là - CPGE Brizeux

Lycée Auguste Brizeux
PCSI B
DEVOIR EN TEMPS LIBRE 26
Exercice 1
1. Soit
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
f la fonction dénie sur R par f (x) =
√
3
x + x3 .
Etudier la parité de f .
Etudier la continuité et la dérivabilité de f .
Exprimer f ′ (x), en tout réel x où f est dérivable.
Que peut-on dire de la représentation graphique de f au point d'abscisse 0 ?
Etudier les variations de f .
Montrer que f établit une bijection de R sur un intervalle que l'on précisera.
i. Calculer le développement limité de f en 1 à l'ordre 2.
ii. Déterminer une équation cartésienne de la tangente à la courbe Cf représentative de f au
point d'abscisse 1, et préciser la position de cette tangente par rapport à Cf .
(h) Montrer que Cf admet une asymptote en +∞ : déterminer une équation cartésienne de cette
asymptote, et préciser sa position par rapport à Cf au voisinage de +∞.
(i) Dessiner l'allure de Cf .
On fera apparaître, sur le dessin, les informations recueillies dans les questions précédentes.
√
2. Soit (un )n∈N la suite dénie par u0 > 0 et la relation de récurrence un+1 = 3 un + u3n , valable pour
tout n ∈ N.
(a) Etudier la monotonie de (un )n∈N .
(b) Montrer que un −→ +∞.
n→+∞
On pourra raisonner par l'absurde, et supposer (un )n∈N convergente : que peut-on alors dire de sa
limite ?
(c) Montrer que un+1 ∼ un .
n→+∞
(d) Montrer que un+1 − un
1
∼
.
n→+∞ 3un
(e) Déduire de ce qui précède la nature de la série de terme général
1
un .
Exercice 2
Soit f
: R3
−→
R3
(x, y, z) 7−→ (x + 4y + 6z, x + y + 3z, −x − 2y − 4z)
1. Montrer que f est une application linéaire.
2. Montrer que f ◦ f = −f .
3. Montrer que, pour tout ⃗u ∈ R3 , on a :
⃗u ∈ Imf ⇐⇒ f (⃗u) = −⃗u.
4. Déterminer une base de Ker(f ) et une base de Im(f ).
5. f est-elle injective ? surjective ?
6. Soit (⃗e1 , ⃗e2 , ⃗e3 ) une famille de vecteurs obtenue en recollant une base de Ker(f ) et une base de
Im(f ) (c'est-à-dire que l'on met tous les vecteurs trouvés dans la question précédente bout-à-bout ).
Montrer que (⃗e1 , ⃗e2 , ⃗e3 ) est une base de R3 .
7. Montrer que Ker(f ) et Im(f ) sont supplémentaires dans R3 .
1
Exercice 3
Une loterie se déroule une fois par semaine. Chaque semaine, sur 100 billets, k sont gagnants (k étant un
entier inférieur ou égal à 90).
Chaque billet coûte 1 euros.
On dispose de 10 euros.
Deux stratégies sont possibles :
1. on achète 10 billets en une seule fois.
2. on achète 1 billet à la fois pendant 10 semaines.
Quelle est, dans chaque cas, la probabilité d'obtenir au moins un billet gagnant ?
Exercice 4
On dispose de deux pièces de mannaie :
◃ une pièce A, avec laquelle on obtient Face une fois sur deux ;
◃ une pièce B , avec laquelle on obtient Face deux fois sur trois.
On choisit une pièce au hasard. On la lance. Si on obtient Face, on conserve la pièce que l'on vient de
lancer, sinon on change de pièce.
On eectue ainsi une suite de n (> 3) lancers.
1. Quelle est la probabilité d'obtenir Face au premier lancer ?
2. Quelle est la probabilité d'obtenir Face au deuxième lancer ?
3. Pour tout k ∈ J1, nK, on note :
◃ Ak l'événement : on a eectué le k -ième lancer avec la pièce A ;
◃ ak la probabilité de l'événement Ak .
(a) Exprimer, pour tout k ∈ J1, nK, ak+1 en fonction de ak .
On peut commencer par remarquer que (Ak , Ak ) est un système complet d'événements...
(b) En déduire la valeur de an .
Est-il utile de rappeler que le terme général d'une suite arithmético-géométrique a été explicité
dans le cours ?
(c) Quelle est la probabilité d'obtenir Face au n-ième lancer ?
À rendre pour le mardi 5 mai 2015
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