Fonctions trigonométriques (en format doc).

FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
I. Cosinus et sinus d’un angle orienté
Définition : rappels
Soit
Error!
et
Error!
deux vecteurs non nuls tels que :
(
Error!
,
Error!
) = t + 2 k  avec k entier relatif.
Soit M le point du cercle trigonométrique C repéré par tous
les réels t + 2 k .
On définit le cosinus de l’angle orienté (
Error!
,
Error!
) comme l’abscisse du point M.
On définit le sinus de l’angle orienté (
Error!
,
Error!
) comme l’ordonnée du point M.
Remarque :
Le cosinus de l’angle orienté (
Error!
,
Error!
) est exactement celui des réels t + 2 k  avec k entier relatif.
On a donc cos (
Error!
,
Error!
) = cos t = cos (t + 2 ) = cos (t – 2 ) = ... = cos (t + 2 k ).
De même, le sinus de l’angle orienté (
Error!
,
Error!
) est exactement celui des réels t + 2 k  avec k entier relatif.
On a donc sin (
Error!
,
Error!
) = sin t = sin (t + 2 ) = sin (t – 2) = ... = sin (t + 2 k ).
Propriété : Périodicité
Pour tout réel t et pour tout entier relatif k, on a : cos t = cos (t + 2 k ) et sin t = sin (t + 2 k ).
On dit que les fonctions sinus et cosinus sont « périodiques de période 2  » ou « 2  – périodiques ».
Propriété : Pour tout réel t, on a (cos t ) 2 + (sin t ) 2 = 1.
Propriété : cosinus et sinus remarquables
(mesure principale)
0
Error!
Error!
Error!
Error!
cos
1
Error!
Error! =
Error!
Error!
0
– 1
sin
0
Error!
Error! =
Error!
Error!
1
0
II. Fonctions circulaires (ou trigonométriques)
Dans ce paragraphe, le plan est muni d’un repère orthogonal (O ;
Error!
,
Error!
) et k désignera toujours un entier
relatif (k
Error!
).
1. La fonction cosinus
Définition :
La fonction cosinus est la fonction définie sur I; R qui à tout réel x associe cos x (ou cos(x)).
Propriété : Périodicité de la fonction cosinus
Pour tout réel x et pour tout entier relatif k, on a : cos x = cos (x + 2 k ).
On dit que la fonctions cosinus est « périodique de période 2  » ou « 2  – périodique ».
Remarque :

2 3 4-1-2-3-4
-1
0 1
1
x
y
On peut donc se contenter d’étudier la fonction cosinus sur l’intervalle [–  ;  ], [0 ; 2 ], etc ...
Propriété : Parité de la fonction cosinus
Pour tout réel x : cos (– x) = cos (x). On dit que la fonction cosinus est PAIRE.
Remarque :
Si on étudie la fonction cosinus sur [ –  ;  ], on peut donc se contenter d’étudier cette fonction sur [0 ; ].
Propriété :
Pour tout réel x, – 1 cos x 1.
Propriété : Continuité de la fonction cosinus
La fonction cosinus est continue sur I;R. On a donc pour tout a I; R, lim;x  a cos x = cos a.
Propriété : Dérivabilité de la fonction cosinus
La fonction cosinus est dérivable sur I; R, et pour tout x réel, (cos x)’ = – sin x.
Propriété : Sens de variation de la fonction cosinus
La fonction cosinus est strictement décroissante sur [0 ; ].
Remarque :
On en déduit donc les variations de la fonction cosinus sur [0 ; + [ grâce à la périodicité de cosinus et ensuite,
les variations sur I; R par symétrie car la fonction cosinus est paire.
Propriété : courbe représentative de la fonction cosinus
Dans le repère orthogonal (O ;
Error!
,
Error!
), la courbe représentative de la fonction cosinus est l’ensemble des
points M(x ; y) tels que :
* x I; R ;
* y = cos x.
Cette courbe est appelée sinusoïde. Comme la fonction cosinus est paire, cette sinusoïde est symétrique par
rapport à l’axe des ordonnées
y = cos x
2. La fonction sinus
x
0 
variation de
la fonction cosinus
1
– 1

2 3-1-2-3
-1
0 1
1
x
y
Définition :
La fonction sinus est la fonction définie sur I; R qui à tout réel x associe sin x (ou sin(x)).
Propriété : Périodicité de la fonction sinus
Pour tout réel x et pour tout entier relatif k, on a : sin x = sin (x + 2 k ).
On dit que la fonction sinus est « périodique de période 2  » ou « 2  – périodique ».
Remarque :
On peut donc aussi se contenter d’étudier la fonction sinus sur [–  ;  ] ou [0 ; 2 ] etc ...
Propriété : Parité de la fonction sinus
Pour tout réel x : sin (– x) = – sin (x). On dit que la fonction sinus est IMPAIRE.
Remarque :
Au lieu d’étudier la fonction sinus sur [ –  ;  ], on peut donc se contenter de l’étudier sur [0 ; ].
Propriété :
Pour tout réel x, – 1 sin x 1.
Propriété : Continuité de la fonction sinus
La fonction sinus est continue sur I; R. On a donc pour tout a I; R, lim;x  a sin x = sin a.
Propriété : Dérivabilité de la fonction cosinus
La fonction sinus est dérivable sur I; R, et pour tout x réel, (sin x) ’ = cos x.
Propriété : Sens de variation de la fonction sinus
La fonction sinus est :
* strictement croissante sur [0 ;
Error!
] ;
* strictement décroissante sur [
Error!
;  ].
Remarque :
On en déduit donc les variations de la fonction sinus sur [0 ; + [ grâce à la périodicité de sinus et ensuite, les
variations sur I; R par symétrie car la fonction sinus est impaire.
Propriété : courbe représentative de la fonction cosinus
Dans le repère orthogonal (O ;
Error!
,
Error!
), la courbe représentative
de la fonction sinus est l’ensemble des points M(x ; y) tels que :
* x I; R ;
* y = sin x.
Cette courbe est appelée sinusoïde.
Comme la fonction sinus est impaire, cette sinusoïde est symétrique par rapport à l’origine du repère O.
x
0 Error!
variation de
la fonction sinus
1
0 0

2 3 4-1-2
-1
0 1
1
x
y
y = sin x
Propriété :
La sinusoïde qui représente la fonction sinus se déduit de la sinusoïde qui représente la fonction cosinus par la
translation de vecteur
Error!
Error!
.
De même, la sinusoïde qui représente la fonction cosinus se déduit de la sinusoïde qui représente la fonction
sinus par la translation de vecteur –
Error!
Error!
.
y = cos x y = sin x
III. Angles associés et formule de duplication
Propriété : Angles associés
Pour tout réel x, on a :
* cos (x + ) = – cos x et sin (x +  ) = – sin x
* cos (  – x) = – cos x et sin ( – x) = sin x
* cos
Error!
= sin x et sin
Error!
= cos x
* cos
Error!
= – sin x et sin
Error!
= cos x

1-0,5-1
1
-0,5
-1
0 0,5
0,5
x
y
Error!
+ x
Error!
– x
 – x x
 + x
Propriété : Formules dites de duplication (rappels)
Pour tout et réels, on a :
 cos ( + ) = cos cos – sin sin ;
 cos ( – ) = cos cos + sin sin ;
 sin ( + ) = sin cos + sin cos ;
 sin ( – ) = sin cos – sin cos ;
 cos 2 = cos 2 – sin 2 = 2 cos 2 – 1 = 1 – 2 sin 2 ;
 sin 2 = 2 cos sin ;
III. Équations trigonométriques
Il n’est pas indispensable de connaître ces résultats par coeur, mais il est INDISPENSABLE de savoir les
retrouver grâce au cercle trigonométrique !
1. Équation de la forme « cos x = cos » avec un réel
Propriété :
Pour tout réel , cos x = cos x = + 2k  OU x = – + 2 k  avec k
Error!
Exemple :
cos x = –
Error!
cos x = cos
Error!
x =
Error!
+ 2k  OU x = –
Error!
+ 2 k  avec k
Error!
.
D’où S = {
Error!
+ 2k  ;–
Error!
+ 2 k  avec k
Error!
}.
2. Équation de la forme « sin x = sin » avec un réel
Propriété :