8 Nombres complexes
8.1 Nombres complexes
Résumé des principales étapes de la résolution des équations mathématiques :
L’équation x+ 5 = 3 n’a pas de solution dans N, mais en possède une dans Z:x=2 ;
L’équation 3x= 1 n’a pas de solution dans Nou Z(ni dans l’ensemble des nombres décimaux),
mais en possède une dans Q:x=1
3;
L’équation x2= 2 n’a pas de solution dans Q, mais en possède deux dans R:x=2 et x=2 ;
L’équation x2+ 1 = 0 n’a pas de solution dans R, mais en possède deux dans l’ensemble des
nombres complexes C:x= i et x=i.
Chaque nouvel ensemble de nombres ainsi créé contient le précédent : NZQRC.
8.1.1 Nombres complexes : forme algébrique
Théorème (admis) : Il existe un ensemble appelé ensemble des nombres complexes, noté C, qui possède
les propriétés suivantes :
Ccontient l’ensemble des nombres réels R;
L’addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres complexes et les
règles de calcul restent les mêmes ;
Il existe un nombre complexe noté i tel que i2=1 ;
Tout nombre complexe zs’écrit de manière unique :z=x+ iy, xRet yR.
Définition : L’écriture z=x+ iy, avec xRet yR, est appelée forme algébrique du nombre
complexe z.
xest la partie réelle de z, notée Re(z) et yest la partie imaginaire de z, notée Im(z).
Exemple : Pour z=32i, on a Re(z) = 3 et Im(z) = 2.
Remarques :Re(z) et Im(z) sont des nombres réels ;
Si Im(z) = 0, alors zest un nombre réel ;
Si Re(z) = 0, alors z= iy, avec yR:zest un imaginaire pur.
Théorème : Deux nombres complexes sont égaux, si, et seulement si, ils ont même partie réelle et
même partie imaginaire.
Preuve : La forme algébrique d’un nombre complexe est unique, donc si z=a+ ib=c+ id, alors a=cet b=d.
Remarque : En particulier (a+ ib= 0) (a= 0 et b= 0), aRet bR.
Conjugué d’un nombre complexe
Définition : On appelle conjugué du nombre complexe z=x+ iy, le nombre complexe noté z, défini
par : z=xiy.
Exemples : 2 + 3i = 2 3i ; 2i = 2i ; 4 = 4.
Remarques :Ne pas confondre opposé et conjugué ;
Le conjugué d’un réel est égal à ce réel ;
Le conjugué d’un imaginaire pur est l’opposé de cet imaginaire pur.
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Maths Ts 8. Nombres complexes prog 2011
Premières propriétés du conjugué
Théorème : Pour tout nombre complexe z:
(1) z=z(2) z+z= 2 Re(z) (3) zz= 2i Im(z)
(4) (zR)(z=z) (5) (zimaginaire pur) (z=z)
Preuve :z=x+ iy, avec xet yréels : Re(z) = xet Im(z) = y.
(1) z= (x+ iy) = xiy=x+ iy=z;
(2) z+z=x+ iy+xiy= 2x= 2 Re(z) ;
(3) zz=x+ iy(xiy) = 2iy= 2i Im(z) ;
(4) Si zR, alors z=x, donc z=x=z;
réciproquement si z=z, alors xiy=x+ iyet l’écriture algébrique d’un nombre complexe étant unique on a
y=ydonc y= 0, ce qui prouve que zest réel.
(5) Si zest un imaginaire pur, alors z= iy, donc z=iy=z;
réciproquement si z=z, alors xiy=(x+ iy) = xiyd’où on tire que x=xet puis x= 0, ce qui prouve
que zest un imaginaire pur.
8.1.2 Calculs avec les nombres complexes
Addition
Si z=a+ ibet z=a+ ib, alors :
z+z=a+a+ i(b+b) ;
• −z=aibest l’opposé de z.
Exemples :z= 2 3i et z=2 + 4i, alors : z+z= 2 23i + 4i = i ;
z=32i et z=1 + 2i, alors : z+z=312i + 2i = 31.
Multiplication
Si z=a+ ibet z=a+ ib, alors zz= (a+ ib)(a+ ib) = aabb+ i(ab+ba).
Exemples :z= 2 + 3i et z=24i, alors zz= (2 + 3i)(24i) = 4 + 12 + i(86) = 8 14i ;
z=32i et z=3 + 2i, alors zz= (3 + 2i)(32i) = 324i2+ i(2323) = 7.
Inverse et division
Théorème : Tout nombre complexe znon nul admet un inverse noté 1
ztel que z×1
z= 1.
Preuve : Soit z=a+ib, alors zz = (a+ib)(aib) = a2+b2, or si zest non nul, aet bne peuvent pas être nuls simultanément
et a2+b26= 0 ; par suite zz
a2+b2= 1, ou encore z×aib
a2+b2= 1, donc aib
a2+b2est l’inverse de z:1
z=aib
a2+b2=z
a2+b2,
ce qui prouve l’existence de l’inverse de zpour z6= 0.
Si z=a+ ibet z=a+ ib, avec z6= 0, alors z
z=z×1
z= (a+ ib)×aib
a2+b2.
Exemple :23i
5 + i = (2 3i) ×5i
52+ 12=(2 3i)(5 i)
26 =717i
26 =7
26 17
26i.
Conjugué et opérations
Théorème : Pour tous nombres complexes zet zet tout nombre entier naturel nnon nul :
(1) z+z=z+z(2) zz=zz(3) zn= (z)n
et si z6= 0 :
(4) Å1
zã=1
z(5) Åz
zã=z
z
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Preuve : Pour z=a+ ibet z=a+ ib:
(1) z+z=a+a+ i(b+b) = a+ai(b+b) = aib+a+ ib=z+z;
(2) zz=aabb+ i(ab+ba) = aabbi(ab+ba) et zz= (aib)(aib) = aabbi(ab+ba), donc
zz=zz;
(3) la propriété précédente se généralise par récurrence pour zn=zn:
– la propriété est vraie au rang n= 1 : z1=z1=z,
– dès que zn=zn, alors zn+1 = (zn×z) = zn×z= (z)n×z= (z)n+1,
ce qui prouve la proposition pour tout nN,n > 0 ;
(4) Si z6= 0, 1
z=1
a+ ib=aib
a2+b2=a
a2+b2+ i b
a2+b2=a+ ib
a2+b2=1
z;
(5) Si z6= 0, z
z= (a+ ib)×aib
a2+b2=aa+bb+ i(abba)
a2+b2, alors z
z=aa+bbi(abba)
a2+b2,
d’autre part z
z= (aib)×a+ ib
a+b2=aa+bb+ i(ab+ba)
a2+b2=aa+bbi(abba)
a+b2,
donc z
z=z
z.
8.2 Équation du second degré
8.2.1 Racines carrées d’un nombre réel dans C
Dans Rseuls les nombres positifs apossèdent une racine carrée définie comme le réel positif, noté a,
dont le carré est égal à a:a2=a.
Définition : Soit aun nombre réel.
Les solutions de l’équation z2=asont appelées racines carrées de adans C.
Théorème : Tout nombre réel a non nul admet deux racines carrées dans C:
Si a > 0, alors les racines carrées de asont les nombres aet a;
Si a < 0, alors les racines carrées de asont les nombres complexes iaet ia.
Preuve : Si a > 0, alors :
(z2=a)(z2a2= 0) ((za)(z+a) = 0)
d’où les racines carrées : aet a.
Si a < 0, alors :
(z2=a)(z2+ (a) = 0) Äz2ia2= 0ä(zia)(z+ ia) = 0
d’où les deux racines carrées : iaet ia.
Remarque : Les racines carrées dans Cd’un réel sont opposées.
Exemples : Les racines carrées de 2 sont 2 et 2 ; les racines carrées de 3 sont i3 et i3.
8.2.2 Équation az2+bz +c
Théorème : L’équation az2+bz +c= 0, a,bet créels et a6= 0, de discriminant ∆ = b24ac,
admet :
si ∆ = 0, une solution unique réelle : b
2a;
si 6= 0 et >0, deux solutions réelles : b
2aet b+
2a;
si 6= 0 et <0, deux solutions complexes conjuguées : bi
2aet b+ i
2a.
Preuve : Mise sous forme canonique :
az2+bz +c=az2+b
az+c
a=aÅz+b
2a2
4a2ã,avec = b24ac
donc résoudre az2+bz +c= 0 revient à résoudre z+b
2a2
=
4a2, car a6= 0. Alors :
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si ∆ = 0, z+b
2a2
= 0 est équivalent à : z=b
2a;
si >0, z+b
2a2
=
4a2est équivalent à : z=b
2a
2a=b
2aou z=b
2a+
2a=b+
2a;
si <0, z+b
2a2
=Å
2aã2
est équivalent à : z=b
2ai
2a=bi
2aou z=b
2a+ i
2a=
b+ i
2a.
Remarque : Si on note z1et z2les solutions de l’équation az2+bz+c= 0 (racines du polynôme az2+bz+c),
éventuellement égales (z1=z2), alors pour tout nombre complexe z:az2+bz +c=a(zz1)(zz2).
Exemple :z2+z+1 = 0 a pour discriminant ∆ = 3, donc les solutions dans Cde cette équation sont les
nombres complexes conjugués : 1
2i3
2et 1
2+ i3
2et z2+z+ 1 = Çz+1 + i3
2åÇz+1i3
2å.
8.3 Représentation géométrique
Définition :À tout point Mdu plan de coordonnées M(x;y) est associé le complexe z=x+ iy,
appelé affixe de M; on note aussi M(z) pour M(x;y) ;
À tout complexe z=x+ iy, avec xet yréels, on associe le point Mde coordonnées M(x;y),
appelé point image de z;
Le plan muni d’un repère orthonormal direct (O;~u,~v) dans lequel on représente les nombres com-
plexes est appelé plan complexe.
Rappel : Le repère orthonormal (O;~u,~v) est direct si (~u;~v) = π
2(angle orienté de vecteurs).
Exemple : Les nombres complexes 5 + 3i, 5 3i, 1i, 3 + 2i et 2 + i sont les affixes respectives des
points A(5 ; 3), B(5 ; 3), C(1 ; 1), D(3 ; 2) et M(2 ; 1).
Aest le point image du nombre complexe 5 + 3i, etc.
Remarques :Les nombres réels sont les affixes des points de l’axe des abscisses appelé aussi axe des
réels dans le plan complexe ;
Les nombres imaginaires purs sont les affixes des points de l’axe des ordonnées appelé aussi axe des
imaginaires purs dans le plan complexe ;
Les points images de deux nombres complexes conjugués sont symétriques par rapport à l’axe des
réels ; ainsi les points Aet Bde la figure ayant des affixes conjuguées 5 + 3i et 5 3i sont symétriques
par rapport à l’axe des abscisses.
x
y
A(5 ; 3)
B(5 ; 3)
C(1 ; 1)
D(3 ; 2)
M(2 ; 1)
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Affixe du milieu d’un segment
Théorème : Si deux points Aet Bont pour affixes respectives zAet zB, alors l’affixe du milieu M
du segment [AB] est zM=zA+zB
2.
Preuve :zA=xA+ iyAet zB=xB+ iyB, alors les coordonnées du milieu Mde [AB] sont : xM=xA+xB
2et yM=
yA+yB
2, d’où l’affixe de M:zM=xA+xB
2+i yA+yB
2=xA+xB+ i(yA+yB)
2=xA+ iyA+xB+ iyB
2=zA+zB
2.
Exemple : Sur la figure ci-dessus Md’affixe zM= 2 + i est le milieu du segment [AC]. En effet :
zA+zC
2=1
2(5 + 3i 1i) = 1
2(4 + 2i) = 2 + i = zM.
Vecteurs dans le plan complexe
Définition : Dans le plan complexe :
à tout vecteur ~u de coordonnées (x;y) est associé le nombre complexe z=x+iyappelé affixe
de ~u ;
à tout nombre complexe z=x+ iy, avec xet yréels, on associe le vecteur ~u de coordonnées
(x;y) appelé vecteur image de z.
Exemple : Sur la figure ci-dessus, zA= 5 + 3i est l’affixe du vecteur
OA ;
OA est le vecteur image de zA.
Théorème : Si Aet Bsont deux points du plan complexe d’affixes respectives zAet zB, alors le
vecteur
AB a pour affixe zBzA.
Preuve :zA=xA+ iyAaffixe de A, donc A(xA;yA) et zB=xB+ iyBaffixe de B, donc B(xB;yB), alors les coordonnées
du vecteur
AB sont (xBxA;yByA), ce qui prouve que zBzA=xBxA+ i(yByA) est bien l’affixe de
AB.
Exemple : Sur la figure ci-dessus, zA= 5 + 3i et zD=3 + 2i, alors
AD a pour affixe zDzA=
3 + 2i (5 + 3i) = 8i.
Théorème : Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, leurs affixes sont égales.
Preuve : Soit ~u d’affixe z=x+ iy, avec xet yréels, et ~
ud’affixe z=x+ iy, avec xet yréels. Alors :
(~u =~
u)(~u ~
u=~
0) (zz= 0) (xx+ i(yy) = 0) (x=xet y=y)
car l’écriture algébrique d’un nombre complexe est unique.
Théorème : Soient ~u et ~v d’affixes respectives zet zet λun réel, alors l’affixe du vecteur ~u +~v est
z+zet celle du vecteur λ~u et λz.
Preuve : Si z=x+iyet z=x+iy, le vecteur ~u+~v a pour coordonnées (x+x;y+y) donc pour affixe x+x+i(y+y) = z+z
et λ~u a pour coordonnées (λx ;λy) donc pour affixe λx + iλy =λ(x+ iy) = λz.
8.4 Forme trigonométrique
Module d’un nombre complexe
M(z)
|z|
0
~u
~v
x
y
Définition : Dans le plan complexe, zétant un nombre com-
plexe de forme algébrique z=x+ iy(xet yréels uniques),
le module de zest le nombre réel positif noté |z|et défini
par :
|z|=px2+y2
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