Alg`ebre Devoir No 3 Exercice 1 Calculer 1. 1 −2 −1 0 2 1 −3 1 −1 2

Alg`ebre
Devoir No 3
Exercice 1
Calculer
1. 
1−2−1 0
2 1 −3 1
−1 2 3 −1
2102
·
1 1 −1−1
0 2 1 −3
4−4 2 −5
2−1−2−4
2.
14 10 19 14
−4−4−9−6
36 25 47 35
−60 −41 −76 −57
4
Exercice 2
Soit
L={a+b√2; a, b ∈Q} ⊂ R.
et
M={α+β√3; α, β ∈L}={a+b√2 + c√3 + d√6; a, b, c, d ∈Q}
Montrer que Let Msont des sous-corps de R.
Exercice 3
Soit
A:= M(x, y, z, t) :=
x−y−z−t
y x −t z
z t x −y
t−z y x
,(x, y, z, t)∈R4) ⊂M4(R).
1. Montrer que Aest un sous-espace vectoriel de dimension 4 de M4(R).
2. Soit
I:= M(0,1,0,0), J =M(0,0,1,0), K =M(0,0,0,1)
Calculer
IJ, IK, JI, JK, KI, KJ, I2, J2, K2,
3. En d´eduire que Aest une sous-alg`ebre de M4(R).
1

4. Calculer
M(x, y, z, t)·M(x, −y, −z, −t),(x, y, z, t)∈R4.
5. En d´eduire que Aest un corps (non-commutatif).
Exercice 4
Soit Kun corps et soit n∈N. Soit Nn={M= (ai,j )∈Mn(K); ai,j = 0, n ≥i≥
j≥1}. Montrer que Nn(K) est un sous-anneau de Mn(K). Montrer que pour 1 ≤k≤
n, M1,··· , Mk∈Nn(K), on a que
(M1···Mk)(i, j) = 0 pour tout couple (i, j) tel que j−i≤k−1.
En d´eduire que Mn= 0 pour tout M∈Nn(K).
Exercice 5
Soit n∈N∗, n ≥2 et soit Kun corps. Soit Al’alg`ebre A=Mn(K). Montrer que Aest
simple, c. `a d. que tout id´eal bilat`ere Ide A, qui est diff´erent de {0}, est ´egal `a l’alg`ebre
Atout enti`ere. (utiliser les relations Ei,j Ek,l =δj,k Ei,l).
Exercice 6
Soit Aun anneau unitaire commutatif. Soient a1,··· , amdes ´el´ements de A. Montrer par
r´ecurrence sur mque pour tout n∈N:
(a1+··· +am)n=X
p1,··· ,pm≥0,n=p1+···pm
n!
p1!···pm!ap1
1···apm
m
Exercice 7
Soit Aun anneau commutatif fini, tel que si a·b= 0 pour deux ´el´ements a, b ∈A, on
a que a= 0 ou b= 0 (on dit que Aest int`egre). Montrer que Aest unitaire et que tout
´el´ement diff´erent de 0 dans Aest inversible, c. `a d. Aest un corps.
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