Nombres complexes

Nombres complexes
Les nombres complexes
Définition
On admet qu’il existe un ensemble de nombres, noté C, qui :
_ contient R
_ est muni des opérations + (addition) et × (multiplication) qui suivent les mêmes
règles de calcule que dans R
_ contient un nombre i, tel que i² = -1
_ est tel que chacun de ses éléments z s’écrit de manière unique sous la forme :
z = a + ib où a et b sont 2 nombres réels.
a + ib, avec a et b réels, est appelé l’écriture algébrique car la forme algébrique du nombre
complexe z.
Propriétés
Soit a, b, a’, b’ des nombres réels :
 a + ib = a’ + ib’  a = a’ et b = b’
 a + ib = 0  a = b = 0.
Définition
Soit z un nombre complexe qui s’écrit z = a + ib où a et b sont des réels : a s’appelle la partie
réelle de z et b la partie imaginaire de z.
On note a = Re(z) et b = Im(z) :
 si b = 0 alors le nombre complexe est réel
 si a = 0 alors le nombre complexe est dit imaginaire pur.
Propriété
Tout nombre complexe non nul z écrit sous la forme algébrique z = a + ib admet un inverse,
1
1 a  ib
noté , tel que : =
.
z
z a²  b²
Démonstration :
a  ib
a
b
1
a  ib
a  ib
i
=
=
=
=
–
a  ib (a  ib)(a  ib) a²  (ib)² a²  b² a²  b² a²  b²
Nombre conjugué et module d’un nombre complexe
Définition
Soit z un nombre complexe écrit sous la forme algébrique z = a + ib :
_ le nombre conjugué de z, noté z , est le nombre réel a – ib
_ le module de z, noté |z| est le réel positif a²  b² .
Propriétés
Pour tous nombres complexes z et z’ :
 |z|² = z z




z  z' = z + z' ; z = z ; zz' = z × z'
1 1
 z'  z'
pour z ≠ 0,   = et   =
z z
z z
pour n  Z, z n = z n
zz
zz
Re(z) =
et Im(z) =
2i
2
Propriété
Soit z un nombre complexe :
_ z est réel si z = z
_ z est un imaginaire pur  z = – z
Equation du second degré à coefficients réels
Théorème
L’équation az² + bz + c = 0 (a, b, c réels et a ≠ 0) de discriminant Δ = b² – 4ac, admet :
b
_ si Δ = 0, une solution unique : –
2a
-b- Δ
b Δ
_ si Δ > 0, 2 solutions réelles :
et
2a
2a
-b-i -Δ
bi -Δ
_ si Δ < 0, 2 solutions complexes conjuguées :
et
.
2a
2a
Remarque :
Si on note z1 et z2 les solutions de l’équation (avec éventuellement z1 = z2) alors pour tout
nombre complexe z :
az² + bz + c = a (z – z1) (z – z2).
Représentation géométrique
Définition
 
(o ; u ; v ) est un repère orthonormal du plan.
_ A tout nombre complexe z = a + ib, avec a et b réels, on associe le point M de coordonnées
(a ; b). On dit que M est le point image de z et que OM est le vecteur image de z.
_ Tout point M(a ; b) est le point image d’un seul couple z = a + ib. On dit que z est l’affixe
du point M et du vecteur OM .
On note M(z) pour signifier que le point M a pour affixe z.
_ Le plan est alors appelé Plan complexe.
Remarques et vocabulaire
Les nombres réels sont les affixes des points de l’axe des abscisses appelé aussi axe des réels.
Les imaginaires purs sont les affixes des points de l’axe des ordonnées appelé aussi axe des
imaginaires purs.
axe des imaginaires purs
b

v^
M(z)
OM

u
O
a
axe des réels
Propriété
Soit M(z), M’(z’), M1(z1), M2(z2) et I(zI) des points du plan complexe.
 z est l’affixe de OM et OM = |z|
 z – z’ est l’affixe de MM' et MM’ = |z’ – z|
 z + z’ est l’affixe du point N tel que OMNM’ est un parallélogramme
 z1 = z équivaut à M et M1 sont symétriques par rapport à l’axe des réels
 z2 = – z équivaut à M et M2 sont symétriques par rapport à l’origine
 z = z équivaut à M appartient à l’axe des réels
 z = – z équivaut à M appartient à l’axe des imaginaires purs
z  z'
 zI =
équivaut à I milieu de [MM’]
2
Démonstration :
2- z = a + ib et z’ = a’+ ib’
z – z’ = (a’– a) + i(b’– b)
donc MM' a pour coordonnées (a’– a ; b’– b)
et MM4 = |z’ – z| = (a'- a)²  (b'- b)²
8- I milieu de [MM’]  MI = IM'
 zI – z = z’– zI
 2zI = z’ + z
z  z'
 zI =
2
Ecriture trigonométrique d’un nombre non nul
Argument d’un nombre complexe non nul
 
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct (o ; u ; v ), z est un nombre
complexe non nul de point image M.
On appelle argument de z et on note arg(z), toute mesure en radians de l’angle orienté

( u ; OM ).
M
r = OM

v^
O

u
arg(z) = α
Remarques
Un nombre complexe non nul z a une infinité d’arguments. Si α est l’un d’eux, tout autre
argument est de la forme α + 2kπ avec k  Z. On note α = arg(z) [2π] ou plus simplement
α = arg(z).
Tout point M est repéré dans le plan complexe par son affixe z = x + iy et lorsque M est
distinct de 0, par ses coordonnées polaires (r ; α) avec OM = |z| = r et arg(z) = α.
Forme algébrique et forme trigonométrique
Pour tout nombre complexe z non nul, d’image M de coordonnées cartésiennes (x ; y) et de
coordonnées polaires (r ; α), on a :
la forme algébrique :
M
une forme trigonométrique :
z = x + iy
sin(α)
z = r (cos α + i sin α)
avec x = r cos(α)
avec r = x²  y² = |z|
et y = r sin(α)
r

x
y
cos(α) = et sin(α) =
v^
r
r
α

O u
cos(α)
Propriétés des arguments
Soit z un nombre complexe.
 z est un réel non nul  arg(z) = 0 [π]
 z est un réel strictement positif  arg(z) = 0 [2π]
 z est un réel strictement négatif  arg(z) = π [2π]

 z est un imaginaire pur non nul  arg (z) = [2π]
2
Démonstration :

arg(z) = ( u ; OM )
Propriété
Si un nombre complexe z s’écrit z = r (cos α + i sin α) avec r réel strictement positif, alors
r = |z| et α = arg(z) [2π].
Propriétés des modules
Soit z et z’ deux nombres complexes.
 |z| = 0  z = 0
 | z | = |z|
 |–z| = |z|
 |zz’| = |z| × |z’|
1 1
 pour z ≠ 0,
=
z z
z z
=
z' z'

pour z’ ≠ 0,


 n  Z, |zn| = |z|n
|z + z’| ≤ |z| + |z’|
Démonstrations :
4 |zz’|² = zz’ z z' = z z z’ z' = |z|² |z’|²
|zz’| = |z| |z’|
1
1
1 1
5
|z| = z =1, d’après 4
=
z
z
z z
z
1
z z
1
=|z| =|z| , d’après 5,
=
pour z’ ≠ 0
z'
z'
z' z'
z'
7 par récurrence
8 M(z), M’(z’) et N(z + z’)
Dans OMN, l’inégalité triangulaire permet d’écrire :
ON ≤ OM + MN or OMNM’ est un parallélogramme donc MN = OM’
Ainsi ON ≤ OM + OM’
C'est-à-dire |z + z’| ≤ |z| + |z’|
6
Propriété des arguments
Soit z et z’ 2 nombres complexes non nuls.
 arg( z ) = – arg(z) [2π]
 arg(–z) = π + arg(z) [2π]
 arg(zz’) = arg(z) + arg(z’) [2π]
1
 arg( ) = – arg(z) [2π]
z
z
 arg( ) = arg(z) – arg(z’) [2π]
z'
  n  Z, arg(zn) = n arg(z) [2π]
Démonstrations :
Soit α = arg(z) et α’ = arg(z’).
3 zz’ = |z| |z’| (cos α + i sin α) (cos α’ + i sin α’)
zz’ = |z| |z’| (cos α cos α’ – sin α sin α’) + i (cos α sin α’ + sin α cos α’)
or cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b
et sin (a + b) = cos a sin b + cos b sin a
donc zz’ = |z| |z’| (cos (α + α’) + i sin (α + α’))
|z| |z’| = |zz’|
zz’ = |zz’| (cos (α + α’) + i sin (α + α’))
et arg(zz’) = α + α’[2π]
= arg(z) + arg(z’) [2π]
1
z
4 arg( ) + arg(z) = arg( ) = arg(1) = 0 [2π]
z
z
1
donc arg( ) = – arg(z) [2π]
z
z
1
1
5 arg( ) = arg(z ) = arg(z) + arg( )
z'
z'
z'
= arg(z) – arg(z’) [2π]
Notion exponentielle
La fonction f : α  cos α + i sin α
Soit f la fonction définie sur R par le nombre complexe f(x) = cos α + i sin α, de module 1 et
d’argument le réel α.
D’après la propriété sur le module et les arguments d’un produit, pour tous réels α et α’ :
|f(α) f(α’)| = |f(α)| |f(α’)| = 1 × 1 = 1
et arg(f(α) f(α’)) = arg(f(α)) + arg(f(α’)) = α + α’ [2π].
Donc le produit de 2 images f(α) et f(α’) s’écrit :
f(α) f(α’) = cos(α + α’) + i sin(α + α’),
c'est-à-dire : f(α) f(α’) = f(α + α’).
Ainsi la fonction f vérifie l’équation fonctionnelle caractéristique des fonctions exponentielles
(exp(a + b) = exp(a) × exp(b)).
Si on admet que les règles de dérivation sont applicables aux fonctions à valeurs complexes, f
est dérivable sur R et pour tout réel α, on peut écrire :
f’(α) = cos’ α + i sin’ α = – sin α + i cos α
= i (cos α + i sin α)
= i f(α).
Ainsi f’ = if et f(0) = 1, par analogie avec les résultats du chapitres 3, il est naturel de noter :
f(α) = cos α + i sin α sous forme exponentielle eiα.
Forme exponentielle
Tout nombre complexe z non nul, de module r et d’argument α, admet une écriture de la
forme : z = r eiα.
Cette écriture est une forme exponentielle de z.
Règles de calcul
Pour tous les réels α et α’, on a :
 ei α eiα’ = ei (α + α’)

1
= e–iα = eiα
e iα

e iα
= ei (α – α’)
iα '
e
Remarques
Si z a pour coordonnées polaires (r ; α), alors pour tout entier relatif n, zn  (rn ; nα) en
particuliers :
(cos α + i sin α)n = cos(nα) + i sin(nα), càd (eiα)n = einα.
Prenons n = 2:
(cos α + i sin α)2 = cos(2α) + i sin(2α)
cos²(α) – sin²(α) + 2i cos(α) sin(α) = cos(2α) + i sin(2α)
d’où :
cos(2α) = cos²(α) – sin²(α)
sin(2α) = 2 cos(α) sin(α)
Nombres complexes et géométrie
Distances et angles orientés
Soit A, B et C 3 points distincts 2 à 2, d’affixes respectives zA, zB et zC :

 |zB – zA| = AB et arg(zB – zA) = ( u ; AB ) [2π]
z -z 
z B - z C CB

=
et arg  B C  = ( CA ; CB ) [2π].
z A - z C CA
 zA - zC 
Démonstration :
 Soit M l’unique point du plan tel que CA = AB , alors zM = zB – zA.
Ainsi |zB – zA| = |zM| = OM = AB


Et arg(zB – zA) = arg(zM) = ( u ; OM ) = ( u ; AB ) [2π].
 D’après le module d’un quotient et la propriété précédente :
z B - z C z B - z C CB
=
=
z A - z C z A - z C CA
D’après un argument d’un quotient et l’interprétation d’un argument d’une différence :
z -z 
arg  B C  = arg(zB – zC) – arg(zA – zC)
 zA - zC 




= ( u ; CB ) – ( u ; CA ) = ( u ; CB ) + ( CA ; u )
= ( CA ; CB ) [2π].
Conséquences
Les points A, B et C étant distincts 2 à 2, on a :
z -z 
 A, B, C alignés  arg  B C  = 0 [2π]
 zA - zC 

z -z
(CA)  (CB)  arg  B C
 zA - zC
 
 = [2π].
 2
Remarque
Soit Ω(ω) et r > 0.
L’ensemble des points M(z) défini par z – ω = r eiα, où α d’écrit [0 ; 2π], est le cercle de
centre de centre Ω et de rayon r.
En effet, on a :
ΩM = |z – ω| = |r eiα| = r

et ( u ; ΩM ) = arg(z – ω) = α, α décrivant [0 ; 2π].
Translation
Soit z, z’ et b des nombres complexes, avec b affixe d’un point B donné.
La relation z’ = z + b traduit le point M’ d’affixe z’ est l’image du point M(z) par la
translation de vecteur OB .
Démonstration :
En partant de la relation, on a :
z’ = z + b  z’ – z = b
or z’ – z est l’affixe de MM' .
On traduit l’égalité par MM' = OB , c'est-à-dire M’(z’) image de M(z) par la translation de
vecteur OB .
Homothétie
Soit z, z’ et ω des nombres complexes, où ω est l’affixe d’un point Ω donné et k un réel non
nul. La relation z’– ω = k(z – ω) traduit que M’(z’) est l’image de M(z) par l’homothétie de
centre Ω et de rapport k.
Démonstration :
En partant de la relation, on a :
z’– ω = k( z – ω)  zΩM' = k z ΩM
or k z ΩM = zk ΩM , on a donc ramené à zΩM' = zk ΩM ,
c'est-à-dire ΩM' = k ΩM .
M’(z’) image de M(z) par l’homothétie de centre Ω et de rapport k.
Rotation
Soit z, z’ et ω des nombres complexes, où ω est l’affixe d’un point Ω donné et θ un réel.
La relation z’– ω = eiθ (z – ω) traduit que M’(z’) est l’image de M(z) par la rotation de centre
Ω et d’angle θ.
Démonstration :
_ Si M = Ω, alors z’– ω = 0, c'est-à-dire z’ = ω, ainsi M’ est confondu avec Ω.
_ Si M ≠ Ω, alors z ≠ ω : z’– ω = eiθ (z – ω)
z' - ω

= eiθ
z-ω
z' - ω
 z' - ω 

= |eiθ| et arg 
 = θ [2π]
z-ω
 z-ω 
M'

= 1 et ( ΩM ; ΩM' ) = θ [2π]
M
 ΩM’ = ΩM et ( ΩM ; ΩM' ) = θ [2π].
Ce qui signifie que le point M’(z’) est l’image de M(z) par la rotation de centre Ω et d’angle θ.
Propriété
L’équation complexe du cercle C de centre A(a) et de rayon r > 0 est :
z = a + reiθ avec M(z)  C et θ  [ 0 ; 2π].
Démonstration :
AM = |z – a|
= |reiθ|
AM = r
Donc M  C
L’ensemble des points M est le cercle C.

arg(z – a) = ( u ; AM )
= arg(reiθ)
arg(z – a) = θ  [ 0 ; 2π]
Donc M décrit le cercle C.