Mécanique des fluides :

Mécanique des fluides :
Programme :
18 heures
18 heures
Fluide à  variable
Fluide : masse volumique constante.
  cste (liquide)
I : statique, ! gravité
II : dynamique des fluides parfaits, non
visqueux
III REELS (visqueux )
! thermique
Equation de barré de saint Venant
Ondes de choc
Livres conseillés :
BRUN
COMOLET
OUZIAUX et PERRIER
LUMBROSO
Généralités sur les fluides
Lois de comportement :
1) force de pesanteur (à distance )
2) force de contact (premier de viscosité)
gaz
liquides
Mercure
10
léger
100
1000
10000

m
(kg  m 3 )
v
lourd
  cste
1/23
Les lois de Newton :

RN

R
R normal composante de pression
u
A

RT
dy
u  du
B
R tangentielle, composante de frottement
ds
dF
du

ds
dy
coefficient de viscosité dynamique


masse volumique
Coefficient de viscosité( dynamique)
du

RT = ?
u
;
ds ;
dy ;
surface
dF
ds
vitesse
1) comportement liquide
2) comportement solide
df
 variable
(rhéologie )
 constant
2
1) solide
1
1: loi élastique
2: loi plastique
3 : loi rupture
4 : loi sans contrainte (frottement sec)
3
 =0
4
dF
du

ds
dy
dF
du
 f( )
ds
dy
du
dy
2) liquide non visqueux
3) fluides Newtoniens
 variable,   f (
du
)
dy
2/23
4) Rhéologie, fluide non Newtoniens,
Comportement :
solide
plastique
thixotropes
liquide
constante
0
constante
0








gaz
variable
0
variable
0
I ) statique des liquides : (   cste ,   0 ou non (intervient en mouvement))
Notion de pression : grandeur scalaire


dF  P  ds
Pression


dF  P  ds  u

u  ds
Force de pression élémentaire


dF
dF
P   
ds u  ds
N  m 2
ds

dF

u
ou
Pa
Principe de calcul scientifique :
Données
CALCUL


SI
Systèmes
Systèmes
Mètre
kilogramme
Seconde
3/23
1000000
1 atmosphère (101325 Pa)
100000
10000
1 bar
(100 000 Pa)
1 kg force / cm2 98100 Pa
1000
1 PSI : 6895 Pa
100
10
1 Pa
(1 kg / M2)
1) Relation fondamentale de la statique des fluides ( à   cste )
 
P    g  z  cste
z
Equilibre statique:

- force à distance ( g )
- force de contact (
P
X’X -> axe de travail
z
X
N
zN
N
dFN
Z
dFM
zM
d
M


g
M
X
X’

dm  g
x
4/23
dv

d (mg )    x  d  g
dm
X ' X :   x  d  g  sin 
z
Force ( pression ) :
Sur M : PM  dS M
En projetant sur X’X : PM  dS M  cos  M  + PM  d
d
PN  dS N  cos  N  - PN  d
  z  d  g  PM  d  PN  d  0
PM  PN    z  g
zN  zM
PM  PN    ( z N  z M )  g
PM    z M  g  PN    z N  g  cste constante ? arbitraire.
P    z  g  cste
1) z = 0 à la surface libre
P ( z = 0 ) = 0 => pression relative ou effective.
2) z = 0 à la surface libre :
P ( z = 0 ) = pression atmosphérique => pression absolue.
3) quelconque.
5/23
PLAN DE CHARGE
P    z  g  cste
P    z  cste
    g poids volumique
pi
Origine des pressions nulles :
1) plan de charge relative :
P   z  0
 P    z
2) Plan de charge absolue :
P    z  Patm  0    z  Patm
Pa  N / M 2

Vide
Patm

Pc absolue
105
z
1000  9,81
z
M / s2
Kg / M 3
z
Patm

Pc relative
z
y
dv

 
dt
Surface isobare
g

g

g   
6/23

d
Champ variable où
est grand :
dx
Le vase tournant :
égale
2 r
g

g 2 r  

P      z  cste pour r donné
SI (surface isobar) -> tangente à la SL (surface libre)
Dans le repère (z,r) la SL est une primitive de la pente de la SL
2 r
g
S.L


7/23
Les forces de pression (moments aussi !)
Méthodes de calcul :
Exemple : Le barrage
S.L.
z inf
Vanne bidimensionnelle
y
z sup
z
z
y
x
y
b

u
ds
x
S’

F 
so
si

P ( z )  d  ds  u


dF  P  b  ds


dF  P  d  ds  u
8/23

dFx

dFz

dF

S

dz
dFx  dF  sin 
S’
dFx  P  b  ds  sin 
dFx    z  b  ds  sin 
z sup
z2 
Fx     b  z  dz    b 
 2  z inf
z inf
z sup
Fx   

dz
z négatif

b
b
z inf 2  z sup 2    ( z inf  z sup)  ( z inf  z sup)
2
2
zG 
z sup  z inf
2
z inf
G
( z sup  z inf)  a
z sup
b
Fx    ( z inf  z sup)  ( z inf  z sup)
2
Fx    zG  a  b
PG
9/23
b
S.L.
Fz = ?
dFz    z  b  ds  cos
dx
dx
x2
Fz    b   z  dx    V
x1
x1
x2
x
Volume
Fx    z  a  
Fz    V
surface
Faire attention au signe !
x
Fx
(+ )
z
(- )
x
Fx
Signe de F(x) en fonction des tangentes
horizontales
Signe de F(z) en fonction des tangentes
verticales
10/23
Où passe les forces de pression ?
S
zG
Fx    zG  a  b  sin 

a
G
Fz
Démonstration préliminaire :

a

2
F
a
2
X
0
d=?

X’
dF    z  b  dx
Moment :
F.d
m


x

d
F


dm =  z  b  dx  x => m 
a
2
  z

 b  x  dx
a
2
11/23
zG
z
X
z ( x)  zG  x  sin 
G
x

X’

m
a
2


a
2

a
 x3  2
  z  b  x  dx =   b  sin    
 3  a
2
a3
m =   b  sin  
12

dF    z  b  dx => F    z  b 
Ioy
a
2

dx    z G  b  a
a

2
a3
a3
  b  sin  
sin    b
Ioy  sin 
12 
12
d

  b  zG  a
zG  a  b
zG  S
d
Ioy  sin 
zG  S
12/23
Exemple:
S.L.
z
0
  10 4  m 3

zG
h0
B
C
Zc
A
Xb
x
Xc
1) Fx
2) Fz ; -> F  (F )
3) x
4) z  C pt de concours
 Zc de Fx et Fz
Z
zG
1
m
2
b = 1m
1
1
Z= X2
2
G
1m
Xb = 1m
 : projection de la surface sur l’axe des z
h0 = 3m
Fx    z  
=> 10 4  2,75  0,5  1,325  10 4 N
1
h( x )  h0 
x 1
V  b
1
X2
2
 (h0 
x 0
1
1 2  X 
1 8
 X 2 )  dx  3m 3  
 3  m3   m3

2
2  3 0
3 3
1
1
F(x) =1,325  10 4 N
F(z) = 2,66  10 4 N
b  a3
 sin 

Ioy  sin 
a2
0,25
 ()   d 
 12


 7  10 3 m
2
S  zG
b  a  zG
12  zG 12  2,75
13/23
Zc = 0,25 - 7  10 3 = 0,243 m
G
Xc = ?
1
dmg = b  (h0 
1
 X 2 )  dx    g
2
xG1
mg  xG1  moy / mg  dm  g  x
1
dM  X  b  (h0 
1
 X 2 )  dx    g
2
3
1
1
M    g   (h0  X   X 2 )  dx
2
0
1
1
1
M  xG1  b    g   (h0  X   X 2 )  dx
2
0
1
 (h
0
x G1 
X
0
1
 (h0 
0
1,3 m 3
3
2
1
 X )  dx
2
1
1
 X 2 )  dx
2
2,66 m 2
Xc = 0,488m
Zc = 0, 243m
Z=
1
X
2
1
2
0,5
segment utile
14/23
Condition de résistance d’un tuyau :
Dx
 traction
Fp  P  x  D
    e  x
Pi
e
Raisonner en équilibre des moments :
dFz

dFz = dF  cos 
Fp = 2Z
df =P  x  ds  cos
2PD    e
P
 e
2D
dy
 P  x  dy  P  D  x
15/23
2 Ecoulement à  = constante:
Généralités : aspect cinématique :
z
s
Particule : en fonction du temps
x
Repère d’Euler
y
S’
y
x
z
dx
dt
dy
dt
dz
dt
d2x
dt
d2y
dt
d 2z
dt
Position vitesse accélération
Variables d’Euler
( Repère LAGRANGE (‘assis sur la particule’ ) 
d (.)
 0  pas de déplacement )
dt
Ecoulement : => au moins une dérivée d’abscisse non nulle.
Ecoulement unidimensionnel => une seule dérivée non nulle, trajectoire rectiligne
Ecoulement permanent :

d ''
d
d’abscisse ou
de vitesse nulle
dt
dt
permanent
dx
dt
Non permanent
t
Ecoulement continue : au moins 1 dérivé 1ère (d’adcisse) non nulle.
16/23
2.1 équation de continuité :
Hyp :
- fluide.
- Ecoulement
cinématique
Dynamique
Energétique
- Tube :
Virtuel ou réel ou solide de l’écoulement
- Iso volume
  constante (masse volumique )
  quelconque( vitesse)
S1
S2

1
Toutes les particules passant par S1 vont vers S2
dv1  dv 2
si   constante.
dm1  dm 2
dv1  S1  dx1
dv 2  S 2  dx2
S1  dx1  S 2  dx2
S1  U1  dt  S 2  U 2  dt  ...S n  U n  dt
qv  S  U  cste vrai si   constante
qm    S  U  cste toujours vrai
17/23
2.2 théorème de BERNOULLI :
-
pas de viscosité
vitesse des particules constantes
Pas de frottement du fluide
Permanent, unidimensionnel , continue
Pas d’apport thermique
X
X’
S quasi constant

1
R

, quand  100
x 100

Au moins 2 axes de symétries ex :
18/23
Conservation de l’énergie :
S1
dm
Z1
dm
Z2
S1
dm 
Potentiel :
dm  g  z1
dm 
S2
U 12
2
Cinétique :
dm 
U 22
2
dm  g  z 2
P1
dm 

=
S2
=
P2

=
U12
P U2
P
 g  z1  1  2  g  z 2  2
2

2

liquides :
hauteur :
gaz :
pression :
U2
2 g
z 
 U 2
2
P
g
 cste
   g  z  P  cste
19/23
Cinétique
dynamique
hauteur
U2
2 g
cinétique
pression
 U 2
2
dynamique
  g  z   z
De tube
z
statique
P
P

g 
P
total
U2
P
  ht
2 g 
U2
 P  Pt
2
  g  z  P  Pˆ

motrice
z
charge
U
P


Pˆ

2
2 g
z 
P
g
 cste
 U 2
2
   g  z  P  cste
20/23
L.C. ligne de charge
U 12
2 g
U 22
2 g
P1

P2

Charge
Hauteur H
L.P. ligne piézométrique
Z1
R.C.
Z2
L.T. ligne de tube
Cas de priorité de Bernouilli :
On impose
1er cas :
-
le tuyau, le fluide
le débit
On calcul les pressions :
1ère conséquences
2ème conséquences
ème
2
circuit
cas
On impose
- La ou les pressions
- Le tube
On calcule la ou les vitesses 1ère conséquences
Point de
fonctionnement
pompe
qv : 2ème conséquences
3ème cas :tous les autres :
exemple ;: les tuyaux souples.
21/23
Les écoulements à la surface libre : (2ème cas)
H=
U2
2 g
z 
P
g
 cste
S0
S.L. surface libre
L.C. ligne de charge
U2
2 g
Pression atmosphérique
Charge
Hauteur H
Ss
L.T. ligne de tube
Z0
Zs
R.C.
U 02
P0
U s2
P
 z0 

 zs  s
2 g
  g 2 g
g
3 simplification -> théorème de Torricelli
-
équilibre des pressions
2
U0
0
2 g
Zs = 0 Us =
2  g  Z0
Les temps d ‘écoulements ou temps de vidanges :
H = constante, sans pdc (perte de charge), Us = 2  g  Z 0
22/23
Z0i
dZ0
Z0(t)
Z0f
Ss
2  g  z 0 (t )
Ss =

dv
 q v  Ss  2  g  z
dt
 S0 (z) 
S0
dz
 Ss  2  g  z
dt
dv
dt  
z0 f
t
z0 i

1
S0
1

(z) 
 z 0 2  dz 0
Ss
2 g
1
Ss  2  g
z0 i

h0
1
 S 0 ( z 0 )  z 0 2  dz
Z0i = h0
z0 f
+

1

1
S
2  z 0i 2 z 0i 2
t 0 

1
SS
2  g z 2
0i
2  V0
t
z 0i
1

2
 2 g

2  V0
qv 0 i
23/23