Algèbre Devoir No 3 Exercice 1 Calculer 1. 1 −2 −1 0 1 1 −1 −1 2 1 −3 1 1 −3 · 0 2 −1 2 3 −1 4 −4 2 −5 2 1 0 2 2 −1 −2 −4 2. 4 14 10 19 14 −4 −4 −9 −6 36 25 47 35 −60 −41 −76 −57 Exercice 2 Soit √ L = {a + b 2; a, b ∈ Q} ⊂ R. et √ √ √ √ M = {α + β 3; α, β ∈ L} = {a + b 2 + c 3 + d 6; a, b, c, d ∈ Q} Montrer que L et M sont des sous-corps de R. Exercice 3 Soit x −y −z −t y x −t z 4 A := M (x, y, z, t) := , (x, y, z, t) ∈ R ) ⊂ M4 (R). z t x −y t −z y x 1. Montrer que A est un sous-espace vectoriel de dimension 4 de M4 (R). 2. Soit I := M (0, 1, 0, 0), J = M (0, 0, 1, 0), K = M (0, 0, 0, 1) Calculer IJ, IK, JI, JK, KI, KJ, I 2 , J 2 , K 2 , 3. En déduire que A est une sous-algèbre de M4 (R). 1 4. Calculer M (x, y, z, t) · M (x, −y, −z, −t), (x, y, z, t) ∈ R4 . 5. En déduire que A est un corps (non-commutatif). Exercice 4 Soit K un corps et soit n ∈ N. Soit Nn = {M = (ai,j ) ∈ Mn (K); ai,j = 0, n ≥ i ≥ j ≥ 1}. Montrer que Nn (K) est un sous-anneau de Mn (K). Montrer que pour 1 ≤ k ≤ n, M1 , · · · , Mk ∈ Nn (K), on a que (M1 · · · Mk )(i, j) = 0 pour tout couple (i, j) tel que j − i ≤ k − 1. En déduire que M n = 0 pour tout M ∈ Nn (K). Exercice 5 Soit n ∈ N∗ , n ≥ 2 et soit K un corps. Soit A l’algèbre A = Mn (K). Montrer que A est simple, c. à d. que tout idéal bilatère I de A, qui est différent de {0}, est égal à l’algèbre A tout entière. (utiliser les relations Ei,j Ek,l = δj,k Ei,l ). Exercice 6 Soit A un anneau unitaire commutatif. Soient a1 , · · · , am des éléments de A. Montrer par récurrence sur m que pour tout n ∈ N: (a1 + · · · + am )n = X p1 ,··· ,pm ≥0,n=p1 +···pm n! ap11 · · · apmm p1 ! · · · pm ! Exercice 7 Soit A un anneau commutatif fini, tel que si a · b = 0 pour deux éléments a, b ∈ A, on a que a = 0 ou b = 0 (on dit que A est intègre). Montrer que A est unitaire et que tout élément différent de 0 dans A est inversible, c. à d. A est un corps. 2