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PREMIÈRE EPREUVE DE MATHgMATIQUES
DURÉE : 4 I~PII~PS
-Y.B. - Le sujet se compose de 5 parties pi ne sont pas ind+e.ndantes. On peut !raitPr line yuestion en
admettant les résultats énoncis dans les questions précédentes.
Dans tout le probitme, on consid$re des fonctims i \ralei!rs dans l'onsernEle 2 des nombres réels, deiinies
sur 2 ou un intervalle de R.
Soit f une fonction de classe C?, p entier 2 O.
Pour tout entier k, O Q k 6 p on designe la valeur en .t: de la k-ième dérivée de f Far 13 notation :
dk a=
dxk dX3
-- [ f (x)] avec la convention que - If(.)] = f (.Y)
Pour tout entier n 2 O, on considPre i'Cquation différentielle noté d, :
(2 - 1) y" i 2y' - n(n + 1)y = O
dont les solutions s:1r un intervalle de 2, sont les fonctions f de ciasse C'sur cet intervalle et teiles que :
d' d
dx= dz
(x' - 1) - [f(.t:)] - 2x - [f(x)] - n (n f 1) f(x). = O
en tout point .T de i'intenaile.
Soit P(x) un poiyndme non identiquement nul, de degrd p entier 2 O :
Pour tout entier n 2 O, on hi associe le poIyn4me D,P dCfini par :
d2 d
dx' dX
(D,P) (x) = (xz - 1) - [P (x)] + 2.r - [ P (x)] - n (n + 1) 1' (x)
1" VCrifier que le polynôme D,P est de degr6 < p en distinguant les trois cas p = O, p = 1, p 2 2.
Montrer que :
- lorsque p = O, D,P est identiquement nul si et seuiement si n = O .
- lorsque p 2 1 , le degré du polynôme D,P est strictement infGrieur i p si et 3eiifement si p = ri.
En déduire que si un polynôme P non identiquement nul. est solution de (13, , sur R son degrd est
nécessairement
Pgai à n .

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3' Déterminer tous les polynames qui sont solutions de u?, su R., dans.chacuii des cas particufers n = O,
n=l , n = 2, n = 3, n = 4.
3' Pour tout polynôme P de degrd n 2 2, expliciter les coefficients du polynôme :
(D,P) (x) = '-2- b, .yk
k- 0
en fgnctiori des coefficients de P
4' Soit r, + O un mmbre rdel fixé. Montrer. qa'ii existe un iinique polyndma :
:r = n
P (x) = ;jr ak .k
k=n
soiution de O, sur R, et tel que a, = a.
Pour cela on utiiisera la question 3, en exprimant que D,P est ideiitiquement nui. On montrera que :
i. a,-l = O.
ii. P est un polynôme pair lorsque n est pair, et est un polyndme impair lorsque n est impair.
iii. Les coefficients
ak sont entièrement déterminés par récurrence ii partir du terme a, = a.
Montrer que ak est de la forme a, = 1k.a où r, est un nombre rationnel.
(On ne demande pas l'expression explicite des nombres
ik en fonction de IL).
II
Pour tout entier n > O, on pose :
En déduire que :
da d
dxa
2' i. En explicitant Un et Un + montrer que - [Un + (n)] = 2 (n + 1) [ z Un (x)]
en déduire que :
jn+ 1 dn- 1
(2 - 1) - [un (.II = n f 1) [Un (41
dxn +
d"
- [ Un (x)] est solution de (9, sur W .
dx"
ii. Montrer que le polyndme Pn (x) =
3" i.
Montrer directement, sans utiliser la partie 1, que le polynôme P, est de degré n et préciser son terme
de plus haut degré.
ii. Montrer directement que
P, est un polynôme pair lorsque n est pair, et un polyname impair lorsque
n est impair.
iii. Soit a # O un nombre réel fixé. Quel est le polynôme solution de 03, sur 8, dont le terme de plus
haut degré est ax" ? Donner son expression à i'aide de P, .

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III
Les notations sont celles de 1 et II.
d'c
d ??
l3 L'entier n >, 1 étant fisé, rnmtrer que polir tout entier A. O 6 X. 6 ;i - 1. le polynijme - [Li, (x,)]
s'annule pour les valeurs f 1 et - 1 .
3" Soit f une fonction de classe C" , n 2 O, sur l'intervalle [ - 1 , - 11 . On pose :
>A I
C, (fj = 1
f (x) . P, (x) d,t
c-1
et en réitérant convenablemeni :
c, (f) = (- 1)" j+ (.& [f(.)]) * c, (x) cix.
-1
3O En déduire que si m et n sont deux entiers tel que O < m c n on a :
ID+ P, (2%). P, (x) dx = o.
u-1
4" On pose : 1, = J" I [pn (X)I*
-1
puis :
ii. En déduire que pour tout n 3 O :
IC 1
= (- 1)" (3 n) !
J
(,tl - 1)' ii~
* -1
..
11. Montrer que pour tout n 2 O :
(n!)J '+ '
J, = -
(1 f x)'" rlx
(2 n)! .I-
(.!Y .) ', .L 1
En déduire que 1, =
(2 JZ + 1) -

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IV
Les notations sont celles des parties pricCdentes.
Soit f
tule fonction continue sur l'intervalle [ - 1 , -1 1 J , on pose pour tout efitier k 2 O :
1" Lorsque f est un polynhe fixé dt: degré < n , montrer qu'ii existe une dkcomposition unique de f :
k = Il
k = 0
n
et exprimer ak à i'aide de f (k) .
r ieile est la valeur de I'intégrde :
-r+ 1 h
1
[f (x)]~ dx , exprimée à l'aide des nombres f (A) ?
k-1
Soit f une fonction fixée quelconque, continue sur [ - 1 , - 11 .
Soit pour tout entier k 2 O, un nombre réel ak fixé.
On considkre pour tout entier n 2 O, la somme
A,, = J:+,' [f(z) - S, (41' dx.
i.
En développant cette expression, montrer que f étant fisé, le minimum de A, est obtenu en choisissant
ak = f (k) pour toutes les valeurs O < k < n.
Quel est alors ce minimum?
ii. En déduire que la skrie numérique
h
est convergente, et donner une majoration de sa somme.

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V
, & *-.
On considère l'espace affine Euclidien E de dimension 3 rapporté à un repère orthonorm6 \O ; i , j , k) .
Soit L2 le complémentaire dans E de ki droite vectorielle définie par x = y = O.
A tout point M de s2 de coordonnées cartésiennes (x , y, z) on associe les coordonnées sphériques habituelles
(r, O, 'p) où r > O est la longueur Oh1 , 0 est la longitude O < 0 c 2 TE, et 'p est la colatitude O < p c x .
Le changement de variable est défini par les équations :
x = r sin Q. cos 0, y = r sin p. sin 0, z = r cos 9.
Pour toute fonction à valeurs réelles u (2, y, z) définie dans L2 et de classe C' , on pose :
3'u 3'u 3'11
Au = - + + -
32' 3y= 32'
On admettra que l'expression de Au en coordonnées sphériques est :
OÙ U (r , 8, 9) est l'expression en coordonnées sphériques de u (x , y, z) .
On cherche les solutions de l'équation de Laplace
Au = O
qui sont de la forme U (r , 8, 9) = f (r) .g ( 8, Q) où f et g sont des fonctions de classe Cz qui ne s'annulent pas.
Io Montrer que f et g vérifient les équations, où a est une constante quelconque :
dlf df
(A) r" - + 2r - - af = O
M dr
1 3lg
(*) sin p 30'
(sin? 2) + 7 - + ag=O
13
1
4
20 Rdsoudre l'équation diffdrentielie (A) lorsque a > - - 9 en cherchant les solutions sous la forme
f (r) = F (hg r)
3O On choisit une constante de la forme a = n (n + 1) où n est un entier 2 O fixé.
On cherche les solutions de (B) qui sont de la forme :
g (0 9 P) = h (CO3 'p)
où h est de classe Ca.
Montrer que h vérifie une équation différentielle du second ordre que l'on reconnaîtra.
Queue fde explicite de solution de l'équation de Laplace
Au = O , peut-on ainsi mettre en évidence ?