DST 16 classe 1S1 date 17/01/2017 Je ne corrige pas les dessins, j'espère que tout le monde a réussi, c'était un cadeau. Le 1.3 était IMPOSSIBLE, toute copie qui l'aura remarqué et justifié sera grandement récompensée! 1/ Dessiner (unité de longueur 1cm) des couples de flèches représentant des vecteurs vérifiant les contraintes données ci-dessous (un exercice par item, je garde les lettres u,v chaque fois) : 1.1/ u.v = Z/2 et angle entre u et v entre 30 et 50 degrés ; 1.2/ u.v = 3 et ||u|| = Z et ||v|| = Z-3 ; 1.3/ u.v < 0 et u.(v+u) = 1 et angle entre u et v entre 45 et 60 degrés. 2/ Ajouter un vecteur « horizontal » de votre choix de Z/3 cm de long au vecteur v qui suit de façon à obtenir un vecteur w. Puis trouver le produit scalaire u.w 3/ Prouver la formule qui dit que le carré de la longueur des flèches qui représentent un vecteur u est u.u. Soient des points (il en existe) A,B tels que la flèche qui part de A et arrive à B représente u. Soit C le point qui a la même abscisse que A et la même ordonnée que B. Le triangle ABC est rectangle en C donc AC²+BC² = AB² Autrement dit: AB² = (abscisse de u)² + (ordonnée de u)² 4/ Faire le tableau de variations de la fonction f telle que pour tout nombre f(x) = Zx / (1+Zx²) Je le fais pour Z:=8. La dérivée f' de f transforme tout x en : [8(1+8x²) - 128x²] / (1+8x²)² c'est à dire en (8-64x²) / (...)² (sauf erreur) Le dénominateur est un carré positif qui ne peut pas être nul et le numérateur a un tableau de signes T facile à trouver, le tableau de signes de f' est le même que celui de son numérateur, c'est à dire T, le reste est automatique. La partie grisée ci-dessus est celle difficile et laissée à votre intimité dans les examens, ne la baclez pas. DEFI : prouver qu’il n’existe pas d’opération numérique * telle que pour toutes fonctions f,g , pour tout nombre x compatible avec les ensembles de définition, (f multipliée par g)’ (x) = (f ’(x)+Z) * (g ’(x)+Z) Ne vous occupez du défi que si vous avez fini. Il garantit 15 de moyenne trimestre2 Soit * une opération numérique qui marche, par exemple telle que pour toutes fonctions f,g: (fg)' = f ' * g ' avec l'abus de langage du chapitre héritage Soit f la fonction telle que pour tout nombre x: f(x) = 3x. Sa dérivée f ' est la constante envoyant tout nombre sur 3; Soit X la fonction identité, ie celle telle que pour tout nombre x: X(x) = x. Donc f = cste(a) fois X Donc f ' = cste(a)' * X ' = cste(0) * cste(1) = cste(0) Mais f ' est aussi égale à cste(3). Alors 0=3, puisque cste(0)(52)=1 et cste(3)(52)=3