Les suites numériques.
A. Définition, vocabulaire et notations.
Définition. Une suite est une fonction de l’ensemble des entiers naturels, ou d’une partie de dans .
Exemple. La suite u, qui à chaque entier n associe 2n. Cette suite est notée
Notation et vocabulaire.
L’image de n par la suite u est notée un au lieu de u(n).
un est un « terme » de la suite.
Si la suite commence par u0 , un est le (n + 1)ième terme, ou terme de rang n + 1.
Si la suite commence par u1 , un est le nième terme, ou terme de rang n.
La suite est notée, (un)n (ou plus simplement (un)).
Avec l’exemple précédent on dit que la suite (un) a pour terme général 2n.
Précisons que le terme général d’une suite peut être défini par
une relation du type un = f (n) comme dans le cas de notre exemple ;
son premier terme et une relation du type un+1 = f (un). Dans ce cas on dit que la suite est définie par
récurrence. C’est le cas des suites que nous allons étudier maintenant.
B. Suites Arithmétiques.
B.1. Définitions.
Définitions. On appelle suite arithmétique toute suite numérique dont chaque terme s’obtient en ajoutant un
réel constant appelé raison, au terme précédent. Bien sûr il faut connaître le 1er terme de la suite.
(un) est une suite arithmétique il existe un réel r (la raison) tel que pour tout n , un+1 = un + r .
Exemple. La suite définie par u0 = 8000 et la relation un+1 = un + 420.
a) Quelle est la raison de cette suite arithmétique ?
b) Expliciter la fonction f qui permet de définir cette suite par récurrence.
Propriété caractéristique.
Une suite est arithmétique si pour tout entier n, la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette
constante est la raison de la suite.
Exemple. Montrer que la suite définie pour tout entier n par un = 4n – 2 est une suite arithmétique dont on
précisera le premier terme et la raison.
Exercice. Montrer que la suite des entiers multiples de 3 est une suite arithmétique dont on précisera le
premier terme et la raison.
B.2. Calcul du terme d’indice n d’une suite arithmétique de raison r.
Si le premier terme est u0 alors un = u0 + nr. Remarque : un est le (n + 1)ième terme
Si le premier terme est u1 alors un = u1 + (n – 1)r. Remarque : un est le n ième terme.
Preuve.
Exercice. Quel est le 400e nombre impair ?
B.3. Calcul de la somme des premiers termes d’une suite arithmétique.