La semi-caractéristique d`Euler

La semi-caractéristique d’Euler-Poincaré des faisceaux
ω -quadratiques sur un schéma de Cohen-Macaulay
Christoph Sorger (*)
Résumé. – Soit f : X−−→S un morphisme projectif de Cohen-Macaulay de
dimension relative pure n entre schémas noethériens de dimension finie. Nous
donnons la définition d’un faisceau ωX/S -quadratique (resp. ωX/S -symplectique) de
dimension m sur les fibres de f et montrons que le théorème d’invariance mod 2 de
Atiyah-Rees, Mumford et Kempf reste valable dans ce cadre plus général. Ensuite,
nous l’appliquons à la variété de modules des faisceaux quadratiques semi-stables
QuadX/S (r) de [8] relative à un morphisme de Gorenstein de dimension 1.
Abstract. – Let f : X−−→S be a projective Cohen-Macaulay morphism of pure
relative dimension n between noetherian schemes of finite dimension. We give the
definition of a ωX/S -quadratic (ωX/S -symplectic) sheaf of dimension m on the fibres
of f and show that the invariance mod 2 theorem of Atiyah-Rees, Mumford and
Kempf is still valid in this more general context. We then apply the theorem to
the moduli space of semi-stable quadratic sheaves QuadX/S (r) of [8] relative to a
Gorenstein morphism of dimension 1.
AMS-Subject Classification. – 14F05
(*) Adresse : URA 212 et UFR de mathématiques ; Université Paris 7 ; Aile 4555, 5ème étage ; 2, place Jussieu ; 75251 Paris Cedex 05. Adresse éléctronique :
[email protected]
Soit, dans ce qui suit, f : X−−→S un morphisme projectif de Cohen-Macaulay
(EGA IV2 6.6-6.8) de dimension relative pure n entre schémas noethériens de
dimension finie.
Théorème 0.1 – Supposons que 2 est une unité dans OS . Soit F un faisceau
cohérent sur X de dimension m sur les fibres de f , supposé ωX/S -quadratique si
m ≡ 1 mod 4, ωX/S -symplectique si m ≡ 3 mod 4. Alors la fonction ρ : S−−→N,
définie par
X
ρ(s) :=
dim H i (Xs , Fs ),
i pair
est localement constante modulo 2.
Dans le cas n = m = 1, f lisse et F localement libre, ce théorème, qui remonte
à Riemann, est démontré par Atiyah [1] et Mumford [6]. Dans le cas n = m
quelconque, f lisse et F localement libre, il est démontré en caractéristique 0 par
Atiyah et Rees [2], puis en toute caractéristique 6= 2 par Kempf [4] sous l’hypothèse
supplémentaire que les fibres de f soient connexes. Le cas n = 2, m = 1 figure dans
[8].
L’intérêt de cette généralisation vient du fait qu’il est parfois important
de considérer le cas où les fibres de f sont singulières, voire non réduites, non
forcément connexes, par exemple si f : D−−→C est la courbe universelle de degré d
sur une surface projective. Le but de cette note est de montrer comment on peut
formuler et démontrer ce théorème dans ce cadre plus général. La démonstration
s’inspire de la démonstration récente de Kempf [4] et est basée sur l’observation
plus forte suivante (proposition 2.1) : Si L· est une approximation de longueur m de
la cohomologie de F , la structure ω-quadratique (resp. ω-symplectique) donnée par
l’isomorphisme symétrique (resp. antisymétrique) F −−→Extn−m
OX (F , ωX/S ) induit,
grâce à la dualité de Serre-Grothendieck, un isomorphisme symétrique (resp.
antisymétrique) L· −−→L·∗ [−m] dans la catégorie dérivée Dcb (S).
Je voudrais remercier B. Keller et J. Le Potier pour les discussions que nous
avons eues sur le sujet.
Application :
Soit f : X−−→S un morphisme projectif de variétés algébriques irréductibles
sur C et supposons que f soit de Gorenstein de dimension relative 1. Alors on peut
construire, pour r ∈ N, une variété QX/S (r) sur S tel que au-dessus de tout point
2
fermé s ∈ S, la fibre s’identifie à l’espace de modules des faisceaux quadratiques
de multiplicité r sur Xs [8]. On déduit du théorème que QX/S (r) a au moins deux
composantes.
Notations :
On note Xs la fibre de f au-dessus du point s et si F est un faisceau sur X,
on note par Fs la restriction de F à Xs .
Si (L· , dL ) est un complexe de OS -modules, on désigne par L· [m] le complexe
translaté de m places à gauche, de différentielle (−1)m dL et par τ≤m (L· ) le souscomplexe de L défini par . . . −−→Lm−2 −−→Lm−1 −−→ Ker(dm )−−→0.
Si (K · , dK ) est un autre complexe de OS -modules, le complexe de OS -modules
Y
Hom· (L· , K · ) est défini en degré n par
Hom(Lp , K q ), de différentielle
−p+q=n
d(f ) = dK ◦f −(−1) f
dL . Finalement, on note L·∗ le complexe Hom(L· , OS ).
Par D(S) on désigne la catégorie dérivée de M od(S), par Dc (S) la sousp
p
n p+1
catégorie pleine des complexes à cohomologie cohérente, par Db (S) la souscatégorie pleine des complexes bornés à gauche et à droite et enfin, par Dcb (S)
l’intersection dans D(S) de Dc (S) avec Db (S).
1. Faisceaux ωX/S -quadratiques (ωX/S -symplectiques)
Le cas absolu :
Soit (X, OX (1)) un schéma projectif de Cohen-Macaulay de dimension pure
n sur corps k. On note ωX le faisceau dualisant sur X.
Lemme 1.1 – Soit F un faisceau cohérent de dimension m sur X. On a
(i) Exti (F , ωX ) = 0 pour i < n − m.
(ii) si F est de Cohen-Macaulay, alors Exti (F , ωX ) = 0 pour i > n − m.
Démonstration. En effet, si (A, M) est un anneau local noethérien de CohenMacaulay, D un A-module dualisant, alors pour tout A-module de type fini M on
a la formule [7] :
prof A (M ) + max{ExtiA (M, D) 6= 0} = dim(A)
i
ce qui démontre la deuxième assertion. La première assertion est bien connue et se
déduit par exemple du théorème d’Ischebeck [5] en remarquant que prof A (D) =
dim(A)
3
Soit F un faisceau cohérent de Cohen-Macaulay de dimension m sur X. Soit
c = n − m. On pose
F ∨ := ExtcOX (F , ωX ).
On déduit du lemme que le morphisme canonique d’évaluation F −−→F ∨∨ est un
isomorphisme.
Définition 1.2 – On appelle faisceau ωX -quadratique (resp. ωX -symplectique)
sur X la donnée d’un faisceau cohérent de Cohen-Macaulay F muni d’un isomorphisme σ : F −−→F ∨ satisfaisant à la condition de symétrie σ = σ ∨ (resp.
σ = −σ ∨ )
Considérons le plongement X ,−−→ PN
k donné par OX (1). Soit d = N − n.
Rappelons qu’on a l’isomorphisme canonique ExtiOX (F , ωX ) ' Exti+d
OP (F , ωP ).
c+d
En particulier, ExtiOP (F , ωP ) = 0 pour i < c + d, ExtO
(F , ωP ) '
P
ExtcOX (F , ωX ) et ExtiOP (F , ωP ) = 0 pour i > c + d.
Le cas relatif :
Soit f : X−−→S un morphisme projectif de Cohen-Macaulay de dimension
relative pure n entre schémas noethériens de dimension finie. On note ωX/S le
faisceau dualisant relatif. Soit F un faisceau cohérent sur X de dimension m sur
les fibres et soit c = n − m. On pose
F ∨ := ExtcOX (F , ωX/S ).
Considérons un plongement de X dans un espace projectif relatif au-dessus
de S :
X ,−−→ PN
S

y
&
S
Posons d = N − n. Dans la démonstration de la proposition suivante (démontrée
dans [8] si n=m=1), on utilisera la suite spectrale suivante, reliant les groupes de
cohomologie ExtiOP (F , G)s et ExtiOPs (Fs , Gs ) pour s ∈ S :
Lemme 1.3 – Soit p : P −−→S un morphisme projectif et lisse de dimension relatif
N , soient F et G deux faisceaux cohérents sur P , S-plats et s ∈ S. Alors on a la
suite spectrale
q
p+q
P
E2p,q = TorO
−p (ExtOP (F , G), OPs ) =⇒ ExtOPs (Fs , Gs ).
4
Démonstration. On peut choisir une résolution
0−−→L−N −−→ . . . −−→L0 −−→F−−→0
de F constituée de faisceaux localement libres sur P , le morphisme f étant
lisse. Considérons le complexe H· = Hom· (L· , G). La cohomologie de ce complexe
s’identifie à ExtiOP (F , G) en degré i. Soit Ki = H−i et F le foncteur ?⊗OP OPs pour
s ∈ S. Puisque G est S-plat, K· est F -acyclique. Par suite les hypertor Tori (K· )
s’identifient à Hi (K· ⊗OP OPs ). Considérons la suite spectrale des hypertor
2
P
= TorO
Ep,q
p (Hq (K· ), OPs ) =⇒ Torp+q (K· )
2
et Mi = K−i . La suite spectrale se lit
On pose E2p,q = E−p,−q
q
p+q
P
E2p,q = TorO
(M· ⊗OP OPs )
−p (ExtOP (F, G), OPs ) =⇒ H
La S-platitude de F signifie que L·s −−→Fs est encore une résolution de Fs . On en
déduit que Hp+q (M· ⊗OP OPs ) = Extp+q
OPs (Fs , Gs ), d’où le lemme.
Proposition 1.4 – Supposons que F est S-plat et tel que Fs soit de CohenMacaulay pour tout s ∈ S. Alors F ∨ est encore S-plat.
Démonstration. Considérons F sur P = PN
S . Les hypothèses sur F impliquent
·
qu’il existe une résolution L −−→F par des faisceaux localement libres sur P de
longueur c + d. On en déduit
ExtiOP (F, ωP /S ) = 0, i > c + d.
c+d
P
De la suite spectrale on déduit que TorO
1 (ExtOP (F , ωP /S ), OPs ) = 0 pour tout
i
point s ∈ S, d’où la S-platitude de Extc+d
OP (F , ωP /S ). De plus, ExtOP (F , ωP /S ) = 0
∼
pour i < c + d. Montrons maintenant qu’on a l’isomorphisme ExtcOX (F , ωX/S ) −−
→
Extc+d
OP (F, ωP /S ). Supposons d’abord c=0 et considérons une résolution de F par
des faisceaux localement libres sur X :
²
L−1 −−→L0 −−→F−−→0.
Soit E le noyau de ². Alors E est S-plat, et Es est de Cohen-Macaulay pour tout
s ∈ S. En particulier, on a ExtiOP (E, ωP /S ) = 0 pour i < d et le diagramme
commutatif de suites exactes :
0
→
HomOX (F , ωX/S )

y
→
HomOX (L0 , ωX/S )

yo
0
→
ExtdOP (F , ωP /S )
→
ExtdOP (L0 , ωP /S )
5
→ HomOX (L−1 , ωX/S )

yo
→
ExtdOP (L−1 , ωP /S )
∼
d’où l’isomorphisme HomOX (F , ωX/S ) −−
→ ExtdOP (F , ωP /S ) par le lemme des cinq.
Pour c > 0, on choisit une résolution par des faisceaux localement libres sur X de
longueur c − 1 :
²
L−c+1 −−→ . . . −−→L0 −−→F−−→0.
Soit L−c le noyau de la dernière flèche. Alors L−c est S-plat et de plus, de dimension
n et de Cohen-Macaulay sur les fibres de f . On a un isomorphisme de complexes
·
∼
→ Extd·
Hom·OX (L· , ωX/S ) −−
OP (L , ωX/S )
dont les groupes de cohomologie s’identifient respectivement à ExtcOX (F , ωX/S ) et
Extc+d
OP (F, ωP /S ), d’où l’isomorphisme cherché.
Soit donc F un faisceau cohérent de dimension m sur les fibres, S-plat et tel
que Fs soit de Cohen-Macaulay pour tout s ∈ S. La démonstration du lemme
montre que ExtiOX (F , ωX/S ) = 0, pour i 6= c et que (F ∨ )s = (Fs )∨ . Une autre
conséquence du lemme est que le morphisme canonique d’évaluation F −−→F ∨∨ est
un isomorphisme. En effet, soit K le conoyau et N le noyau de cette flèche. Pour
s ∈ S on a Ks = 0, d’où K = 0. D’après le lemme précédent, F ∨∨ est S-plat. On
sait donc de même que Ns = 0 pour s ∈ S, d’où N = 0.
Définition 1.5 – On appelle faisceau ωX/S -quadratique (resp. ωX/S -symplectique)
la donnée d’un faisceau cohérent F sur X, S-plat et tel que Fs soit de CohenMacaulay pour tout s ∈ S, muni d’un isomorphisme σ : F −−→F ∨ satisfaisant à la
condition de symétrie σ = σ ∨ (resp. σ = −σ ∨ )
2. Démonstration du théorème :
Soit F un faisceau cohérent sur X. On dit qu’un complexe L· formé de OS modules cohérents localement libres est une approximation de la cohomologie de
g
F si pour tout changement de base S 0 −−→S,
g0
0
−−→
S0
−−→
X

f0 y
g
X

yf
S
on a Hi (g ∗ L· ) = Ri f∗0 g 0∗ F . En particulier, pour un point s ∈ S, on a Hi (L·s ) =
Hi (Xs , Fs ). On dit que l’approximation L· est de longueur m si Li = 0 pour i < 0
et i > m.
6
Proposition 2.1 – Soit (F , σ) un faisceau ωX/S -quadratique (resp. ωX/S symplectique) de dimension m sur les fibres. Alors il existe une approximation
L· de la cohomologie de F de longueur m munie d’un isomorphisme symétrique
(resp. antisymétrique) dans Dcb (S)
ψ : L· −−→L·∗ [−m]
induit par σ.
Démonstration. Grothendieck démontre l’existence d’une approximation finie pour
un morphisme propre en utilisant la cohomologie de Čech. Dans le cas d’un
morphisme projectif de Cohen-Macaulay on peut procéder de la manière suivant :
Soit 0−−→L−n −−→ . . . −−→L0 −−→F−−→0 une résolution de F par des faisceaux
cohérents tels que Li soit localement libre et tels que Rq f∗ Li = 0, q 6= n pour
i = 0, . . . , −n + 1. Remarquons que le noyau L−n de la dérnière flèche satisfait de
même à Rq f∗ L−n = 0, q 6= n. Soient K · = Rn f∗ (L· )[−n] et L· = τ≤m (K · ). Dans
D(S) l’inclusion de L· dans K · est un isomorphisme, les Rq f∗ (F ) étant nul pour
q > m. Par le théorème de changement de base, les Li sont localement libres et
commutent aux changements de base. Ainsi L· est une approximation de longueur
m de la cohomologie de F.
Considérons maintenant, dans Dc (S), le diagramme d’isomorphismes suivant :
L·
'
Rf∗ (F )

Rf∗ (σ) y o
Rf∗ (F ∨ )
'
Rf∗ RHom(F , ωX/S )[c]
(Exti (F , ωX/S ) = 0, i 6= c)
'
RHom· (Rf∗ (F ), OS )[c-n]
(dualité de Grothendieck [3])
'
RHom· (L· , OS )[−m]
'
L·∗ [−m]
∼
On déduit, par composition, l’ isomorphisme ψ : L· −−
→ L·∗ [−m] dans Dcb (S).
L’assertion concernant la symétrie de ψ est bien sûr conséquence de la symétrie
de σ.
Corollaire 2.2 – Supposons que 2 est une unité dans OS . Sous les hypothèses de
la proposition, on peut trouver, localement, une approximation Z · de longueur m
formée de faisceaux cohérents libres et munie d’un isomorphisme symétrique (resp.
antisymétrique) de complexes (et non seulement un isomorphisme dans Dcb (S))
Σ : Z · −−→Z ·∗ [−m]
induit par σ .
7
Démonstration. La question étant locale, on peut supposer que S = Spec(A), A un
anneau noethérien. Comme L· est formé de faisceaux cohérents localement libres,
et comme Coh(S) a suffisamment d’objets projectifs, ψ est un isomorphisme dans
la catégorie homotopique Kcb (S). Soit χ un relèvement de ψ dans Ccb (S). On pose
m−i
m−i
ϕi = 1/2(χi + t χ
) ou ϕi = 1/2(χi − t χ
) pour i = 0, . . . , m, selon que
(F, σ) est ωX/S -quadratique ou ωX/S -symplectique. Remarquons que t ϕi = ϕm−i
dans le cas quadratique, t ϕi = −ϕm−i dans le cas symplectique et que ϕ est un
quasi-isomorphisme.
Fixons s ∈ S. Il existe, au voisinage de s, un complexe Z · de longueur m,
formé de faisceaux cohérents libres et tel que d | = 0, et un quasi-isomorphisme
s
u : Z · −−→L· . Considérons Σ : Z · −−→Z ·∗ [−m] défini par Σ = t u[−m] ◦ ϕ ◦ u. Alors
Σ est symétrique (resp. antisymétrique) et Σ | est un isomorphisme. Au voisinage
s
de s, Σ restera un isomorphisme, d’où le corollaire.
Montrons comment le corollaire entraı̂ne le théorème. On reprend l’argument
de Kempf [4]. Soit m = 2k + 1 et (F, σ) un faisceau ωX/S -quadratique (resp. ωX/S symplectique) si m ≡ 1 mod 4 (resp. m ≡ 1 mod 4). Considérons l’isomorphisme
Σ:
Z0

Σ0 y o
Z m∗
d0
→
−t dm
→
Z1

Σ1 y o
...
Z m−1∗
...
Zk

Σk y o
Z k+1∗
dk
→
&α
−εt dk
→
Z k+1 . . .

o y ε t Σk
Z k∗
...
dm−1
Z m−1
→

o y ε t Σ1
Z1
−t d1
→
Zm

o y ε t Σ0
Z 0∗
où l’on a ε = (−1)k . On voit qu’on a
X
dim Z i − rang α mod 2.
ρ(s) mod 2 =
i pair
Le morphisme α est antisymétrique et par suite de rang pair ce qui démontre le
théorème.
Références :
[1] M. F. Atiyah. Riemann Surfaces and Spin Structures, Ann. scient. Ec.
Norm. Sup. 4e série, t.4 (1971) 47-62
[2] M. F. Atiyah et E. Rees. Vector bundles on Projective 3-space, Invent.
math. 35 (1976) 131-153
[3] R. Hartshorne. Residues and Duality, LNM 20, Springer-Verlag, Berlin
(1966)
8
[4] G. Kempf. Deformations of Semi-Euler Characteristics, American Journal
of Mathematics 114 (1992) 973-978
[5] H. Matsumura. Commutative ring theory, Cambridge studies in advanced
mathematics 8, Cambridge University Press, Cambridge (1980)
[6] D. Mumford. Theta-characteristics of an Algebraic Curve, Ann. scient. Ec.
Norm. Sup. 4e série, t4 (1971) 181-192
[7] C. Peskine. Introduction algébrique à la géométrie projective, Cours de
DEA, Université Paris VI (1990)
[8] C. Sorger. Thêta-caractéristiques des courbes tracées sur une surface lisse,
à paraı̂tre au journal für die reine und angew. Math. (Journal de Crelle)
(1992)
9