Test loi normale

Test loi normale
Exercice 1 A
La masse, en grammes, d’un objet produit sur une chaîne de fabrication suit la loi normale de moyenne
μ = 750 et d’écart-type σ = 15.
Soit M la variable aléatoire associant à tout objet issu de la chaine sa masse en grammes.
1) Calculer la probabilité qu’un objet pris au hasard dans cette production ait une masse :
- comprise entre 730 g et 775 g
p730 ≤ M ≤ 775 ≈ 0, 86
La probabilité que la masse de l’objet pèse entre 730 g et 775 g est 0, 86
- supérieure à 765 g
p765 ≤ M = 0, 5 − p750 ≤ M ≤ 765 ≈ 0, 16
La probabilité que la masse de l’objet pèse plus de 765 g est 0, 16
- inférieure à 755 g.
pM ≤ 775 = 0, 5 + p750 ≤ M ≤ 775 ≈ 0, 63
La probabilité que la masse de l’objet pèse moins de 775 g est 0, 63
2) En conservant la valeur de σ, quelle masse moyenne m faudrait-il obtenir sur cette chaîne pour que la
probabilité d’obtenir un objet de masse supérieure à 765 g soit égale à 15.
Soit M une variable aléatoire qui suit une loi normale N m ; 15 2
On cherche le réel m tel que p765 ≤ M = 0, 2
p765 ≤ M = 0, 02  PM ≤ 765 = 0, 98
 P M − m ≤ 765 − m = 0, 98
15
15
X
−
m
. T suit la loi normale centrée réduite.
On pose T =
0. 02
p765 ≤ M = 0, 02  P T ≤ 765 − m = 0, 98.
15
765
−
m
Avec la calculatrice,
≈ 2, 05 donc m ≈ 734, 19 g.
15
Exercice 1 B
On mesure la taille en cm de 2500 hommes ; la distribution obtenue suit une loi normale de moyenne
égale à 169 cm et d’écart-type égal a 5,6 cm.
1) Quel est le pourcentage d’hommes dont la taille est inférieure à 155 cm ?
PX ≤ 155 = 0. 5 − P155 ≤ X ≤ 169 ≈ 0, 006
La probabilité que l’élève mesure moins de 155 cm est 0, 006
2) Quel est le pourcentage d’hommes dont la taille est comprise entre 155 cm et 175 cm ?
Avec la calculatrice :
P155 ≤ X ≤ 175 ≈ 0, 852
La probabilité que l’élève mesure entre 155 cm et 175 cm est 0, 852
3) Quel est l’intervalle, centré sur la valeur moyenne de la taille, qui contient 60 % de la population en
question ?
1
P169 − h ≤ X ≤ 169 + h = 0, 6  P − h ≤ X − 160 ≤ h
= 0, 6
5, 6
5, 6
5, 6
On pose T = X − 160 . T suit la loi normale centrée réduite.
5, 6
P169 − h ≤ X ≤ 169 + h = 0, 6  P − h ≤ X − 160 ≤ h
= 0, 6
5, 6
5, 6
5, 6
 2P T ≤ h
− 1 = 0, 6
5, 6
= 1, 6
P T≤ h
5, 6
Avec la calculatrice, h ≈ 0, 842 donc h ≈ 4, 7 .
5, 6
2