P R E M I È R E EPREUVE DE MATHgMATIQUES DURÉE : 4 I ~ P I I ~ P S -Y.B. - Le sujet se compose de 5 parties pi ne sont pas ind+e.ndantes. On peut !raitPr line yuestion en admettant les résultats énoncis dans les questions précédentes. Dans tout le probitme, on consid$re des fonctims i \ralei!rs dans l'onsernEle 2 des nombres réels, deiinies sur 2 ou un intervalle de R. Soit f une fonction de classe C?,p entier 2 O. Pour tout entier k, O Q k 6 p on designe la valeur en .t: de la k-ième dérivée de f Far dk a= [ f (x)] avec la convention que dxk dX3 ]).(fI - 13 notation : = f (.Y) Pour tout entier n 2 O, on considPre i'Cquation différentielle noté d, : (2 - 1) y" i2 y ' - n ( n + 1)y = O dont les solutions s:1r un intervalle de 2, sont les fonctions f de ciasse C'sur cet intervalle et teiles que : (x' en tout point .T - 1) d' [ f ( . t : ) ]- 2 x dx= d - [ f ( x ) ]- n (n dz f 1) f ( x ) . = O de i'intenaile. Soit P(x) un poiyndme non identiquement nul, de degrd p entier 2 O : Pour tout entier n 2 O, on h i associe le poIyn4me D,P dCfini par : (D,P) ( x ) = (xz d2 d - 1) - [ P (x)]+ 2.r - [ P ( x ) ] dx' 1" VCrifier que le polynôme D,P est de degr6 dX < n (n + 1) 1' (x) p en distinguant les trois cas p = O, p = 1, p 2 2. Montrer que : - lorsque p - lorsque p = O , D,P est identiquement nul si et seuiement si n = O . 2 1 , le degré du polynôme D,P est strictement infGrieur i p si et 3eiifement si p = ri. En déduire que si un polynôme P non identiquement nul. est solution de (13, , sur R son degrd est nécessairement Pgai à n . -90- 3' Déterminer tous les polynames qui sont solutions de u?, s u R., dans.chacuii des cas particufers n = O , n = l , n = 2 , n = 3 , n = 4. 3' Pour tout polynôme P de degrd n 2 2 , expliciter les coefficients du polynôme : (D,P) '-2-b, (x) = .yk k- 0 en fgnctiori des coefficients de P 4' Soit r, + O un mmbre rdel fixé. Montrer. qa'ii existe un iinique polyndma : :r = n P ;jr (x) = a k k. k = n soiution de O, sur R , et tel que a, = a . Pour cela on utiiisera la question 3, en exprimant que D,P est ideiitiquement nui. On montrera que : i. a,-l = O . ii. P est un polynôme pair lorsque n est pair, et est un polyndme impair lorsque n est impair. iii. Les coefficients a k sont entièrement déterminés par récurrence ii partir du terme a , = a. Montrer que a k est de la forme a, = 1k.a où r , est un nombre rationnel. (On ne demande pas l'expression explicite des nombres ik en fonction de IL). II Pour tout entier n > O , on pose : En déduire que : 2' i. En explicitant U n et Un + montrer que da [Un dxa + (n)] = 2 (n + 1) d [ z Un ( x ) ] en déduire que : jn+ dn- 1 (2 - 1) dxn -[un (.I = n f 1) 1 [Un ( 4 1 + d" ii. Montrer que le polyndme Pn ( x ) = - [ U n ( x ) ] est solution de (9, sur W dx" 3" i. Montrer directement, sans utiliser la partie 1, que le polynôme P, est de degré n de plus haut degré. . et préciser son terme ii. Montrer directement que P, est un polynôme pair lorsque n est pair, et un polyname impair lorsque n est impair. iii. Soit a # O un nombre réel fixé. Quel est le polynôme solution de 03, sur 8 , dont le terme de plus haut degré est ax" ? Donner son expression à i'aide de P, . -91- III Les notations sont celles de 1 et II. l3 L'entier n >, 1 étant fisé, rnmtrer que polir tout entier A. O 6 X. 6 ; i - 1. le polynijme s'annule pour les valeurs f 1 et - 1 . 3" Soit f une fonction de classe C" , n 2 O , sur l'intervalle [ - 1 , - 11 . On pose : C, (fj = 1 > A I f (x) . P, ( x ) d,t c - 1 et en réitérant convenablemeni : (f)= c, (- 1)" j+(.& [f(.)]) * c, ( x ) c i x . - 1 3O En déduire que si m et n sont deux entiers tel que O ID+ P, P, (2%). u - 1 4" On pose : 1, = J" I - 1 [pn ( X ) I * puis : ii. En déduire que pour tout n 3 O : I C = (- .. 11. 1)" (3 n) ! J * - 1 (,tl - 1)' i 1 Montrer que pour tout n 2 O : J, (n!)J = - (2 n)! '+ .I- ' (1 f x)'" En déduire que 1, = (.!Y (2 JZ rlx .) ', + 1) - .L 1 i ~ (x) < dx m c n on a : = o. d'c [Li, ( x , ) ] d ?? - -9 2- IV Les notations sont celles des parties pricCdentes. Soit f tule fonction continue sur l'intervalle [ - 1 , -1 1J , on pose pour tout efitier k 2 O : 1" Lorsque f est un p o l y n h e fixé dt: degré < n , montrer qu'ii existe une dkcomposition unique de f : k = Il k = 0 n et exprimer ak à i'aide de f (k) . r ieile est la valeur de I'intégrde : -r+ k 1 - 1 h [f( x ) ] ~dx , exprimée à l'aide des nombres f (A) ? 1 Soit f une fonction fixée quelconque, continue sur [ - 1 , - 11. Soit pour tout entier k 2 O , un nombre réel ak fixé. On considkre pour tout entier n 2 O , la somme A,, = i. J+:', [ f ( z ) - S, (41' dx. En développant cette expression, montrer que f étant fisé, le minimum de A , est obtenu en choisissant h ak = f (k) pour toutes les valeurs O < k < n. Quel est alors ce minimum? ii. En déduire que la skrie numérique est convergente, et donner une majoration de sa somme. -93- V , & *-. On considère l'espace affine Euclidien E de dimension 3 rapporté à un repère orthonorm6 \O ; i , j , k) . Soit L2 le complémentaire dans E de ki droite vectorielle définie par x = y = O . A tout point M de s2 de coordonnées cartésiennes ( x ,y , z) on associe les coordonnées sphériques habituelles ( r , O , 'p) où r > O est la longueur Oh1 , 0 est la longitude O < 0 c 2 T E , et 'p est la colatitude O < p c x Le changement de variable est défini par les équations : . x = r sin Q. cos 0 , y = r sin p . sin 0 , z = r cos 9 . Pour toute fonction à valeurs réelles u ( 2 ,y Au = , z) définie dans L2 et de classe C' , on pose : 3'u 3'u 32' 3y= -+ + 3'11 32' On admettra que l'expression de Au en coordonnées sphériques est : OÙ U (r , 8 , 9) est l'expression en coordonnées sphériques de u ( x , y , z) . On cherche les solutions de l'équation de Laplace Au = O qui sont de la forme U (r ,8 , 9) = f (r).g( 8, Q) où f et g sont des fonctions de classe Cz qui ne s'annulent pas. Io Montrer que f et g vérifient les équations, où a est une constante quelconque : dlf (A) r" - M 1 (*) + 3 df 2r dr - af = O 3lg (sin? 2) + sin1p 30' - + ag=O 7 20 Rdsoudre l'équation diffdrentielie (A) lorsque a > - -1 4 9 en cherchant les solutions sous la forme f ( r ) = F ( h g r) 3O On choisit une constante de la forme a = n (n + 1) où n est un entier 2 O fixé. On cherche les solutions de (B) qui sont de la forme où h est de classe C a . g (0 9 P) : = h (CO3 'p) Montrer que h vérifie une équation différentielle du second ordre que l'on reconnaîtra. Queue f d e explicite de solution de l'équation de Laplace A u = O , peut-on ainsi mettre en évidence ?