qu`un nombre soit divisible par 66, il faut et il suffit qu`il réu

ARITHMÉTIQUE. 4g
qu'un nombre soit divisible par 66, il faut et il suffit qu'il réu-
nisse les caractères de divisibilité par 2, 3 et 11.
Décomposition d'un nombre en facteurs premiers.
112. I. Tout nombre qui n'est pas premier, est un produit
de nombres premiers.
En effet, soit le nombre N qu'on suppose n'être pas premier :
il admettra un diviseur premier a (lOi). Désignons par N' le
quotient de N par a : on aura N = «N'. Si N' est premier, le
théorème est démontré ; sinon , N' admettra un diviseur pre-
mier b. Désignons par N" le quotient de N' par b : on aura
N' = èV, c'est-à-dire N =«6X". On répétera pour N" ce qu'on
vient de dire pour X'. Si l'on remarque alors que la suite des
quotients N', N", etc., va toujours en diminuant, on voit qu'on
finira par arriver à un quotient au moins égal à 1, auquel cas le
quotient précédent sera un nombre premier puisqu'il ne sera
divisible que par lui-même.
On en conclut que tout nombre non premier est un produit
de nombres premiers.
Remarquons que ces nombres premiers peuvent se trouver
répétés dans le produit considéré un nombre quelconque de
fois.
Si un nombre contient 3 fois le facteur 2, 2 fois le facteur 3,
une fois le facteur 5, comme 36o, on écrira : 36o = a3 X 32 x 5,
en se servant de la notation des exposants.
Quand on cherche les nombres premiers dont le produit
constitue un nombre donné, on dit qu'on veut décomposer ce
nombre en ses facteurs premiers.
Avant d'indiquer la marche à suivre pour arriver à cette dé-
composition dans un cas quelconque, il est nécessaire de
prouver qu'elle n'est possible que d'une seule manière; en
d'autres termes, il faut démontrer qu'un nom'breni'admet qu'un
seul système de facteurs premiers.
113. II. In nombre quelconque n'est décomposable que
d'une seule manière en facteurs premiers.
Supposons que le nombre N soit égal à la fois aux deux sys-
tèmes de facteurs premiers abcd et a'b'c'd'. Nous allons prou-
ver que ces deux systèmes sont forcément identiques. En
effet, on aura abcd =
a'b'c'd'.
a divisant le premier membre, devra diviser le second; mais a
étant un nombre premier devra diviser au moins l'un des fac-
teurs du produit a'b'c'd', et comme tous ces facteurs sont pre-
miers, ii ne pourra diviser l'un d'eux que si ce dernier lui est
égal (108).