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PORTUGALIAE MATHEMATICA
Vol. 51 Fasc. 2 – 1994
SUR UN THEOREME DE P.E. SCHUPP
L. Ben Yakoub
Presented by G. Renault
1 – Introduction
Dans [2], P.E. SCHUPP a caract´eris´e les automorphismes int´erieurs d’un
groupe sans utiliser la conjugaison. Il a montr´e que si θest un automorphisme
d’un groupe Galors θest un automorphisme int´erieur de Gsi et seulement si,
pour tout groupe Hcontenant G,θse prolonge en un automorphisme de H.
Dans cet article, on va montrer qu’on n’a pas toujours un r´esultat analogue
pour les alg`ebres sur un anneau commutatif.
Soient kun anneau commutatif, unitaire et Aune k-alg`ebre associative uni-
taire. On d´esignera par Autk(A) le groupe de k-automorphismes de A. On note
M(A) l’alg`ebre de multiplication de A, c’est-`a-dire, la sous alg`ebre de l’alg`ebre des
endomorphismes de Aengendr´ee par les op´erateurs Raet Lade Ao`u Ra:x→x·a
et La:x→a·x, pour tout x∈A.
Consid´erons maintenant A=Mn(k) l’alg`ebre des matrices `a coefficients dans
ket θ∈Autk(A). Notons Uθle sous-k-module de A, tel que:
Uθ=nu∈A:x·u=u·θ(x),pour tout x∈Ao.
Soit Ml’ensemble de tous les sous-k-modules de A. Si U, V ∈ M, on d´efinit
le produit U·V, c’est le groupe additif engendr´e par l’ensemble
nu·v:u∈Uet v∈Vo.
On dit que U∈ M est inversible s’il existe v∈ M, tel que U·V=V·U=k·1,
si un tel ´el´ement existe, il sera not´e U−1et on d´esigne par Σ le groupe des ´el´ements
inversibles de M[1].
Received : January 17, 1992.

232 L. BEN YAKOUB
Lemme. [1]
i)Si U, V ∈Σet U⊂Valors U=V.
ii)Uθ∈Σet (Uθ)−1=Uθ−1, pour tout θ∈Autk(A).
iii)L’application
α: Autk(A)−→ Σ0
θ−→ Uθ
est un isomorphisme de groupes. (Σ◦d´esigne le groupe Σmuni du produit
x◦y=y x pour tout x, y ∈Σ).
Th´eor`eme. Si Φ∈Autk(A)alors Φ∈M(A)et Φse prolonge en un k-
automorphisme de B, pour toute k-alg`ebre Bcontenant Acomme sous-alg`ebre.
Preuve: Soit Φ ∈Autk(A) n’appartenant pas n´ecessairement `a M(A).
D’apr`es le lemme ii) on a: UΦ∈Σ. Prenons maintenant un ´el´ement Ude Σ
que l’on sp´ecialisera ensuite `a UΦ. A cet ´el´ement Uon peut associer, par la
d´emarche utilis´ee par Isaacs pour d´emontrer la surjectivit´e de α, un ´el´ement
θ∈Autk(A) appartenant `a M(A). En effet:
Posons V=U−1i.e. U·V=V·U=k·1, donc il existe u1,...,up∈U,
v1,...,vp∈V, tels que:
p
X
i=1
vi·ui= 1 .
L’application
θ:A−→ Ap
x−→
p
X
i=1
vi·x·ui
est un k-automorphisme de Aet, par d´efinition mˆeme, il appartient `a M(A) et
U=Uθ; en effet, soit u∈U, on a
u·θ(x) = u³
p
X
i=1
vi·x·ui´=
p
X
i=1
u vi·x·ui
=
p
X
i=1
x·u·viui=x·u ,
pour tout x∈A(u·vi∈U·V=k·1, donc commute avec x∈A), d’o`u U⊂Uθet
d’apr`es le lemme i) U=Uθ. Par suite UΦ=Uθ. On en d´eduit par le lemme iii)
que φ=θappartient `a M(A), ce qui compl`ete la premi`ere partie du th´eor`eme.

SUR UN THEOREME DE P.E. SCHUPP 233
D’autre part, si θ∈Autk(A), il existe u1,...up∈Uθet v1,...,vp∈Uθ−1, tels
que: θ=Pp
i=1 Lvi·Rui. Si Best une k-alg`ebre contenant Acomme sous-alg`ebre,
on d´emontre, comme dans la premi`ere partie, que l’application:
θ:B−→ Bp
x−→
p
X
i=1
vi·x·ui
est un k-automorphisme de B, ce qui compl`ete la preuve du th´eor`eme.
Exemple: Soient K=Z[√−5] et A=M2(K), l’´el´ement
m="1 + √−5−2
−2 1 −√−5#
poss`ede un inverse dans M2(Q[√−5]) avec
m−1=1
2"1−√−5 2
2 1 + √−5#.
L’application θ:x→m−1·x·mde Adans Aest un k-automorphisme de A
qui n’est pas int´erieur [1]. Mais d’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent, θposs`ede un pro-
longement `a toute k-alg`ebre contenant A. Ce qui montre que le th´eor`eme de P.E.
SCHUPP n’est pas en g´en´eral vrai pour les alg`ebres sur un anneau commutatif.
Nous ne savons pas si une variante du th´eor`eme de SCHUPP est vraie pour
les alg`ebres (de dimension finie) sur un corps commutatif.
REMERCIEMENT – Je remercie vivement le professeur A. Kaidi qui m’a propos´e ce
sujet.
BIBLIOGRAPHIE
[1] Isaacs, I.M. – Automorphisms of Matrix algebra over commutative Rings, Linear
Algebra App., 31 (1980), 215–231.
[2] Schupp, P.E. – A characterization of Inner Automorphisms, Proc. Amer. Math.
Soc., 101(2) (1987), 226–228.
L. Ben Yakoub,
D´epartement de Math´ematiques, Facult´e des Sciences
T´etouan, B.P. 2121 – MAROC