Fonctions trigonométriques (en format doc).

FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
I. Cosinus et sinus d’un angle orienté
Définition : rappels
Soit Error! et Error! deux vecteurs non nuls tels que :
(Error!,Error!) = t + 2 k  avec k entier relatif.
Soit M le point du cercle trigonométrique C repéré par tous
les réels t + 2 k .
On définit le cosinus de l’angle orienté (Error!,Error!) comme l’abscisse du point M.
On définit le sinus de l’angle orienté (Error!,Error!) comme l’ordonnée du point M.
Remarque :
Le cosinus de l’angle orienté (Error!,Error! ) est exactement celui des réels t + 2 k  avec k entier relatif.
On a donc cos (Error!,Error! ) = cos t = cos (t + 2 ) = cos (t – 2 ) = ... = cos (t + 2 k ).
De même, le sinus de l’angle orienté (Error!,Error!) est exactement celui des réels t + 2 k  avec k entier relatif.
On a donc sin (Error!,Error!) = sin t = sin (t + 2 ) = sin (t – 2) = ... = sin (t + 2 k ).
Propriété : Périodicité
Pour tout réel t et pour tout entier relatif k, on a : cos t = cos (t + 2 k ) et sin t = sin (t + 2 k ).
On dit que les fonctions sinus et cosinus sont « périodiques de période 2  » ou « 2  – périodiques ».
Propriété : Pour tout réel t, on a (cos t ) 2 + (sin t ) 2 = 1.
Propriété : cosinus et sinus remarquables
 (mesure principale)
Error!
Error!
Error!
Error! =
Error!
Error! =
Error!
Error!
Error!
0
Error!
cos 
1
sin 
0
Error!

0
–1
1
0
Error!
II. Fonctions circulaires (ou trigonométriques)
Dans ce paragraphe, le plan est muni d’un repère orthogonal (O ;Error!,Error!) et k désignera toujours un entier
relatif (k  Error!).
1. La fonction cosinus
Définition :
La fonction cosinus est la fonction définie sur I; R qui à tout réel x associe cos x (ou cos(x)).
Propriété : Périodicité de la fonction cosinus
Pour tout réel x et pour tout entier relatif k, on a : cos x = cos (x + 2 k ).
On dit que la fonctions cosinus est « périodique de période 2  » ou « 2  – périodique ».
Remarque :
On peut donc se contenter d’étudier la fonction cosinus sur l’intervalle [–  ;  ], [0 ; 2 ], etc ...
Propriété : Parité de la fonction cosinus
Pour tout réel x : cos (– x) = cos (x). On dit que la fonction cosinus est PAIRE.
Remarque :
Si on étudie la fonction cosinus sur [ –  ;  ], on peut donc se contenter d’étudier cette fonction sur [0 ; ].
Propriété :
Pour tout réel x, – 1  cos x  1.
Propriété : Continuité de la fonction cosinus
La fonction cosinus est continue sur I; R. On a donc pour tout a  I; R, lim;
xa
cos x = cos a.
Propriété : Dérivabilité de la fonction cosinus
La fonction cosinus est dérivable sur I; R, et pour tout x réel, (cos x)’ = – sin x.
Propriété : Sens de variation de la fonction cosinus
x
La fonction cosinus est strictement décroissante sur [0 ; ].
variation de
la fonction cosinus
Remarque :

0
1

–1
On en déduit donc les variations de la fonction cosinus sur [0 ; +  [ grâce à la périodicité de cosinus et ensuite,
les variations sur I; R par symétrie car la fonction cosinus est paire.
Propriété : courbe représentative de la fonction cosinus
Dans le repère orthogonal (O ;Error!,Error!), la courbe représentative de la fonction cosinus est l’ensemble des
points M(x ; y) tels que :
* x  I; R ;
* y = cos x.
Cette courbe est appelée sinusoïde. Comme la fonction cosinus est paire, cette sinusoïde est symétrique par
rapport à l’axe des ordonnées
y
y = cos x
-4
-3
1
-2
-1
0
-1
2. La fonction sinus
1
2
3
4
x
Définition :
La fonction sinus est la fonction définie sur I; R qui à tout réel x associe sin x (ou sin(x)).
Propriété : Périodicité de la fonction sinus
Pour tout réel x et pour tout entier relatif k, on a : sin x = sin (x + 2 k ).
On dit que la fonction sinus est « périodique de période 2  » ou « 2  – périodique ».
Remarque :
On peut donc aussi se contenter d’étudier la fonction sinus sur [–  ;  ] ou [0 ; 2 ] etc ...
Propriété : Parité de la fonction sinus
Pour tout réel x : sin (– x) = – sin (x). On dit que la fonction sinus est IMPAIRE.
Remarque :
Au lieu d’étudier la fonction sinus sur [ –  ;  ], on peut donc se contenter de l’étudier sur [0 ; ].
Propriété :
Pour tout réel x, – 1  sin x  1.
Propriété : Continuité de la fonction sinus
La fonction sinus est continue sur I; R. On a donc pour tout a  I; R, lim;
xa
sin x = sin a.
Propriété : Dérivabilité de la fonction cosinus
La fonction sinus est dérivable sur I; R, et pour tout x réel, (sin x) ’ = cos x.
Propriété : Sens de variation de la fonction sinus
x
La fonction sinus est :
[
];
* strictement décroissante sur [ Error! ;  ].
variation de
la fonction sinus
* strictement croissante sur 0 ; Error!
0

Error!
1


0
0
Remarque :
On en déduit donc les variations de la fonction sinus sur [0 ; +  [ grâce à la périodicité de sinus et ensuite, les
variations sur I; R par symétrie car la fonction sinus est impaire.
Propriété : courbe représentative de la fonction cosinus
Dans le repère orthogonal (O ;Error!,Error!), la courbe représentative
de la fonction sinus est l’ensemble des points M(x ; y) tels que :
* x  I; R ;
* y = sin x.
Cette courbe est appelée sinusoïde.
Comme la fonction sinus est impaire, cette sinusoïde est symétrique par rapport à l’origine du repère O.
y
1
y = sin x
Propriété :
La sinusoïde qui représente la fonction sinus se déduit de la sinusoïde qui représente la fonction cosinus par la
translation de vecteur Error! Error!.
De même, la sinusoïde qui représente la fonction cosinus se déduit de la sinusoïde qui représente la fonction
sinus par la translation de vecteur – Error! Error!.
y
1
y = cos x
-2
-1
y = sin x
0
-1
III. Angles associés et formule de duplication
Propriété : Angles associés
Pour tout réel x, on a :
* cos (x + ) = – cos x
et
sin (x +  ) = – sin x
* cos (  – x) = – cos x
et
sin ( – x) = sin x
* cos Error! = sin x
et
sin Error! = cos x
* cos Error! = – sin x
et
sin Error! = cos x
1
2
3
4x
y
Error!
+x
–x
-1
1
Error!
x
0,5
-0,5
0
–x
0,5
1
x
+x
-0,5
-1
Propriété : Formules dites de duplication (rappels)
Pour tout  et  réels, on a :
 cos ( +  ) = cos  cos  – sin  sin  ;
 cos ( –  ) = cos  cos  + sin  sin  ;
 sin ( +  ) = sin  cos  + sin  cos  ;
 sin ( –  ) = sin  cos  – sin  cos  ;
 cos 2 = cos 2  – sin 2  = 2 cos 2  – 1 = 1 – 2 sin 2  ;
 sin 2 = 2 cos  sin  ;
III. Équations trigonométriques
Il n’est pas indispensable de connaître ces résultats par coeur, mais il est INDISPENSABLE de savoir les
retrouver grâce au cercle trigonométrique !
1. Équation de la forme « cos x = cos  » avec  un réel
Propriété :
Pour tout réel , cos x = cos   x =  + 2k  OU x = –  + 2 k  avec k  Error!
Exemple :
cos x = – Error!  cos x = cos Error!
 x = Error! + 2k  OU x = – Error! + 2 k  avec k  Error!.
D’où S = { Error! + 2k  ;– Error! + 2 k  avec k  Error! }.
2. Équation de la forme « sin x = sin  » avec  un réel
Propriété :
Pour tout réel , sin x = sin   x =  + 2k  OU x =  –  + 2 k  avec k  Error!
Exemple :
sin x = Error!  sin x = sin Error!
 x = Error! + 2k  OU x =  – Error! + 2 k  avec k  Error!.
D’où S = { Error! + 2k  ; Error! + 2 k  avec k  Error!}.
3. Équations plus complexes
La méthode générale est de se ramener à l’une des ces trois équations de référence. Ceci peut se fait grâce :
 aux règles classiques pour les équations (équation du 1er degré, produit nul, quotient nul, etc ...) ;

cos Error! = Error! ;

cos x sin x = 0 ;

cos (2x) cosError! = 0 ;
 aux formules trigonométriques ou aux propriétés des fonctions trigonométriques ;
 cos x = sin x ;
 cos x sin x = 1 ;
 cos x + sin x = Error!
( en prouvant qu’elle est équivalente à cos Error!
 à un changement de variable pour se ramener à une équation classique.
 2 cos 2 x – 3 cos x – 2 = 0.
= Error!
);