La semi-caractéristique d`Euler

La semi-caract´eristique d’Euler-Poincar´e des faisceaux
ω-quadratiques sur un sch´ema de Cohen-Macaulay
Christoph Sorger (*)
R´esum´e. – Soit f:X−−→Sun morphisme projectif de Cohen-Macaulay de
dimension relative pure nentre sch´emas noeth´eriens de dimension finie. Nous
donnons la d´efinition d’un faisceau ωX/S -quadratique (resp. ωX/S -symplectique) de
dimension msur les fibres de fet montrons que le th´eor`eme d’invariance mod 2 de
Atiyah-Rees, Mumford et Kempf reste valable dans ce cadre plus g´en´eral. Ensuite,
nous l’appliquons `alavari´et´e de modules des faisceaux quadratiques semi-stables
QuadX/S (r) de [8] relative `a un morphisme de Gorenstein de dimension 1.
Abstract. – Let f:X−−→Sbe a projective Cohen-Macaulay morphism of pure
relative dimension nbetween noetherian schemes of finite dimension. We give the
definition of a ωX/S -quadratic (ωX/S -symplectic) sheaf of dimension mon the fibres
of fand show that the invariance mod 2 theorem of Atiyah-Rees, Mumford and
Kempf is still valid in this more general context. We then apply the theorem to
the moduli space of semi-stable quadratic sheaves QuadX/S (r) of [8] relative to a
Gorenstein morphism of dimension 1.
AMS-Subject Classification. – 14F05
(*) Adresse : URA 212 et UFR de math´ematiques ; Universit´e Paris 7 ; Aile 45-
55, 5`eme ´etage ; 2, place Jussieu ; 75251 Paris Cedex 05. Adresse ´el´ectronique :
sor[email protected]

Soit, dans ce qui suit, f:X−−→Sun morphisme projectif de Cohen-Macaulay
(EGA IV26.6-6.8) de dimension relative pure nentre sch´emas noeth´eriens de
dimension finie.
Th´eor`eme 0.1 – Supposons que 2est une unit´e dans OS. Soit Fun faisceau
coh´erent sur Xde dimension msur les fibres de f, suppos´e ωX/S -quadratique si
m≡1mod4,ω
X/S -symplectique si m≡3mod4. Alors la fonction ρ:S−−→N,
d´efinie par
ρ(s):= X
i pair
dim Hi(Xs,Fs),
est localement constante modulo 2.
Dans le cas n=m=1,flisse et Flocalement libre, ce th´eor`eme, qui remonte
`a Riemann, est d´emontr´e par Atiyah [1] et Mumford [6]. Dans le cas n=m
quelconque, flisse et Flocalement libre, il est d´emontr´e en caract´eristique 0 par
Atiyah et Rees [2], puis en toute caract´eristique 6= 2 par Kempf [4] sous l’hypoth`ese
suppl´ementaire que les fibres de fsoient connexes. Le cas n=2,m= 1 figure dans
[8].
L’int´erˆet de cette g´en´eralisation vient du fait qu’il est parfois important
de consid´erer le cas o`u les fibres de fsont singuli`eres, voire non r´eduites, non
forc´ement connexes, par exemple si f:D−−→C est la courbe universelle de degr´e d
sur une surface projective. Le but de cette note est de montrer comment on peut
formuler et d´emontrer ce th´eor`eme dans ce cadre plus g´en´eral. La d´emonstration
s’inspire de la d´emonstration r´ecente de Kempf [4] et est bas´ee sur l’observation
plus forte suivante (proposition 2.1) : Si L·est une approximation de longueur mde
la cohomologie de F, la structure ω-quadratique (resp. ω-symplectique) donn´ee par
l’isomorphisme sym´etrique (resp. antisym´etrique) F−−→Extn−m
OX(F,ω
X/S ) induit,
grˆace `a la dualit´e de Serre-Grothendieck, un isomorphisme sym´etrique (resp.
antisym´etrique) L·−−→L·∗[−m] dans la cat´egorie d´eriv´ee Db
c(S).
Je voudrais remercier B. Keller et J. Le Potier pour les discussions que nous
avons eues sur le sujet.
Application :
Soit f:X−−→Sun morphisme projectif de vari´et´es alg´ebriques irr´eductibles
sur Cet supposons que fsoit de Gorenstein de dimension relative 1. Alors on peut
construire, pour r∈N, une vari´et´e QX/S (r)surStel que au-dessus de tout point
2

ferm´e s∈S, la fibre s’identifie `a l’espace de modules des faisceaux quadratiques
de multiplicit´e rsur Xs[8]. On d´eduit du th´eor`eme que QX/S (r) a au moins deux
composantes.
Notations :
On note Xsla fibre de fau-dessus du point set si Fest un faisceau sur X,
on note par Fsla restriction de F`a Xs.
Si (L·,d
L) est un complexe de OS-modules, on d´esigne par L·[m] le complexe
translat´edemplaces `a gauche, de diff´erentielle (−1)mdLet par τ≤m(L·) le sous-
complexe de Ld´efini par ...−−→L
m−2−−→L m−1−−→Ker(dm)−−→0.
Si (K·,d
K) est un autre complexe de OS-modules, le complexe de OS-modules
Hom·(L·,K·) est d´efini en degr´e npar Y
−p+q=n
Hom(Lp,Kq), de diff´erentielle
d(f)p=dK◦fp−(−1)nfp+1dL. Finalement, on note L·∗ le complexe Hom(L·,OS).
Par D(S)ond´esigne la cat´egorie d´eriv´ee de Mod(S), par Dc(S) la sous-
cat´egorie pleine des complexes `a cohomologie coh´erente, par Db(S) la sous-
cat´egorie pleine des complexes born´es `a gauche et `a droite et enfin, par Db
c(S)
l’intersection dans D(S)deD
c
(S)avecD
b
(S).
1. Faisceaux ωX/S -quadratiques (ωX/S -symplectiques)
Le cas absolu :
Soit (X, OX(1)) un sch´ema projectif de Cohen-Macaulay de dimension pure
nsur corps k.Onnoteω
Xle faisceau dualisant sur X.
Lemme 1.1 – Soit Fun faisceau coh´erent de dimension msur X.Ona
(i) Exti(F,ω
X)=0pour i<n−m.
(ii) si Fest de Cohen-Macaulay, alors Exti(F,ω
X)=0pour i>n−m.
D´emonstration. En effet, si (A, M) est un anneau local noeth´erien de Cohen-
Macaulay, Dun A-module dualisant, alors pour tout A-module de type fini Mon
a la formule [7] :
prof A(M) + max
i{Exti
A(M,D)6=0}= dim(A)
ce qui d´emontre la deuxi`eme assertion. La premi`ere assertion est bien connue et se
d´eduit par exemple du th´eor`eme d’Ischebeck [5] en remarquant que profA(D)=
dim(A)
3

Soit Fun faisceau coh´erent de Cohen-Macaulay de dimension msur X. Soit
c=n−m.Onpose
F
∨:= Extc
OX(F,ω
X).
On d´eduit du lemme que le morphisme canonique d’´evaluation F−−→F∨∨ est un
isomorphisme.
D´efinition 1.2 – On appelle faisceau ωX-quadratique (resp. ωX-symplectique)
sur Xla donn´ee d’un faisceau coh´erent de Cohen-Macaulay Fmuni d’un iso-
morphisme σ:F−−→F∨satisfaisant `a la condition de sym´etrie σ=σ∨(resp.
σ=−σ∨)
Consid´erons le plongement X−−→P
N
kdonn´eparO
X
(1). Soit d=N−n.
Rappelons qu’on a l’isomorphisme canonique Exti
OX(F,ω
X)'Exti+d
OP(F,ω
P).
En particulier, Exti
OP(F,ω
P)=0pouri<c+d, Extc+d
OP(F,ω
P)'
Extc
OX(F,ω
X)etExt
i
O
P(F,ω
P)=0pouri>c+d.
Le cas relatif :
Soit f:X−−→Sun morphisme projectif de Cohen-Macaulay de dimension
relative pure nentre sch´emas noeth´eriens de dimension finie. On note ωX/S le
faisceau dualisant relatif. Soit Fun faisceau coh´erent sur Xde dimension msur
les fibres et soit c=n−m.Onpose
F
∨:= Extc
OX(F,ω
X/S ).
Consid´erons un plongement de Xdans un espace projectif relatif au-dessus
de S:
X−−→P
N
S
&
y
S
Posons d=N−n.Danslad´emonstration de la proposition suivante (d´emontr´ee
dans [8] si n=m=1), on utilisera la suite spectrale suivante, reliant les groupes de
cohomologie Exti
OP(F,G)set Exti OPs(Fs,Gs) pour s∈S:
Lemme 1.3 – Soit p:P−−→Sun morphisme projectif et lisse de dimension relatif
N, soient Fet Gdeux faisceaux coh´erents sur P,S-plats et s∈S.Alorsonala
suite spectrale
Ep,q
2=Tor
O
P
−p(Extq
OP(F,G),OPs)=⇒Extp+q OPs(Fs,Gs).
4

D´emonstration. On peut choisir une r´esolution
0−−→L−N−−→...−−→L0−−→F−−→0
de Fconstitu´ee de faisceaux localement libres sur P, le morphisme f´etant
lisse. Consid´erons le complexe H·= Hom·(L·,G). La cohomologie de ce complexe
s’identifie `a Exti
OP(F,G)endegr´ei. Soit Ki=H−iet Fle foncteur ?⊗OPOPspour
s∈S. Puisque Gest S-plat, K·est F-acyclique. Par suite les hypertor Tori(K·)
s’identifient `aH
i
(K
·⊗ O
PO
P
s
). Consid´erons la suite spectrale des hypertor
E2
p,q =Tor
O
P
p(Hq(K·),OPs)=⇒Torp+q(K·)
On pose Ep,q
2=E2
−p,−qet Mi=K−i. La suite spectrale se lit
Ep,q
2=Tor
O
P
−p(Extq
OP(F,G),OPs)=⇒H
p+q
(M
·
⊗
O
PO
P
s
)
La S-platitude de Fsignifie que L·
s−−→Fsest encore une r´esolution de Fs.Onen
d´eduit que Hp+q(M·⊗OPOPs) = Extp+q
OPs(Fs,Gs), d’o`u le lemme.
Proposition 1.4 – Supposons que Fest S-plat et tel que Fssoit de Cohen-
Macaulay pour tout s∈S. Alors F∨est encore S-plat.
D´emonstration. Consid´erons Fsur P=PN
S. Les hypoth`eses sur Fimpliquent
qu’il existe une r´esolution L·−−→F par des faisceaux localement libres sur Pde
longueur c+d.Onend´eduit
Exti
OP(F,ω
P/S )=0,i>c+d.
De la suite spectrale on d´eduit que TorOP
1(Extc+d
OP(F,ω
P/S ),OPs) = 0 pour tout
point s∈S, d’o`ulaS-platitude de Extc+d
OP(F,ω
P/S ). De plus, Exti
OP(F,ω
P/S )=0
pour i<c+d. Montrons maintenant qu’on a l’isomorphisme Extc
OX(F,ω
X/S )∼
−−→
Extc+d
OP(F,ω
P/S ). Supposons d’abord c=0 et consid´erons une r´esolution de Fpar
des faisceaux localement libres sur X:
L−1−−→L0²
−−→F−−→0.
Soit Ele noyau de . Alors Eest S-plat, et Esest de Cohen-Macaulay pour tout
s∈S. En particulier, on a Exti
OP(E,ω
P/S )=0pouri<det le diagramme
commutatif de suites exactes :
0→HomOX(F,ω
X/S )→HomOX(L0,ω X/S )→HomOX(L−1,ω X/S )
y yo
yo
0→Extd
OP(F,ω
P/S )→Extd
OP(L0,ω
P/S )→Extd
OP(L−1,ω
P/S )
5