I Valeur exacte et valeurs approchées d`un quotient :
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QUOTIENTS ATTENTION : On ne peut jamais diviser un nombre par ……………………………….. I Rappel : Définition : Le nombre qui, multiplié par b (…………..), donne a est cad : ………………………………………………………….. ………………….. Il existe alors 2 cas : a est alors un nombre ……………….................. b a On peut donc donner une écriture……………………………………………………………. du quotient b 17 Exemple : ……………………. 4 La division de a par b se termine. Le quotient Cas particulier :Lorsque le quotient a est un nombre entier, on dit que a est ……..……..……………par b b ou que : a est un ………………..…..……….de b ou que : b est un ………………..…..……….de a ou que : b ………….……………..…..………. a a n’est pas un nombre …………………… b La seule façon décrire la valeur exacte de ce quotient est alors ……………………………………… a On peut donner des écritures décimales …………………………..…………………… du quotient . b La division de a par b ne se termine pas. Le quotient 11 . 7 La calculatrice affiche : …………………………………………………………………………………………… Exemple : Considérons le quotient La division de 11 par 7 ……………………………………………… Nous ne pouvons donc donner des valeurs ………………………………ou ………………..………..………. décimales de 11 . 7 A l’unité Au dixième Au centième Au millième Troncature Encadrement …………… ………………..… Schéma Arrondi (valeur approchée la plus proche du nombre) On regarde le chiffre des…………….......................... Donc l’arrondi à l’unité est : ………………………..….. …………… On regarde le chiffre des…………….......................... ………………..… Donc l’arrondi au dixième est : ………………………… On regarde le chiffre des ………….………….………. …………… ……………...…… Donc l’arrondi au centième est : …..……….………… ………… On regarde le chiffre des ………….………………….. ………………....... Donc l’arrondi au millième est : …..……..…………. . II Comment savoir si des quotients sont égaux ? 1) Propriété des quotients égaux : Un quotient ne change pas si on ………………………………. ou …………………………………. le numérateur et le dénominateur par un même nombre …………………………………. En langage mathématique : On considère 3 nombres relatifs a , b et k avec k 0 et ……………………. a .......................................... b Cas particuliers : A quoi ça sert ? a ............................ b et a ................. ......................... b A simplifier des quotients… Pour cela, il faut absolument connaître les critères de divisibilité suivants : Un nombre est divisible par 2 lorsqu’il se finit par ………….……………………………………………… On dit alors que c’est un nombre …………... Ex : Un nombre est divisible par 3 (respectivement par 9) lorsque ………….………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………….. Ex : ………………….……… est divisible par 3 car ………………………………………………………… …………………………. n’est pas divisible par 9 car …………………………………………………. Un nombre est divisible par 5 lorsqu’il se finit par ………………………………………………………. Ex : Un nombre est divisible par 10 lorsqu’il se finit par …………………………………………………… Ex : Exemples : Simplifier « au maximum » les fractions suivantes : 28 A 36 …………………………..……… 1ère étape : on s’occupe du signe du quotient ………………………………… 2ème étape : on cherche un diviseur commun au numérateur et au dénominateur ………………………………… 3ème étape : on continue jusqu’à ne plus pouvoir diviser le numérateur et le dénominateur par le même nombre entier ………………………………… B 105 120 ………………………………… ……………………………… ………………………………… …………………………………. Vocabulaire : On dit que ……………………..………sont des fractions ………………………………… Cela veut dire que l’on ne pleut plus les ……………………………………….. 2) Egalité des produits en croix : Propriété : On considère 4 nombres relatifs a , b , c et d avec b 0 et d 0 . a c (1) Si Alors ……………………………… b d Réciproque : (2) Si . …………… Alors …………………………….. Démontrons (1) : On suppose que : ……………………………….. …………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… Démontrons (2) : On suppose que : …………………………………… On va diviser les 2 membres de cette égalité par ……………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. Applications : x 2 . 7 5 ………………………………………………………………………………………………………………………… 1) Trouver le nombre x tel que : ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. 2 3,1 et sont-ils égaux ? Justifier. 3 4,5 ……………………………………………………………………………………………………………………… 2) Les quotients ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… III Comment additionner et soustraire des quotients ? Dans tous les exemples suivants, on donnera les résultats sous forme de quotients irréductibles 1) 1er cas : Si les dénominateurs sont identiques Pour additionner (ou soustraire) 2 quotients ayant le même dénominateur, il suffit ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… En langage mathématique : On considère 3 nombres relatifs a, b, c tels que : c 0 a b a b ................................................... ................................................... c c c c Applications : 5 8 A 9 9 ...................................... 2 5 B 7 7 ...................................... ...................................... ...................................... ...................................... ...................................... ...................................... ...................................... 2) 2ème cas : Si les dénominateurs sont différents Pour additionner (ou soustraire) 2 quotients n’ayant pas le même dénominateur, il faut d’abord ……………………………………………………………………………………………………………………. Pour cela, il faut chercher un …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….. Applications : 3 4 A 14 7 B 7 2 5 3 5 7 C 6 4 ……………………………………………………………………………………..………………………………. ……………………………………………….…………………………………………………..…………………. ……………………………………………….…………………………………………………..………………….. ……………………………………………….…………………………………………………..………………….. ……………………………………………………………………………………………………….………………. ……………………………………………………………………………………………………………………….. IV Comment multiplier des quotients ? Pour multiplier deux quotients, on ……………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………………………… En langage mathématique : On considère 4 nombres relatifs a, b, c et d avec b 0 et d 0 . a c ............................................... b d Remarque : Pour multiplier des quotients, il n’est pas nécessaire d’avoir ……………………………………………… Il faut toujours penser à simplifier avant de multiplier !! Exemples : C 7 5 6 3 D 15 14 7 25 V Comment diviser deux quotients ? 1) Nombres inverses Définition : Deux nombres sont inverses lorsque leur produit est égal à 1. Exemple : ………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………... Propriété : On considère 2 nombres relatifs a et b non nuls avec b 0 . L’inverse de a est ……………………… b Cas particulier : L’inverse de a est ………………………………………………………. Démonstration : On considère 2 nombres relatifs a et b non nuls avec b 0 . …………………………………………………………………………………………………………………….. Donc l’inverse de a est ……………… b Exemples : L’inverse de 4 est ……………………….…………………………………………………………. 3 L’inverse de est ………………………………………………………………………………… 5 2 L’inverse de est ………………………………………………………………………………. 7 L’inverse de 0 …………………………………………………………………………………….. 2) Comment diviser deux quotients ? Propriété : Diviser par un nombre non nul revient à ……………………………………………………… En langage mathématique : On considère 2 nombres relatifs a et b non nuls avec b 0 . ………………..= a b = …………………………………… Application : On considère 4 nombres relatifs a, b, c et d avec b 0 , c 0 et d 0 . a c ........................................ ............................................................................... b d Exemples : 4 E 7 5 4 F 7 5 2 G 3 7 9 Application : On considère 4 nombres relatifs a, b, c et d avec b 0 , c 0 et d 0 . a c ........................................ ............................................................................... b d Exemples : 4 E 7 5 4 F 7 5 2 G 3 7 9 Exemple : A 2 2 12 1 3 3 5 6 1 4 1 B = 2 2 3 3
