et λ~u a pour coordonnées (λx ;λy) donc pour affixe λx + iλy =λ(x+ iy) = λz.
8.4 Forme trigonométrique
Module d’un nombre complexe
M(z)
|z|
0
~u
~v
x
y
Définition : Dans le plan complexe, zétant un nombre com-
plexe de forme algébrique z=x+ iy(xet yréels uniques),
le module de zest le nombre réel positif noté |z|et défini
par :
|z|=px2+y2
math4
bac – 38 – v1.618