Corrigé du devoir 5 – 1 STMG Exercice 1 (3 points) 1) a) Cette

Corrigé du devoir 5 – 1 STMG
Exercice 1 (3 points)
1) a) Cette expérience aléatoire admet deux issues possibles : soit l’animal est malade, soit il ne l’est
pas. De plus, on prélève au hasard et avec remise. Cette situation correspond donc à un schéma de
Bernoulli à n = 3 épreuves, de probabilité p = 10 % = 0,1 (0,5 point)
b)
2) a)P(X = 0)= 0,9 × 0,9 × 0,9 = 0,729 ;
P(X = 2)=3 × 0,1 × 0,1 × 0,9 = 0,027 ;
(1 point)
P(X = 1)=3 × 0,1 × 0,9 × 0,9 = 0,243
P(X = 3)= 0,1 × 0,1 × 0,1 = 0,001 (1 point)
b) P(X = 1)= 0,243 (0,5 point)
Exercice 2 (4,5 points)
1) a) Cette expérience aléatoire admet deux issues possibles : soit le disque est atteint, soit il ne l’est
pas. De plus, les résultats sont indépendants. Cette situation correspond donc à un schéma de
Bernoulli à n = 10 épreuves, de probabilité p = 0,6. X suit donc la loi binomiale de paramètres 10 et
0,6. (0,5 point)
b) La probabilité d’atteindre la cible étant de 0,6, celle de ne pas atteindre la cible est de 1 – 0,6 =
0,4. Comme il y a dix lancers indépendants, on a :
P(X = 0) = 0, 410  0,0001 (0,5 point)
c) « Atteindre au moins un des dix disques » est l’événement contraire de « Ne jamais atteindre un
de dix disques ». Donc la probabilité cherchée est 1 - P(X = 0) = 1 - 0, 410  1  0,0001  0,9999
(0,5 point)
d) La probabilité de la question précédente est certes proche de 1, mais elle n’est pas égale
exactement à 1. Donc l’événement dont parle le fils de Bernard n’est pas l’événement certain. Il a
donc tort. (0,5 point)
2) La probabilité recherchée est 0, 49  0, 6  0, 0002 (0,5 point)
3) On cherche P(X  9).
P(X  9) = P(X = 9) + P(X = 10)  0, 0464 , d’après la calculatrice. (0,5 point)
4) P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)  0, 0123 , d’après la calculatrice. (0,5 point)
5) E(X) = n × p = 10 × 0,6 = 6. En moyenne, Bernard atteint sa cible 6 fois sur 10 lancers. (1 point)
Exercice 3 (5,5 points)
1)a) f ‘(x) = 2 × 0,05 x + 1 = 0,1 x + 1
f ‘(x) = 0  0,1x + 1 = 0  0,1x = -1  x = -10
x

f ‘(x)
x
+
-10
-

0
-10
a = 0,1 > 0
+
+
f
30
f (x) = 0,05 x² + x + 35
f (-10) = 0,05 (-10)² + (-10) + 35 = 30 (1,5 point)
b) f (0) = 0,05 (0)² + 0 + 35 = 35
f (50) = 0,05 (50)² + 50 + 35 = 210 (0,5 point)
c) f (x) = 275  0,05 x² + x + 35 = 275  0,05 x² + x + 35 – 275 = 0  0,05 x² + x – 240 = 0
  b 2  4ac  12  4  0, 05   240   1   48   1  48  49  0
x1 
b   1  49 8


 80
2a
2  0, 05 0,1
x2 
b   1  49
6


 60
2a
2  0, 05 0,1
f (x) > 275  0,05 x² + x + 35 >275  0,05 x² + x + 35 – 275 > 0  0,05 x² + x – 240 > 0
a= 0,05 > 0, donc les branches de la parabole sont tournées vers le haut.
Cette inéquation a pour solution ]  ; - 80[  ]60 ;  [ (1,5 point)
2)a) L’expression de f est la même que celle de C.
f est croissante sur [-10 ; +  [, donc C est croissante sur [0 ; 80]. (0,5 point)
b) f (0) = 35, donc C (0) = 35. Le montant des coûts fixes est de 35 000 €. (0,25 point)
c) f (50) = 210, donc C (50) = 210. Le coût de fabrication de 50 000 flacons est de 210 000 €.
210 000/50 000 = 4,2 €. (0,75 point)
d) f (x) > 275  x  ]  ; - 80[  ]60 ;  [.
Or x est positif ici. Donc x > 60, ce qui revient à une production de 60 000 flacons. (0,5 point)
Exercice 4 (4,5 points)
1)a) = A2 – 1 (0,25 point)
b) = 400 + 50 (0,25 point)
c) = A2 * B2 (0,25 point)
2)Le directeur doit vendre la place à 10 € (la recette est alors de 5 000 €). (0,25 point)
3)a) Le prix initial du billet est de 400 € et chaque baisse de prix de 1 € augmente de 50 le nombre de
billets vendus dans la semaine, donc par proportionnalité, chaque baisse de prix de x € augmente le
nombre d’entrées de 50x. On a donc 400 + 50x entrées. (0,25 point)
b) Pour une réduction de x €, le prix d’une place est alors de 12 – x €. La recette étant égale au
produit du nombre de places par le prix unitaire, on obtient bien R(x) = (12 – x)(400 + 50 x). (0,25
point)
4)a) R(x) = (12 – x)(400 + 50 x)
R(x) = 12 × 400 + 12 × 50 x – x × 400 – x × 50 x = 4 800 + 600 x – 400 x – 50 x²
R(x) = - 50 x² + 200 x + 4 800 (0,5 point)
b) R ’(x) = 2 × (-50 x) + 200 = -100x + 200
R ’(x) = 0  -100x + 200 = 0  -100x = -200  x = 2
x
R‘(x)
(0,75 point)
0
2
+
0
12
-
a = -100 < 0
c)
x
0
R
2
12
5000
4800
0
R(x) = (12 – x)(400 + 50 x)
R(0) = (12 – 0)(400 + 50 × 0)
R(0) = 12 × 400 = 4 800
R(2) = (12 – 2)(400 + 50 × 2)
R(2) = 10 × 500 = 5 000
R(12) = (12 – 12)(400 + 50 × 12)
R(12) = 0 × 1000 = 0 (0,75 point)
5)a) Le prix du billet qui engendre une recette maximale est obtenu pour une réduction de 2 €. Le
prix du billet est donc de 12 – 2 = 10 €. (0,5 point)
b) Le nombre d’entrées est de 400 + 50 x, avec x = 2, donc 400 + 50 × 2 = 500.
La recette maximale vaut donc 10 × 500 = 5 000 €. (0,5 point)
Exercice 5 (2,5 points)
1)m = 2 * a * xA + b = 2 * 1 * (-4) + 3 = -8 + 3 = -5 (0,5 point)
yA = a * xA * xA + b * xA + c = 1 * (-4) * (-4) + 3 * (-4) + (-1) = 16 – 12 – 1 = 3 (0,5 point)
p = yA – m * xA = 3 – (-5) * (-4) = 3 – 20 = -17 (0,5 point)
2) m est le coefficient directeur de la tangente en A(-4 ; 3) et p l’ordonnée à l’origine de cette
tangente. (0,75 point)
Son équation est y = 3x – 17. (0,25 point)