FORMULAIRE MATHEMATIQUES Unités du système S I Système International Le système international compte 7 unités de base, le mètre m ; le kilogramme kg, la seconde s, l’ampère A, le Kelvin K, la mole mol, la candela cd. De ces unités de base, on déduit des unités dérivées par exemple pour exprimer une vitesse m/s ou m.s-1. Unités d’aires km² hm² dam² 1 m² 0 dm² cm² mm² 1 dam² = 100 m² 0 Unités de volume km3 hm3 1 dam3 0 0 0 m3 dm3: L cm3 mm3 1 hm3 = 1000 dam3 Puissances de 10 10m 10m n 10n 10m 10n 10m n 10 1 10 n 10 n m n 10mn Développement, Factorisation Soit k, p, r, a, b, c, d des nombres réels k p r kp kr Identités remarquables a b ² a² 2ab b² a b c d ac ad bc bd a b ² a² 2ab b² a² b² a b a b Equations du second degré Soit a, b, c des nombres réels, a 0 et b² 4ac . b b et x2 . 2a 2a b Si 0 , l’équation ax² bx c 0 admet une solution réelle double : x1 x2 . 2a Si 0 , l’équation ax² bx c 0 n’admet aucune solution réelle. b c Si 0 : ax² bx c a x x1 x x2 ; x1 x2 ; x1 x2 a a Si 0 , l’équation ax² bx c 0 admet deux solutions réelles : x1 Calcul vectoriel Soit A xA ; yA ; z A et B xB ; yB ; zB deux points du plan Coordonnées d’un vecteur défini par deux points Coordonnées du milieu I de [AB] Distance de A à B dans un repère orthonormal r x xA uuur B AB yB y A z z B A x x y yB z A z B I A B ; A ; 2 2 2 uuur AB AB xB xA ² yB yA ² zB z A ² r Soit u x; y; z et v x '; y '; z ' Norme d’un vecteur dans une base orthonormale Condition pour que deux vecteurs soient colinéaires r u x² y ² z ² r r u x; y; z et v x '; y '; z ' sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont respectivement proportionnelles. x x' r r u v y y ' z z' Somme de deux vecteurs uuur uuur uuur Relation de Chasles Soit A, B et C trois points de l’espace AB BC AC Barycentre de deux points Le barycentre de deux points de l’espace A et B affectés des coefficients respectifs a et b tels que a b 0 est le point uur uuur r G tel que aGA bGB 0 xG ax A bxB ab Produit scalaire r r Soit u x; y; z et v x '; y '; z ' rr u.v xx ' yy ' zz ' ; yG ay A byB ab ; zG az A bz B ab rr r r u.v u v cos rr Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si u.v 0 Produit vectoriel r r Soit u x; y; z et v x '; y '; z ' yz ' zy ' r r u v zx ' xz ' xy ' yx ' r r r r r r u v u v sin u , v Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est le vecteur nul. Soit O, A et B trois points de l’espace : AAOB 1 uur uuur OA OB 2 Configurations géométriques 180° équivaut à radians équivaut à 200 grades Relations dans un triangle rectangle cos coté adjacent à l'angle hypotènuse sin coté opposé à l'angle hypotènuse tan coté opposé à l'angle coté adjacent à l'angle Relations dans un triangle quelconque Aˆ Bˆ Cˆ a² b² c² 2bc cos Aˆ b² a² c² 2ac cos Bˆ a b c sin Aˆ sin Bˆ sin Cˆ 1 1 1 L’aire du triangle est S bc sin Aˆ S ac sin Bˆ ab sin Cˆ 2 2 2 Aire des surfaces planes ATRIANGLE ARECTANGLE bh 2 Ll ATRAPEZE B b h ACARRE c ² c² a² b² 2ab cos Cˆ APARALLELOGRAMME bh 2 Cercles et disques PCERCLE 2 R LARC DE CERCLE R ADISQUE R ² ASECTEUR ANGULAIRE Volume et aire de solides usuels Bh 3 VCONE VCUBE c 3 VPARALELEPIPEDE RECTANGLE Llh ASPHERE 4 R 2 ACALOTTE 2 Rh VCALOTTE Rh VBOULE 4 R3 3 2 2 h B Bb b 3 VCYLINDRE Bh VCONE TRONQUE R² h3 6 Dérivation Nombre dérivé de f en x0 : lim x x0 f x f x0 f x0 h f x0 lim h 0 x x0 h Equation de la tangente à C f au point d’abscisse x0 : y f ' x0 x x0 f x0 Dérivées usuelles Fonction f x Dérivée f ' x Domaine de dérivabilité I f ' x 0 I R f x x f ' x 1 I R f x x f ' x nx f x a a R n f ' x f x x 1 x 1 f x n x 1 f x x f x f x ln x f x exp x e x 1 I 0; 2 x 1 f ' x 2 x n f ' x n 1 x 1 f ' x 2x x 1 f ' x x f ' x exp x e x Opérations sur les dérivées Fonction f x I ;0 I ;0 f ' au ' Fonction f x a R f uv f ' u ' v uv ' f un sinon I R f ' u ' v ' u v n R 0; si n est entier ; I 0; I 0; f uv f 0; I 0; Dérivée f ' x a R f au I R si n est entier ; I 0; si 0 < n < 1 ; I 0; sinon n 1 f u 1 u 1 f n u f u ' v uv ' v2 f ' nu ' u n1 n R f ln u f ' f exp u eu Dérivée f ' x u' 2 u u' f ' 2 u nu ' f ' n 1 u u' f ' u f ' u 'exp u u ' eu f ' Intégration Primitives usuelles Fonction f x F ' x f x 0 Primitives F x Domaine d’intégrabilité I F x cste I R f x a a ¡ F x ax cste I R f x xn n 0 x n 1 cste n 1 2 F x x x cste 3 I R si n est entier ; I 0; F x f x x f x ax b n a 0, n ¥ * ax b F x a n 1 sinon I 0; n 1 cste I R f x 1 xn f x f x 1 ax b 1 x a 0 Opérations sur les primitives Fonction f F ' a R f u ' v ' f u ' un n ¡ a n 1 ax b b b I ; ou I ; a a cste n 1 F x ln x cste F x f x exp x e x f au ' entier ; I 0; sinon I 0; 1 F x 1 x 1 ax b I ;0 ou I 0; si n est 1 cste n 1 xn1 F x 2 x cste a 0, n ¥ , n 2 n f x f x F x n 0, n 1 Intégrale de f entre a et b : Relation de Chasles : Linéarité : Positivité : Intégration d’une inégalité : Valeur moyenne de f sur a; b : b b I ; ou I ; a a 1 ln ax b cste a F x exp x cste e x cste f F au cste F I R Fonction f F ' Primitives F u' un n ¡ u n1 cste n 1 Primitives F , n 1 F 1 cste n 1 u n1 F ln u cste u' u f F u v cste , n 1 I ;0 ou I 0; f u 'exp u u ' eu f ' exp u cste eu cste f x dx F x F b - F a f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x g x dx f x dx g x dx Si a b et f 0 sur a; b alors f x dx 0 Si a b et f g sur a; b alors f x dx g x dx b a b a b b a c b a c b a a b b a b a a b a b b a a 1 b f x dx b a a Calcul matriciel Addition de deux matrices Si A et B sont deux matrices de même type (n, p), la matrice S = A + B est la matrice de type (n,p) telle que pour tout couple (i,j) tel que 1 i n et 1 j p , sij aij bij . Multiplication par un réel Si A est une matrice de type (n, p) et si R , la matrice M . A est la matrice de type (n, p) telle que pour tout couple (i, j) tel que 1 i n et 1 j p : mij .aij . Multiplication de deux matrices Si A est une matrice de type (n, p) et si B est une matrice de type (p, r) , la matrice P = A × B est la matrice de type (n, r) telle que pour tout couple (i, j) tel que 1 i n et 1 j p : pij Théorèmes de Guldin p a k 1 b . ik kj Si C désigne un arc de courbe plane de longueur P, de centre de gravité G, tournant autour d’un axe ne la rencontrant pas, la surface engendrée par C a pour aire : 2 GH P où H désigne le projeté orthogonal de G sur . Si D désigne un domaine plan d’aire A, de centre de gravité G, le volume engendré par la rotation de D autour d’un axe situé dans son plan et ne le coupant pas est donné par la formule : 2 GH A où H désigne le projeté orthogonal de G sur .