Géométrie algébrique et géométrie complexe - IMJ-PRG

G´eom´etrie alg´ebrique et g´eom´etrie complexe
Claire Voisin
Institut de math´ematiques de Jussieu, CNRS,UMR 7586
Table des mati`eres
0 Introduction 4
I Sch´emas affines et projectifs, faisceaux coh´erents 5
1 Sch´emas affines et projectifs 5
1.1 L’espace affine An
k............................ 5
1.2 L’espace projectif Pn
k........................... 8
1.3 Sch´emas quasi-projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Sch´emas affines sur un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Sch´emas projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.3 Sch´emas quasi-projectifs, op´erations . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Premi`eres propri´et´es des sch´emas quasi-projectifs . . . . . . . . . . . 15
1.5 Premi`eres propri´et´es des morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6 Pourquoi les sch´emas ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Faisceaux coh´erents 23
2.1 Faisceaux quasi-coh´erents sur les sch´emas affines . . . . . . . . . . . 23
2.2 Op´erations sur les faisceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Faisceaux localement libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1 Diviseurs de Cartier et fibr´es en droites . . . . . . . . . . . . 28
2.3.2 O(1)surunProj ........................ 30
2.3.3 Grassmanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4 Faisceaux coh´erents sur un sch´ema projectif. . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5 Cohomologie des faisceaux quasi-coh´erents . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.6 Cohomologie de l’espace projectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.7 Th´eor`emes d’annulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 Etude des sous-sch´emas 43
3.1 Composantes irr´eductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Multiplicit´es................................ 44
3.3 Compl´etionformelle ........................... 44
3.4 Sous-sch´emas localement intersection compl`ete . . . . . . . . . . . . 47
3.5 Construction de (sous)-sch´emas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5.1 Fibr´es affines et projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5.2 Lieux des z´eros d’une section d’un faisceau localement libre . 51
3.5.3 Revˆetements cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.6 Degr´e des sous-sch´emas projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1

II Le point de vue complexe 55
4 Vari´et´es complexes et k¨ahl´eriennes 55
4.1 Vari´et´es complexes et fibr´es vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.1 Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.2 Op´erateur ∂sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.1.3 Composition et changement de variables . . . . . . . . . . . . 57
4.1.4 Vari´et´es complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1.5 Fibr´es vectoriels holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2 Th´eor`eme de Dolbeault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2.1 Op´erateurs ∂,∂surlesformes ................. 60
4.2.2 Op´erateur ∂d’un fibr´e vectoriel holomorphe . . . . . . . . . . 61
4.2.3 La r´esolution de Dolbeault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3 M´etriques hermitiennes, formes de Chern et classes de Chern . . . . 63
4.4 Vari´et´es k¨ahl´eriennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.4.1 G´eom´etrie hermitienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.4.2 M´etriques k¨ahl´eriennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.4.3 Caract´erisation locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5 Th´eorie de Hodge et th´eor`emes d’annulation 68
5.1 M´etrique L2................................ 68
5.2 Adjoints formels et Laplaciens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2.1 Laplaciens ............................ 71
5.3 Op´erateurs elliptiques et th´eor`eme de Hodge . . . . . . . . . . . . . 71
5.3.1 Symboles des op´erateurs diff´erentiels . . . . . . . . . . . . . 71
5.3.2 Symbole du laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.4 Le th´eor`eme fondamental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.4.1 Formes harmoniques et cohomologie. . . . . . . . . . . . . . . 74
5.5 Identit´es k¨ahl´eriennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.5.1 Applications ........................... 76
5.6 Th´eor`emes d’annulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6 G´eom´etrie alg´ebrique et g´eom´etrie complexe 82
6.1 Th´eor`eme de plongement de Kodaira . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.2 LeprincipeGAGA............................ 86
6.2.1 Le foncteur alg´ebrique vers analytique . . . . . . . . . . . . . 86
6.2.2 Vari´et´es de Chow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.2.3 Le th´eor`eme de comparaison de Serre . . . . . . . . . . . . . 91
III Vari´et´es lisses et cohomologie de de Rham 96
7 Diff´erentielles de K¨ahler 96
7.1 Module des diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.2 Faisceau des diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.3 R´egularit´e ................................ 100
7.4 R´esolutionsfinies............................. 102
7.5 Sous-vari´et´es lisses et ´eclatements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.5.1 Eclatements............................ 107
2

7.5.2 Propri´et´e universelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.5.3 Cas localement intersection compl`ete . . . . . . . . . . . . . . 109
8 Cohomologie de de Rham alg´ebrique 111
8.1 Complexe de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.1.1 Produit .............................. 114
8.1.2 Invariance par homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.1.3 Suite spectrale de Fr¨olicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.2 Version holomorphe et th´eor`eme de comparaison . . . . . . . . . . . 118
8.2.1 D´eg´en´erescence en E1...................... 120
8.3 Th´eor`emes d’annulation et th´eor`eme de Lefschetz . . . . . . . . . . 121
9 Dualit´e de Serre 124
9.1 Fibr´ecanonique.............................. 124
9.1.1 Suite exacte d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
9.2 Ext et Ext ................................ 127
9.3 Le th´eor`eme de dualit´e de Serre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9.4 Cas des courbes projectives lisses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.4.1 Degr´e des fibr´es inversibles et th´eor`eme de Riemann-Roch . . 134
9.4.2 Cascomplexe........................... 136
9.5 Classedecycle .............................. 137
9.5.1 Cohomologie locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
10 Classes de Chern 142
10.1 Premi`ere classe de Chern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
10.1.1 Version cohomologie de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . 142
10.1.2 Version topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
10.1.3 Comparaison ........................... 145
10.2 Construction g´en´erale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
10.2.1 Cohomologie de Pn
k........................ 145
10.2.2 Calcul de la cohomologie de de Rham d’un fibr´e projectif . . 147
10.2.3 Formule de Whitney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
10.2.4 Principe de scindage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.2.5 Cas des faisceaux coh´erents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
IV Platitude et d´eformations 156
11 El´ements de th´eorie des d´eformations 156
11.1 Foncteurs de d´eformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
11.2 Classe de Kodaira-Spencer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
11.2.1 Casg´en´eral ............................ 160
11.3 Obstructions : Le “principe de rel`evement T1” ............ 161
12 Platitude 165
12.1 Modules plats sur un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
12.2 Modules gradu´es et polynˆome de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 167
12.3 Faisceaux plats au-dessus d’une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
12.4 Polynˆome de Hilbert et finitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3

12.4.1 Degr´e ............................... 170
12.4.2 Lien avec le polynˆome de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 170
12.4.3 Enonc´es de finitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
12.5 Sch´ema de Hilbert et Grassmanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
13 Etude des images directes sup´erieures 177
13.1 Le th´eor`eme de semi-continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
13.2Changementdebase ........................... 180
13.2.1 Morphisme de changement de base . . . . . . . . . . . . . . . 180
13.2.2 Le th´eor`eme de changement de base . . . . . . . . . . . . . . 180
13.3 Application `a la cohomologie de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . 183
13.3.1 La connexion de Gauss-Manin . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
13.3.2 La propri´et´e de changement de base pour les Hp,q . . . . . . 185
0 Introduction
La notion classique d’espace g´eom´etrique. Espace topologique = ensemble
X+ topologie (donn´ees ensemblistes sur X). On a automatiquement le faisceau de
fonctions continues `a valeurs dans R(faisceau d’anneaux).
(Rappel faisceaux....)
Vari´et´es diff´erentiables (resp. complexes) : espace topologique s´epar´e + sous-
faisceau des fonctions diff´erentiables (resp. holomorphes).
Dans ces d´efinitions, les points sont importants : la vari´et´e est vue comme en-
semble de points.
Dans le cas diff´erentiable, ( ou topologique, ou holomorphe affine), on retrouve
la vari´et´e comme le spectre maximal de l’alg`ebre des fonctions diff´erentiables AX:
On a pour chaque x∈Xune application d’´evaluation
AX→R,
f7→ f(x).
C’est un morphisme de R-alg`ebres. Le noyau est donc un id´eal maximal Mxde AX.
Lemme 0.1 Si Xest un espace topologique compact (ou une vari´et´e diff´erentiable
compacte) s´epar´e, Xest de cette mani`ere en bijection avec l’ensemble des id´eaux
maximaux de AX.
Espaces annel´es. La notion qui ´emerge est celle d’espace annel´e (resp. locale-
ment annel´e) : C’est un espace topologique muni d’un faisceau d’anneaux A. (resp.
De plus le germe Axen xdoit ˆetre un anneau local.)
Morphismes d’espaces annel´es. (X, AX), et (Y, AX) ´etant deux espaces
annel´es, les morphismes de (X, AX) dans (Y, AX) sont donn´es par les applications
continues entre φ:X→Yentre les espaces topologiques sous-jacents, accompagn´es
d’un morphisme de faisceau d’anneaux (“pull-back”)
φ∗:φ−1AY→ AX.
Dans le cas localement annel´e, on demande que les morphismes de germes
φ∗:AY,φ(x)→ AX,x
4

soit un morphisme d’anneaux locaux.
Le point de vue de la g´eom´etrie alg´ebrique. Une vari´et´e alg´ebrique n’est
pas tout d’abord un ensemble de points.
Raison : Elle sera d´efinie par des ´equations polynomiales (`a coefficients dans k)
dans An
kou Pn k, o`u kest le corps de d´efinition. Si kn’est pas alg´ebriquement clos,
il peut ne pas y avoir de points du tout, et pourtant la vari´et´e n’est pas en g´en´eral
l’ensemble vide, au sens o`u si on ´etend le corps k, on peut avoir des points.
Exemple : La vari´et´e d’´equation Pix2
i=−1 est une vari´et´e alg´ebrique r´eelle
tr`es int´eressante, mˆeme si elle n’a pas de points r´eels : son anneau de fonctions
alg´ebriques est R[X1, . . . , Xn]/ < PiX2
i+ 1 >.
Par contre, si la vari´et´e n’est pas vide (comme vari´et´e alg´ebrique), elle a des
points sur des corps qui sont des extensions alg´ebriques du corps de base, ou mˆeme
sur des corps beaucoup plus gros (le point g´en´erique, par exemple). Tous ces points
font partie du spectre (dans le cas affine) et se voient d´ej`a sans ´etendre le corps de
d´efinition.
L’id´ee, dans le cas affine, est de partir de l’anneau Ades fonctions alg´ebriques,
(une k-alg`ebre de type fini) et d’introduire tout son spectre (id´eaux premiers). Ce
spectre contrˆole les k-points, mais aussi les k-points, correspondant aux points ferm´es
du spectre. Cela veut dire que l’on n’a pas d’´evaluation des fonctions sur les points
du spectre, mˆeme maximal. Ou plutˆot l’´evaluation en un id´eal maximal Mest `a
valeurs dans le corps r´esiduel A/M, une extension alg´ebrique de k.
Pourquoi ne passe-t-on pas tout de suite `a la clˆoture alg´ebrique du corps, o`u on
a “tous” les points, au sens o`u les corps r´esiduels sont ´egaux au corps de d´efinition,
ce qui permet d’´evaluer les fonctions ?
Il y a des quantit´es d’invariants attach´es `a une vari´et´e alg´ebrique d´efinie sur
k. En g´en´eral, ce sont naturellement des k-espaces vectoriels obtenus comme des
groupes de cohomologie. Si on ´etend le corps de d´efinition `a un corps plus gros K,
les nouveaux invariants seront les anciens tensoris´es par K. On a alors perdu la
k-structure.
Premi`ere partie
Sch´emas affines et projectifs, faisceaux
coh´erents
1 Sch´emas affines et projectifs
Le corps kest donn´e. C’est le corps de base. L’anneau fondamental est l’anneau
k[X1, . . . , Xn]. Dans le cas de Pn
k, on consid´erera k[X0, . . . , Xn], et on le verra comme
un anneau gradu´e par le degr´e. Ces anneaux sont des k-alg`ebres.
1.1 L’espace affine An
k
Spectre : on consid`ere le spectre Ak
n=Spec k[X1, . . . , Xn]. Comme ensemble c’est
l’ensemble des id´eaux premiers de k[X1, . . . , Xn]. Ce spectre poss`ede la topologie
5