Notion de tangente et de nombre dérivé :

TSTMG. Dérivation
Notion de tangente et de nombre dérivé :
1
Définition naïve (suffisante en TSTMG) :Tangente à une courbe en un point
La tangente à une courbe (C)en un point Ade celle-ci est le prolongement du segment de droite obtenu
par zoom « fort » au niveau du point A.
Définition 1
A
C
A
C
zoom
A
C
T
= tangente Tà la courbe au point A.
Prolongement du segment obtenu par « zoom fort »
Définition naïve : Fonction dérivable en un point
On dit qu’une fonction fest dérivable en asi sa courbe représentative admet une tangente non verticale
en son point d’abscisse a.
Définition 2
Remarque. Il existe en ce sens des fonctions non dérivables : par exemple la fonction suivante n’est pas
dérivable en 0: aucun zoom aussi fort soit-il au niveau du point Ad’abscisse 0de la courbe ne renverra de
segment de droite prolongeable.
y
1
2
3
−2−1 0 1 2 x
A
C
A
zoom il n’y a pas de segment « prolongeable »
La fonction n’est pas dérivable en 0.
Nombre dérivé d’une fonction en a
Si une fonction fdéfinie au voisinage de aest dérivable en a.
Le nombre dérivé de fen aest le nombre noté f0(a)égal au coefficient directeur de la tangente à la
courbe représentative de fen son point A(a;f(a)) d’abscisse a.
Définition 3
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Exemples. Ici, (Cf)est la courbe représentative d’une fonction fdéfinie sur .
(T1),(T2)et (T3)sont tangentes à (Cf). On a alors :
•f(−4) = 5 l’image de −4par fest égale à 5
f(0) = 1 l’image de 0par fest égale à 1
f(2) = 2 l’image de 2par fest égale à 2
•Les antécédents de 5par fsont −4et 4
On peut aussi dire : l’ensemble des solutions de l’équation f(x)=5 est S=−4 ; 4
−1n’a pas d’antécédents par f
l’équation f(x) = −1n’admet pas de solutions S=∅
Les solutions de l’inéquation f(x)>2sont les réels x∈]−∞ ;−2[ ∪]2 ; +∞[
•f0(−4) = coefficient directeur de (T1) = −2
1=−2
f0(0) = coefficient directeur de (T2)=0Tangente horizontale au point d’abscisse 0de (Cf)
f0(2) = coefficient directeur de (T3) = 1
1= 1
f0(−4) >0La tangente au point d’abscisse 4de (Cf)est strictement croissante, de coefficient directeur strictement positif
f0(2) <0La tangente au point d’abscisse −2de (Cf)est strictement décroissante, de coefficient directeur strictement négatif
y
−1
1
2
3
4
5
6
−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5 x
1
2
1
1
(Cf)
(T1)
(T2)
(T3)
Équation de la tangente
2
Équation de la tangente
Si fest dérivable en a∈Ialors (Cf)admet en son point d’abscisse aune tangente (Ta)d’équation :
y=f0(a)×(x−a) + f(a)
Propriété 1
Exemple. Avec la courbe représentative (Cf)de l’exemple précédent, la tangente (T1)au point d’abscisse
−4de (Cf)admet pour équation y=f0(−4) ×(x−(−4)) + f(−4) = −2(x+ 4) + 5 ⇐⇒ y=−2x−3
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Fonction dérivée et opérations algébriques usuelles
3
31Fonction dérivée
Fonction dérivée
Si une fonction fest définie sur un intervalle Iet est dérivable en tout point aappartenant à I, on
définit la fonction dérivée de la fonction fpar la fonction définie sur Ipar f0:x7−→ f0(x)
où f0(x)est le nombre dérivé de fen x.
Définition 4
32Opérations algébriques
Dérivée d’une somme, produit, quotient et multiplication par un scalaire
Si fet gsont deux fonctions dérivables sur un intervalle Ialors :
•Somme :f+gest dérivable sur Iet (f+g)0=f0+g0
•Produit par un nombre : Si λest un réel fixé, λ.f est dérivable sur Iet (λ.f)0=λ. (f)0
•Produit de fonctions :f×gest dérivable sur Iet (f×g)0=f0×g+f×g0
•Quotient de fonctions : Si gne s’annule pas sur I,f
gest dérivable sur Iet f g0
=f0×g−f×g0
g2
Remarque. Le signe de la dérivée d’un quotient est celui du numérateur f0×g−f×g0car le dénominateur g2est positif puisque c’est un carré)
Propriété 2
Dérivées usuelles
4À connaître bien évidemment parfaitement
Fonction Dérivée Ensemble de
définition
Ensemble de
dérivabilité
k∈(constante) 0
x1
x22x
x33x2
xn,n∈,n6= 0 nxn−1
1
x−1 x2∗ ∗
1
xn−n xn+1
√x1
2√x+= [0; +∞[∗
+=]0; +∞[
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Exemples.
•Déterminer la fonction dérivée sur ]0 ; +∞[de la fonction f:x7−→ x5+x3−x−1
x+√x+ 4
Sur ]0 ; +∞[,f0(x)=5x4+ 3x2−1 + 1
x2+1
2√x
•Déterminer la fonction dérivée sur ]0 ; +∞[de la fonction g:x7−→ 3x5
4−5x 3+2 3x−√x 2+4x2 3−5 7
On transforme la fonction de départ : g(x) = 3
4x5−5 3(x) + 2 31 x−1 2(√x) + 4 3x2−5 7
Puis on dérive : sur ]0 ; +∞[,g0(x) = 3
45x4−5 3(1) + 2 3−1 x2−1 21
2√x+4
3(2x)
g0(x) = 15x4
4−5 3−2 3x2−1
4√x+8
3x
•On considère la fonction hdéfinie sur par h(x) = x
x2+ 1 + 0,5. Montrer que h0(x) = 1−x2
(x2+ 1)2
h=h0= = avec
Sur , h0(x) = 1×x2+ 1−x×(2x+ 1)
(x2+ 1)2=x2+ 1 −2x2 (x2+ 1)2=1−x2 (x2+ 1)2
•Déterminer la fonction dérivée sur ]0 ; +∞[de la fonction i:x7−→ x√x
i=i0= = avec
Sur ]0 ; +∞[,i0(x)=1×√x+x×1
2√x=√x+x 2√x
Rappels sur les études de signes
5
On rappelle que le produit ou le quotient de deux quantités de même signe est positif
On rappelle que le produit ou le quotient de deux quantités de signes opposés est négatif
51Étude du signe d’un produit
On rappelle que l’étude du signe d’une expression algébrique se déduit toujours d’une factorisation
de l’expression en produit de facteurs du premier degré (de la forme mx +p)
Rassurez-vous cependant, l’énoncé d’un exercice vous y aidera toujours.
Exemple. Étudier le signe sur [−5 ; 6] de l’expression A(x) = (2x+ 3)(2 −x)(x+ 8)
On code dans un tableau de signes chacun des facteurs précédents et on donne le signe de l’expression finale.
x
2x+ 3
2−x
x+ 8
Produit=A(x)
0
0
0 0
Il ne peut y avoir changement de signe d’une expression que si celle-ci s’annule !
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52Étude du signe d’un quotient
C’est exactement le même principe que précédemment vu que les règles de signes pour un produit et un
quotient sont les mêmes.
Il faudra juste penser à coder par une double barre au bilan les valeurs d’annulation du dénomi-
nateur (Valeurs interdites)
Exemple. Étudier le signe sur [−5 ; 6] de l’expression B(x) = (2x+ 3)
(2 −x)(x+ 8)
On code dans un tableau de signes chacun des facteurs précédents et on donne le signe de l’expression finale.
x
2x+ 3
2−x
x+ 8
Bilan=B(x)
−5−3
22 6
−0+ +
+ + 0−
+++
−0+−
Fonction dérivée et variations
6
Fonction dérivée et variations
Pour une fonction fdérivable sur un intervalle I:
•f0(x)>0pour tout réel xdans l’intervalle Isi et seulement si fest croissante sur I.
Si l’ensemble des tangentes à la courbe représentative (Cf)de fsur un intervalle, ont un coefficient directeur
positif et sont donc croissantes, alors fest croissante.
•f0(x)60pour tout réel xdans l’intervalle Isi et seulement si fest décroissante sur I.
Si l’ensemble des tangentes à la courbe représentative (Cf)de fsur un intervalle, ont un coefficient directeur
négatif et sont donc décroissantes, alors fest décroissante.
Propriété 3
Schéma d’étude d’une fonction sur un exemple :
Étudier les variations sur [−2 ; 4] de la fonction f:x7−→ 2x2−3x+ 5
Étape 1 : On dérive la fonction f
Sur [−2 ; 4],fest dérivable comme somme de fonctions dérivables et
f0(x) =
Étape 2 : On détermine le signe de f0(x)puis les variations de f
x
f0(x) =
Variations de f
0
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