DÉVELOPPEMENT 2 AUTOMORPHISMES DE K(X)

D´ EVELOPPEMENT 2
AUTOMORPHISMES DE K(X)
Proposition. — Les automorphismes d’alg`ebres de K(X)sont les applications
K(X)→K(X), G(X)7→ GaX +b
cX +d
avec a, b, c, d ∈Ket ad −bc 6= 0.
D´emonstration. — Soit Φ un morphisme d’alg`ebres de K(X), on note F= Φ(X). Alors Fn= Φ(Xn)
pour tout n∈Net si P=
d
P
n=0
anXnalors
Φ(P) =
d
X
n=0
anΦ(Xn) =
d
X
n=0
anFn=P◦F.
Soit G∈K(X), on ´ecrit G=P
Qavec P, Q ∈K[X], alors
Φ(G) = Φ P
Q=Φ(P) Φ(Q)=P◦F Q◦F=G◦F.
R´eciproquement, il est clair que, pour tout F∈K(X), l’application
ΦF:K(X)→K(X), G 7→ G◦F
est un morphismes d’alg`ebres ; il reste `a trouver `a quelle condition sur F, l’application ΦFest un
automorphisme.
Si ΦFest un automorphisme alors ΦFest surjective donc il existe G∈K(X) tel que ΦF(G) = X
i.e. G◦F=X. On ´ecrit F=A
Bavec A, B ∈K[X] premiers entre eux et G=P Qavec P, Q ∈K[X]
premiers entre eux, on note
P=a0+a1X+··· +apXpet Q=b0+b1X+··· +bqXq
o`u ai, bj∈K,ap6= 0 et bq6= 0. La relation G◦F=Xdevient P◦F=X(Q◦F)i.e.
a0+a1F+··· +apFp=X(b0+b1F+··· +bqFq)
d’o`u
a0+a1
A
B+··· +ap
Ap
Bp=Xb0+b1
A
B+··· +bq
Aq
Bq.
Si on note mle maximum de pet q, on obtient
p
X
j=0
ajAjBm−j=X
q
X
k=0
bkAkBm−k.
Dans cette ´egalit´e, les seuls polynˆomes qui ne sont pas divisibles par Asont ceux qui correspondent `a
j= 0 et `a k= 0, il s’ensuit que Adivise la diff´erence a0Bm−b0XBmde ces deux termes. Comme Aest
premier avec B,Aest premier avec Bm, donc Adivise a0−b0X. Puisque Pet Qsont premiers entre
eux, on a (a0, b0)6= (0,0) donc a0−b0Xest non nul, il s’ensuit que deg A≤1.
Toujours dans la mˆeme ´egalit´e, les seuls polynˆomes qui ne sont pas divisibles par Bsont ceux qui
correspondent `a j=pet `a k=q. On distingue trois cas :

12 Automorphismes de K(X)
(i) si m=p=qalors Bdivise (ap−bpX)Apor Aest premier avec Bdonc Bdivise ap−bpXqui est
de degr´e 1 puisque bpest le coefficient dominant de B;
(ii) si p < q =malors Bdivise bqXqui est de degr´e 1 ;
(iii) si m=p > q alors Bdivise apqui est non nul.
Dans tous les cas, on obtient que deg B≤1i.e. on a montr´e qu’il existe a, b, c, d ∈Ktels que F=
aX +b
cX +d. De plus, Fne peut pas ˆetre constant (sinon ΦFn’est pas surjectif) donc ad −bc 6= 0.
R´eciproquement, on consid`ere a, b, c, d ∈Ktels que ad −bc 6= 0 et on note Φa,b,c,d le morphisme de
K(X) d´efini par Φa,b,c,d(X) = aX +b
cX +d. Si (a, b, c, d)∈K4et (a0, b0, c0, d0)∈K4v´erifient ad −bc 6= 0 et
a0b0−d0c06= 0 alors
Φa,b,c,d ◦Φa0,b0,c0,d0= Φa00,b00,c00,d00
o`u (a00, b00, c00, d00) est donn´e par a b
c d ·a0b0 c0d0=a00 b00 c00 d00 .
La relation ad −bc 6= 0 assure donc que Φa,b,c,d est inversible.
Remarque. — L’application qui `a A=a b
c d ∈GL2(K) associe Φa,b,c,d est un morphisme de
groupes. Son noyau est le sous-groupe des matrices scalaires non nulles.
Le¸con concern´ee
13 Corps des fractions rationnelles `a une ind´etermin´ee sur un corps commutatif. Exemples et appli-
cations
R´ef´erence
S. Francinou, H. Gianella et S. Nicolas, Oraux X-ENS, alg`ebre 1, Cassini, 2001.
S´ebastien Pellerin