DÉVELOPPEMENT 2 AUTOMORPHISMES DE K(X)

DÉVELOPPEMENT 2
AUTOMORPHISMES DE K(X)
Proposition. — Les automorphismes d’algèbres de K(X) sont les applications
aX + b
K(X) → K(X), G(X) 7→ G
cX + d
avec a, b, c, d ∈ K et ad − bc 6= 0.
Démonstration. — Soit Φ un morphisme d’algèbres de K(X), on note F = Φ(X). Alors F n = Φ(X n )
d
P
pour tout n ∈ N et si P =
an X n alors
n=0
Φ(P ) =
d
X
n=0
Soit G ∈ K(X), on écrit G =
an Φ(X n ) =
d
X
an F n = P ◦ F.
n=0
P
Q
avec P, Q ∈ K[X], alors
P
Φ(P )
P ◦F
Φ(G) = Φ
=
=
= G ◦ F.
Q
Φ(Q)
Q◦F
Réciproquement, il est clair que, pour tout F ∈ K(X), l’application
ΦF : K(X) → K(X), G 7→ G ◦ F
est un morphismes d’algèbres ; il reste à trouver à quelle condition sur F , l’application ΦF est un
automorphisme.
Si ΦF est un automorphisme alors ΦF est surjective donc il existe G ∈ K(X) tel que ΦF (G) = X
A
P
i.e. G ◦ F = X. On écrit F = B
avec A, B ∈ K[X] premiers entre eux et G = Q
avec P, Q ∈ K[X]
premiers entre eux, on note
P = a0 + a1 X + · · · + ap X p et Q = b0 + b1 X + · · · + bq X q
où ai , bj ∈ K, ap 6= 0 et bq 6= 0. La relation G ◦ F = X devient P ◦ F = X(Q ◦ F ) i.e.
a0 + a1 F + · · · + ap F p = X (b0 + b1 F + · · · + bq F q )
d’où
Ap
Aq
A
A
a0 + a1 + · · · + ap p = X b0 + b1 + · · · + bq q .
B
B
B
B
Si on note m le maximum de p et q, on obtient
p
q
X
X
aj Aj B m−j = X
bk Ak B m−k .
j=0
k=0
Dans cette égalité, les seuls polynômes qui ne sont pas divisibles par A sont ceux qui correspondent à
j = 0 et à k = 0, il s’ensuit que A divise la différence a0 B m − b0 XB m de ces deux termes. Comme A est
premier avec B, A est premier avec B m , donc A divise a0 − b0 X. Puisque P et Q sont premiers entre
eux, on a (a0 , b0 ) 6= (0, 0) donc a0 − b0 X est non nul, il s’ensuit que deg A ≤ 1.
Toujours dans la même égalité, les seuls polynômes qui ne sont pas divisibles par B sont ceux qui
correspondent à j = p et à k = q. On distingue trois cas :
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Automorphismes de K(X)
(i) si m = p = q alors B divise (ap − bp X)Ap or A est premier avec B donc B divise ap − bp X qui est
de degré 1 puisque bp est le coefficient dominant de B ;
(ii) si p < q = m alors B divise bq X qui est de degré 1 ;
(iii) si m = p > q alors B divise ap qui est non nul.
Dans tous les cas, on obtient que deg B ≤ 1 i.e. on a montré qu’il existe a, b, c, d ∈ K tels que F =
aX + b
. De plus, F ne peut pas être constant (sinon ΦF n’est pas surjectif) donc ad − bc 6= 0.
cX + d
Réciproquement, on considère a, b, c, d ∈ K tels que ad − bc 6= 0 et on note Φa,b,c,d le morphisme de
aX + b
K(X) défini par Φa,b,c,d (X) =
. Si (a, b, c, d) ∈ K 4 et (a0 , b0 , c0 , d0 ) ∈ K 4 vérifient ad − bc 6= 0 et
cX + d
a0 b0 − d0 c0 6= 0 alors
Φa,b,c,d ◦ Φa0 ,b0 ,c0 ,d0 = Φa00 ,b00 ,c00 ,d00
00
00
00
00
où (a , b , c , d ) est donné par
0 0 00 00 a b
a b
a b
·
=
.
c d
c0 d0
c00 d00
La relation ad − bc 6= 0 assure donc que Φa,b,c,d est inversible.
a b
Remarque. — L’application qui à A =
∈ GL2 (K) associe Φa,b,c,d est un morphisme de
c d
groupes. Son noyau est le sous-groupe des matrices scalaires non nulles.
Leçon concernée
13 Corps des fractions rationnelles à une indéterminée sur un corps commutatif. Exemples et applications
Référence
S. Francinou, H. Gianella et S. Nicolas, Oraux X-ENS, algèbre 1, Cassini, 2001.
Sébastien Pellerin