formulaire mathematiques

FORMULAIRE MATHEMATIQUES
Unités du système S I
Système International
Le système international compte 7 unités de base, le mètre m ; le kilogramme kg, la seconde s, l’ampère A, le Kelvin K,
la mole mol, la candela cd.
De ces unités de base, on déduit des unités dérivées par exemple pour exprimer une vitesse m/s ou m.s-1.
Unités d’aires
km²
hm²
dam²
m²
dm²
cm²
mm²
1
0
0
1 dam² = 100 m²
Unités de volume
km3
hm3
dam3
m3
dm3: L
cm3
mm3
1
0
0
0
1 hm3 = 1000 dam3
Puissances de 10
10 10 10
m n m n
10 10
10
mmn
n
110
10 n
n
10 10
n
m m n
Développement, Factorisation
Soit k, p, r, a, b, c, d des nombres réels
k p r kp kr  
a b c d ac ad bc bd     
Identités remarquables
² ² 2 ²a b a ab b   
² ² 2 ²a b a ab b   
²²a b a b a b   
Equations du second degré
Soit a, b, c des nombres réels,
0a
et
²4b ac  
.
 Si
0
, l’équation
²0ax bx c  
admet deux solutions réelles :
12
b
xa
et
22
b
xa
.
 Si
0
, l’équation
²0ax bx c  
admet une solution réelle double :
12
2b
xx a
.
 Si
0
, l’équation
²0ax bx c  
n’admet aucune solution réelle.
Si
0
:
12
²ax bx c a x x x x    
;
12 b
xx a
;
12 c
xx a
Calcul vectoriel
Soit
;;
A A A
A x y z
et
;;
B B B
B x y z
deux points du plan
Coordonnées d’un vecteur défini par deux points
BA
BA
BA
xx
AB y y
zz
uuur
Coordonnées du milieu I de [AB]
;;
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z
I  
Distance de A à B dans un repère orthonormal
² ² ²
B A B A B A
AB AB x x y y z z      
uuur
Soit
;;u x y z
r
et
'; '; 'v x y z
r
Norme d’un vecteur dans une base orthonormale
² ² ²u x y z  
r
Condition pour que deux vecteurs soient colinéaires
;;u x y z
r
et
'; '; 'v x y z
r
sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont respectivement proportionnelles.

Somme de deux vecteurs
'
'
'
xx
u v y y
zz
rr
Relation de Chasles Soit A, B et C trois points de l’espace
AB BC AC
uuur uuur uuur
Barycentre de deux points
Le barycentre de deux points de l’espace A et B affectés des coefficients respectifs
a
et
b
tels que
0ab
est le point
G tel que
0aGA bGB
uur uuur r
AB
Gax bx
xab
;
AB
Gay by
yab
;
AB
Gaz bz
zab
Produit scalaire
Soit
;;u x y z
r
et
'; '; 'v x y z
r
. ' ' 'uv xx yy zz  
rr
. cosuv u v
r r r r
Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si
.0uv
rr
Produit vectoriel
Soit
;;u x y z
r
et
'; '; 'v x y z
r
''
''
''
yz zy
u v zx xz
xy yx
rr
sin ,u v u v u v   
r r r r r r
Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est le vecteur nul.
Soit O, A et B trois points de l’espace :
1
2
AOB
A OA OB
uur uuur
Configurations géométriques
180° équivaut à radians équivaut à 200 grades
Relations dans un triangle rectangle
coté adjacent à l'angle
cos hypotènuse
coté opposé à l'angle
sin hypotènuse
coté opposé à l'angle
tan coté adjacent à l'angle
Relations dans un triangle quelconque
ˆˆ
ˆ
A B C
ˆ
² ² ² 2 cosa b c bc A   
ˆ
² ² ² 2 cosb a c ac B   
ˆ
² ² ² 2 cosc a b ab C   
ˆ ˆ ˆ
sin
sin sin
a b c
B
AC
L’aire du triangle est
1ˆ
sin
2
S bc A
11
ˆ
ˆ
sin sin
22
S ac B ab C   
Aire des surfaces planes
2
TRIANGLE bh
A
2
TRAPEZE B b h
A
PARALLELOGRAMME
A bh
RECTANGLE
A Ll
²
CARRE
Ac
Cercles et disques
2
CERCLE
PR
ARC DE CERCLE
LR
²
DISQUE
AR
SECTEUR ANGULAIRE ²
2
R
A
Volume et aire de solides usuels
CYLINDRE
V Bh
3
CONE Bh
V
CONE TRONQUE 3
h
V B Bb b  
3
CUBE
Vc
PARALELEPIPEDE RECTANGLE
V Llh
2
4
SPHERE
AR
3
4
3
BOULE
VR
2
CALOTTE
A Rh
3
26
CALOTTE h
V Rh

Dérivation
Nombre dérivé de f en
0
x
:
0
0 0 0
0
0
lim lim
x x h
f x f x f x h f x
x x h
Equation de la tangente à
f
C
au point d’abscisse
0
x
:
0 0 0
'y f x x x f x  
Dérivées usuelles
Fonction
fx
Dérivée
'fx
Domaine de dérivabilité I
f x a aR
'0fx
IR
f x x
'1fx
IR
n
f x x
1
'n f x nx 
IR
si n est entier ;
0;I 
si 0 < n < 1 ;
0;I 
sinon
f x x
1
'2 fx x
0;I 
1
fx x
2
1
'fx x
;0 0;I  
1n
fx x
1
'nn fx x
;0 0;I  
si n est entier ;
0;I 
sinon
1
fx x
1
'2 fx xx
0;I 
lnf x x
1
'fx x
0;I 
exp x f x x e
' exp x f x x e
IR
Opérations sur les dérivées
Fonction
fx
Dérivée
'fx
Fonction
fx
Dérivée
'fx
f au aR
' ' f au aR
fu
'
'2
u
fu
f u v
' ' 'f u v
1
fu
2
'
'u fu
f uv
' ' 'f u v uv
1n
fu
1
'
'n
nu
fu
u
fv
2
''
'u v uv fv
lnfu
'
'u fu
n
f u nR
1
' '
n
f nu u n R
exp u f u e
' 'exp ' u f u u u e
Intégration
Primitives usuelles
Fonction
'f x F x
Primitives
Fx
Domaine d’intégrabilité I
0fx
F x cste
IR
f x a a¡
F x ax cste
IR
0
n
f x x n
1
1
n
x
F x cste
n
IR
si n est entier ;
0;I 
sinon
f x x
2
3
F x x x cste
0;I 
n*
0,f x ax b a n   ¥
1
1
n
ax b
F x cste
an
IR

1 0, 1
n
f x n n
x
1
1
1n
F x cste
nx
;0I 
ou
0;I 
si n est
entier ;
0;I 
sinon
1
fx x
2F x x cste
0;I 
1 0, , 2
n
f x a n n
ax b ¥
1
1
1n
F x cste
a n ax b 
;b Ia
ou
;
b
Ia
1
fx x
lnF x x cste
;0I 
ou
0;I 
1 0f x a
ax b
1lnF x ax b cste
a
;b Ia
ou
;
b
Ia
exp x f x x e
exp x F x x cste e cste   
IR
Opérations sur les primitives
Fonction
'fF
Primitives
F
Fonction
'fF
Primitives
F
' f au aR
F au cste
' , 1
n
u
f n n
u
  ¡
1
1
1n
F cste
nu
''f u v
F u v cste  
'u
fu
lnF u cste
' , 1
n
f u u n n   ¡
1
1
n
u
F cste
n
'exp ' u f u u u e
' exp u f u cste e cste   
Intégrale de f entre a et b :
-
bb
a
af x dx F x F b F a
Relation de Chasles :
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
ab
ba
f x dx f x dx
Linéarité :
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
Positivité : Si
ab
et
0f
sur
;ab
alors
0
b
af x dx 
Intégration d’une inégalité : Si
ab
et
fg
sur
;ab
alors
bb
aa
f x dx g x dx
Valeur moyenne de f sur
;ab
:
1b
af x dx
ba
Calcul matriciel
Addition de deux matrices
Si A et B sont deux matrices de même type (n, p), la matrice S = A + B est la matrice de type (n,p) telle que pour tout
couple (i,j) tel que
1in
et
1jp
,
ij ij ij
s a b
.
Multiplication par un réel
Si A est une matrice de type (n, p) et si
R
, la matrice
.MA
est la matrice de type (n, p) telle que pour tout couple
(i, j) tel que
1in
et
1jp
:
.
ij ij
ma
.
Multiplication de deux matrices
Si A est une matrice de type (n, p) et si B est une matrice de type (p, r) , la matrice P = A × B est la matrice de type (n, r)
telle que pour tout couple (i, j) tel que
1in
et
1jp
:
1
p
ij ik kj
k
p a b
.
Théorèmes de Guldin
Si C désigne un arc de courbe plane de longueur P, de centre de gravité G, tournant autour d’un axe ne la rencontrant
pas, la surface engendrée par C a pour aire :
2GH P
où H désigne le projeté orthogonal de G sur .
Si D désigne un domaine plan d’aire A, de centre de gravité G, le volume engendré par la rotation de D autour d’un axe
situé dans son plan et ne le coupant pas est donné par la formule :
2GH A
où H désigne le projeté orthogonal de
G sur .