Notion de tangente et de nombre dérivé :

TSTMG. Dérivation
Définition 1
1
Notion de tangente et de nombre dérivé :
Définition naïve
(suffisante en TSTMG)
: Tangente à une courbe en un point
La tangente à une courbe (C) en un point A de celle-ci est le prolongement du segment de droite obtenu
par zoom « fort » au niveau du point A.
C
C
zoom
C
A
A
A
T
Définition 2
Prolongement du segment obtenu par « zoom fort »
= tangente T à la courbe au point A.
Définition naïve : Fonction dérivable en un point
On dit qu’une fonction f est dérivable en a si sa courbe représentative admet une tangente non verticale
en son point d’abscisse a.
Remarque. Il existe en ce sens des fonctions non dérivables : par exemple la fonction suivante n’est pas
dérivable en 0 : aucun zoom aussi fort soit-il au niveau du point A d’abscisse 0 de la courbe ne renverra de
segment de droite prolongeable.
y
C
3
2
1
Définition 3
−2
−1
A
A
0
1
2 x
zoom
La fonction n’est pas dérivable en 0.
il n’y a pas de segment « prolongeable »
Nombre dérivé d’une fonction en a
Si une fonction f définie au voisinage de a est dérivable en a.
Le nombre dérivé de f en a est le nombre noté f 0 (a) égal au coefficient directeur de la tangente à la
courbe représentative de f en son point A (a ; f (a)) d’abscisse a.
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1
Exemples. Ici, (Cf ) est la courbe représentative d’une fonction f définie sur
TSTMG. Dérivation
R.
(T1 ), (T2 ) et (T3 ) sont tangentes à (Cf ). On a alors :
• f (−4) = 5
f (0) = 1
f (2) = 2
l’image de −4 par f est égale à 5
l’image de 0 par f est égale à 1
l’image de 2 par f est égale à 2
• Les antécédents de 5 par f sont −4 et 4
S
On peut aussi dire : l’ensemble des solutions de l’équation f (x) = 5 est
=
−4 ; 4
−1 n’a pas d’antécédents par f
l’équation f (x) = −1 n’admet pas de solutions
S
=∅
Les solutions de l’inéquation f (x) > 2 sont les réels x ∈ ]−∞ ; −2[ ∪ ]2 ; +∞[
• f 0 (−4) = coefficient directeur de (T1 ) = −2
1 = −2
f 0 (0) = coefficient directeur de (T2 ) = 0 Tangente horizontale au point d’abscisse 0 de (Cf )
f 0 (2) = coefficient directeur de (T3 ) = 11 = 1
f 0 (−4) > 0 La tangente au point d’abscisse 4 de (Cf ) est strictement croissante, de coefficient directeur strictement positif
f 0 (2) < 0 La tangente au point d’abscisse −2 de (Cf ) est strictement décroissante, de coefficient directeur strictement négatif
y
6
(Cf )
5
2
4
(T3 )
3
1
1
2
(T1 )
1
1
−5
−4
−3
−2
−1
(T2 )
0
1
2
3
4
5 x
−1
Propriété 1
2
Équation de la tangente
Équation de la tangente
Si f est dérivable en a ∈ I alors (Cf ) admet en son point d’abscisse a une tangente (Ta ) d’équation :
y = f 0 (a) × (x − a) + f (a)
Exemple. Avec la courbe représentative (Cf ) de l’exemple précédent, la tangente (T1 ) au point d’abscisse
−4 de (Cf ) admet pour équation y = f 0 (−4) × (x − (−4)) + f (−4) = −2(x + 4) + 5 ⇐⇒ y = −2x − 3
2
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TSTMG. Dérivation
3
Fonction dérivée et opérations algébriques usuelles
Définition 4
3 1 Fonction dérivée
Fonction dérivée
Si une fonction f est définie sur un intervalle I et est dérivable en tout point a appartenant à I, on
définit la fonction dérivée de la fonction f par la fonction définie sur I par f 0 : x 7−→ f 0 (x)
où f 0 (x) est le nombre dérivé de f en x.
3 2 Opérations algébriques
Dérivée d’une somme, produit, quotient et multiplication par un scalaire
Si f et g sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I alors :
Propriété 2
• Somme :
0
(f + g) = f 0 + g 0
f + g est dérivable sur I et
• Produit par un nombre :
0
Si λ est un réel fixé, λ.f est dérivable sur I et
0
(λ.f ) = λ. (f )
0
(f × g) = f 0 × g + f × g 0
0
f
f
f 0 × g − f × g0
• Quotient de fonctions : Si g ne s’annule pas sur I, est dérivable sur I et
=
g
g
g2
Remarque. Le signe de la dérivée d’un quotient est celui du numérateur f 0 × g − f × g0 car le dénominateur g2 est positif puisque c’est un carré)
• Produit de fonctions :
4
f × g est dérivable sur I et
Dérivées usuelles
Fonction
k∈
À connaître bien évidemment parfaitement
Dérivée
R (constante)
0
x
1
x2
2x
x3
3x2
xn , n ∈
N, n 6= 0
1
x
1
xn
√
x
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Ensemble
définition
de
Ensemble de
dérivabilité
R
R
R∗
R∗
R+ = [0; +∞[
R∗+ =]0; +∞[
nxn−1
−
−
1
x2
n
xn+1
1
√
2 x
3
TSTMG. Dérivation
Exemples.
• Déterminer la fonction dérivée sur ]0 ; +∞[ de la fonction f : x 7−→ x5 + x3 − x −
Sur ]0 ; +∞[, f 0 (x) = 5x4 + 3x2 − 1 +
1 √
+ x+4
x
1
1
+ √
x2
2 x
√
3x5
x 4x2
5x
2
5
• Déterminer la fonction dérivée sur ]0 ; +∞[ de la fonction g : x 7−→
−
+
−
+
−
4
3
3x
2
3
7
2 1
1 √
4 2 5
3 5 5
x − (x) +
x −
− ( x) +
On transforme la fonction de départ : g(x) =
4
3
3 x
2
3
7
3
1
2 −1
1
4
5
√
Puis on dérive : sur ]0 ; +∞[, g 0 (x) =
−
5x4 − (1) +
+ (2x)
4
3
3 x2
2 2 x
3
g 0 (x) =
1
5
2
8
15x4
− − 2− √ + x
4
3 3x
4 x 3
R par h(x) = x2 x+ 1 + 0,5. Montrer que h0(x) = (x12−+x1)2
2
• On considère la fonction h définie sur
h0 =
h=
Sur
R,
0
h (x) =
=
avec
1 × x2 + 1 − x × (2x + 1)
2
x2 + 1 − 2x2
(x2 + 1)
2
=
1 − x2
2
(x2 + 1)
√
• Déterminer la fonction dérivée sur ]0 ; +∞[ de la fonction i : x 7−→ x x
i=
i0 =
=
avec
√
√
1
x
Sur ]0 ; +∞[, i0 (x) = 1 × x + x × √ = x + √
2 x
2 x
5
(x2 + 1)
=
Rappels sur les études de signes
On rappelle que le produit ou le quotient de deux quantités de même signe est positif
On rappelle que le produit ou le quotient de deux quantités de signes opposés est négatif
5 1 Étude du signe d’un produit
On rappelle que l’étude du signe d’une expression algébrique se déduit toujours d’une factorisation
de l’expression en produit de facteurs du premier degré (de la forme mx + p)
Rassurez-vous cependant, l’énoncé d’un exercice vous y aidera toujours.
Exemple. Étudier le signe sur [−5 ; 6] de l’expression A(x) = (2x + 3)(2 − x)(x + 8)
On code dans un tableau de signes chacun des facteurs précédents et on donne le signe de l’expression finale.
x
2x + 3
0
2−x
0
x+8
Produit= A(x)
0
0
Il ne peut y avoir changement de signe d’une expression que si celle-ci s’annule !
4
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TSTMG. Dérivation
5 2 Étude du signe d’un quotient
C’est exactement le même principe que précédemment vu que les règles de signes pour un produit et un
quotient sont les mêmes.
Il faudra juste penser à coder par une double barre au bilan les valeurs d’annulation du dénominateur (Valeurs interdites)
Exemple. Étudier le signe sur [−5 ; 6] de l’expression B(x) =
(2x + 3)
(2 − x)(x + 8)
On code dans un tableau de signes chacun des facteurs précédents et on donne le signe de l’expression finale.
x
6
−3
2
−5
2
6
2x + 3
−
2−x
+
+
x+8
+
+
+
Bilan= B(x)
−
+
−
0
0
+
+
0
−
Fonction dérivée et variations
Fonction dérivée et variations
Propriété 3
Pour une fonction f dérivable sur un intervalle I :
• f 0 (x) > 0 pour tout réel x dans l’intervalle I si et seulement si f est croissante sur I.
Si l’ensemble des tangentes à la courbe représentative (Cf ) de f sur un intervalle, ont un coefficient directeur
positif et sont donc croissantes, alors f est croissante.
• f 0 (x) 6 0 pour tout réel x dans l’intervalle I si et seulement si f est décroissante sur I.
Si l’ensemble des tangentes à la courbe représentative (Cf ) de f sur un intervalle, ont un coefficient directeur
négatif et sont donc décroissantes, alors f est décroissante.
Schéma d’étude d’une fonction sur un exemple :
Étudier les variations sur [−2 ; 4] de la fonction f : x 7−→ 2x2 − 3x + 5
Étape 1 : On dérive la fonction f
Sur [−2 ; 4], f est dérivable comme somme de fonctions dérivables et
f 0 (x) =
Étape 2 : On détermine le signe de f 0 (x) puis les variations de f
x
f 0 (x) =
0
Variations de f
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TSTMG. Dérivation
7
Annales du baccalauréat
Une entreprise produit et commercialise chaque mois x milliers d’objets, pour x appartenant à l’intervalle
[0 ; 72]. On appelle C(x) le coût total mensuel de production et R(x) la recette mensuelle réalisée pour la
vente de x milliers d’objets, C(x) et R(x) étant exprimés en milliers d’euros.
On admettra que toute la production est vendue chaque mois.
On appelle C la représentation graphique de la fonction C et R celle de la fonction R dans un repère.
Ces représentations graphiques sont données ci-dessous.
600
C
500
R
400
300
200
100
0
0
10
20
30
40
50
60
70
Partie A
Dans cette partie, on répondra aux questions à l’aide de lectures sur le graphique ci-dessus.
1.
a. Déterminer le coût total de production de 60 milliers d’objets en un mois.
b. Quelle est alors la recette mensuelle réalisée ?
c. Est-il rentable pour cette entreprise de produire 60 milliers d’objets mensuellement ?
Justifier votre réponse.
2. Déterminer pour quelles productions mensuelles l’entreprise réalise un bénéfice positif.
Partie B
On admet que la fonction C est définie par C(x) = 0,1x2 + x + 40 et le prix de vente unitaire P (x) par
P (x) = 11,2 − 0,05x, pour tout nombre x de l’intervalle [0 ; 72].
C(x) et P (x) sont exprimés en milliers d’euros.
1. a. Vérifier que la recette mensuelle pour la vente de 10 milliers d’objets est 107 milliers d’euros.
b. Déterminer la recette mensuelle R(x) réalisée pour la vente de x milliers d’objets.
2. On admet que le bénéfice mensuel B(x) exprimé en milliers d’euros, réalisé pour la production et la
vente de x objets est défini par B(x) = −0,15x2 + 10,2x − 40.
a. Calculer B 0 (x), où B 0 désigne la fonction dérivée de la fonction B.
b. Étudier le signe de B 0 (x) dans l’intervalle [0 ; 72].
En déduire les variations de la fonction B dans l’intervalle [0 ; 72].
c. Déterminer la production mensuelle de l’entreprise qui correspond au bénéfice maximal et calculer
le montant de ce bénéfice.
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