I. Nombres complexes

Sup Tsi - Travaux Dirig´es de math´ematiques
I. Nombres complexes
Exercice 1
Dans le plan complexe, d´eterminer l’ensemble des points d’affixe zv´erifiant (2 + i)z+ (2 −i)z= 2.
Exercice 2
Dans le plan complexe, d´eterminer l’ensemble des points d’affixe zv´erifiant |1 + i+z|= 2.
Exercice 3
Simplifier |z+ 1|2+|z−1|2pour zun nombre complexe de module 1.
Exercice 4
Simplifier sin(3x)
sin x−cos(3x) cos xpour x6=kπ 2,k∈Z.
Exercice 5
1. Lin´eariser (cos x)3puis (sin x)3en utilisant les relations d’Euler.
2. Lin´eariser sin π
3+xsin π 3−xen utilisant les relations d’Euler.
3. Factoriser cos(3x) + cos(5x) en utilisant les relations d’Euler.
Exercice 6
1. R´esoudre dans Rl’´equation cos x+ cos(2x) = 0.
2. R´esoudre dans Rl’´equation cos x+√3 sin x=−2.
3. R´esoudre dans Rl’in´equation cos x+ cos x+π
3>0.
Exercice 7
D´eterminer la forme trigonom´etrique de 1 −i√3, en d´eduire la forme alg´ebrique de (1 −i√3)5.
Exercice 8
R´esoudre dans Cl’´equation z3=z.
www.emmanuelmorand.net 1/6 SupTSI1112Chap01TD

Sup Tsi - Travaux Dirig´es de math´ematiques I. Nombres complexes
Exercice 9
Calculer dans Cles racines cubiques de −8.
Exercice 10
R´esoudre dans Cl’´equation z2−(1 + i)z+ 5i= 0.
Exercice 11
R´esoudre dans Cl’´equation z4+ 8iz2−25 = 0.
Exercice 12
Caract´eriser les nombres complexes aet btels que l’inverse de leur somme soit ´egale `a la somme de leurs
inverses. Interpr´eter g´eom´etriquement dans le plan complexe.
Exercice 13
´
Etant donn´e z∈C, on consid`ere les points d’affixes 1, zet z2dans le plan complexe. D´eterminer une
Condition N´ecessaire et Suffisante sur zpour que ces points soient align´es.
Exercice 14
Dans le plan complexe, on consid`ere les points Aet Bd’affixes respectives 1 et −i. Montrer qu’un point
Md’affixe zappartient `a la droite (AB) si et seulement si (1 + i)z+ (1 −i)z= 2.
Exercice 15
Dans le plan complexe, on consid`ere un triangle ABC. Montrer que l’isobarycentre des points A,Bet
Cest situ´e au deux-tiers de la m´ediane issue de A`a partir du sommet.
Exercice 16
Dans le plan complexe, d´eterminer la nature des applications associ´ees aux ´ecritures suivantes :
z7→ 1−i+iz.
z7→ 1
2(z−z).
Exercice 17
Dans le plan complexe, d´eterminer la nature du triangle form´e par les points d’affixe les solutions de
l’´equation 2z3+ 3z+ 5 = 0.
Exercice 18
Dans le plan complexe, d´eterminer le lieu g´eom´etrique form´e par les points d’affixe zv´erifiant |z|=z+z.
www.emmanuelmorand.net 2/6 SupTSI1112Chap01TD

Sup Tsi - Travaux Dirig´es de math´ematiques I. Nombres complexes
Probl`eme 1 (Entiers de Gauss)
En utilisant le module d’un nombre complexe, d´emontrer que si deux nombres sont somme de deux
carr´es de nombres entiers alors leur produit est encore une somme de deux carr´es de nombres entiers.
Exprimer 6885 comme somme de deux carr´es de nombres entiers.
Probl`eme 2 (Polynˆomes de Tchebychev)
1. Exprimer cos 2θsous la forme d’un polynˆome en X= cos θ.
2. D´evelopper (cos θ+isin θ)3, en d´eduire l’expression de cos 3θsous la forme d’un polynˆome en X= cos θ.
3. Exprimer cos 4θsous la forme d’un polynˆome en X= cos θ.
Probl`eme 3 (Somme et produit des racines n-i`emes de l’unit´e)
Montrer que les racines n-i`emes de l’unit´e forment une progression g´eom´etrique dont on d´eterminera la
raison, en d´eduire leur somme ainsi que leur produit.
Probl`eme 4 (Valeur exacte de cos 2π
5)
En calculant la somme des racines 5-i`emes de l’unit´e, montrer que cos 2π
5+ cos 4π 5=−1 2, en
d´eduire la valeur exacte de cos 2π
5.
Probl`eme 5 (Caract´erisation d’un carr´e)
Dans le plan complexe muni d’un rep`ere orthonormal direct, on consid`ere quatre points A,B,Cet D
deux `a deux distincts d’affixes respectives a,b,cet d. Montrer que le quadrilat`ere ABCD est un carr´e direct
si et seulement si a+c=b+det a+bi =c+di.
Probl`eme 6 (Caract´erisation d’un triangle ´equilat´eral)
Dans le plan complexe muni d’un rep`ere orthonormal direct, on consid`ere trois points A,Bet Cdeux
`a deux distincts d’affixes respectives a,bet c. On note j=e2iπ
3.
1. D´emontrer que le triangle ABC est ´equilat´eral direct si et seulement si a+bj +cj2= 0.
2. D´emontrer que le triangle ABC est ´equilat´eral si et seulement si a2+b2+c2=ab +bc +ca.
3. En choisissant un rep`ere adapt´e et en utilisant l’irrationnalit´e de √3, d´emontrer qu’il n’existe aucun
triangle ´equilat´eral dont les coordonn´ees des sommets dans un rep`ere orthonormal direct du plan sont
des entiers.
www.emmanuelmorand.net 3/6 SupTSI1112Chap01TD

Sup Tsi - Travaux Dirig´es de math´ematiques I. Nombres complexes
Probl`eme 7 (Droite d’Euler d’un triangle)
Dans le plan complexe muni d’un rep`ere orthonormal direct (O, −→ u , −→ v), on consid`ere trois points A,B
et Cdeux `a deux distincts sur le cercle trigonom´etrique de centre Oet de rayon 1. On note a,bet cles
affixes respectives de points A,Bet C. On appelle I,Jet Kles milieux respectifs des segments [BC], [AC]
et [AB].
1. Faire une figure.
2. D´eterminer l’affixe du centre de gravit´e Gdu triangle ABC en fonction de a,bet c.
3. On consid`ere le point Hd’affixe a+b+c, comparer les angles orient´es de vecteurs (−−→ AB;−−→ CH) et
(−−→ AB;−−→ OK), en d´eduire que le point Hest l’orthocentre du triangle ABC.
4. D´emontrer que −−→ OH = 3−−→ OG.
Probl`eme 8 (Th´eor`eme de Napol´eon)
Dans le plan complexe, on consid`ere un triangle
ABC quelconque et on construit ext´erieurement les
triangles ´equilat´eraux A′BC,AB′Cet ABC′.
On appelle respectivement G1,G2et G3les centres
de gravit´e de ces triangles.
On consid`ere le rep`ere orthonormal direct (B, −→ u , −→ v)
et on note ρet θles coordonn´ees polaires du point A.
D´emontrer que le triangle G1G2G3est ´equilat´eral.
A
BC
A′
B′
C′
G1
G2
G3
−→
u
−→
v
www.emmanuelmorand.net 4/6 SupTSI1112Chap01TD

Sup Tsi - Travaux Dirig´es de math´ematiques I. Nombres complexes
R´eponses
Exercices
1) Droite d’´equation r´eduite y= 2x−1.
2) Cercle de centre d’affixe −1−iet de rayon 2.
3) |z+ 1|2+|z−1|2= 4 si zz = 1.
4) sin(3x)
sin x−cos(3x) cos x= 2.
5) (cos x)3=3 cos x+ cos(3x)
4et (sin x)3=3 sin x−sin(3x) 4; sin π 3+xsin π 3−x=1 + 2 cos 2x 4;
cos(3x) + cos(5x) = 2 cos(x) cos(4x) en remarquant ei3x+ei5x=ei4x(eix +e−ix).
6) cos x+ cos 2x= 2(cos x)2+ cos x−1 d’o`u x=π[2π] ou x=±π
3[2π] ; cos x+√3 sin x= 2 cos x−π 3
d’o`u x=−2π
3[2π] ; cos x+ cos x+π 3=√3 cos x+π 6d’o`u −2π 3+ 2kπ < x < π 3+ 2kπ,k∈Z.
7) 1−i√3 = 2e−i2π
3d’o`u (1 −i√3)5= 16(1 + i√3).
8) 0,i,−1, −iet 1 en utilisant l’´ecriture trigonom´etrique.
9) −2, 1 + i√3 et 1 −i√3.
10) 2−iet −1 + 2i.
11) −1 + 2i, 1 −2i,−2 + iet 2 −i.
12) On montre que b
aest solution de X= (1 + X)2soit b a=e±i2π
3. Le triangle OAB est ´equilat´eral.
13) z= 1 ou z2−1
z−1=z+ 1 ∈Rdonc zdoit ˆetre un nombre r´eel.
14) Pour z6= 1, le nombre complexe z+i
z−1est r´eel donc ´egal `a son conjugu´e.
15) On montre que z−→
AG =2
3z−→
AI o`u Iest le milieu du segment [BC].
16) Rotation de centre le point d’affixe 1 et d’angle π
2; projection orthogonale sur l’axe des imaginaires
purs.
17) Les solutions de l’´equation sont −1, 1 + 3i
2et 1−3i 2, le triangle est rectangle isoc`ele.
18) On consid`ere les points O(0), M(z) et R(2Re(z)). Le triangle OMR est isoc`ele en Met Odonc
´equilat´eral. Le point Mest situ´e sur une demi-droite partant de l’origine et formant un angle de ±π
3
avec l’axe des r´eels.
Probl`emes
1) (a2+b2)(c2+d2) = |(a+ib)(c+id)|= (ac −bd)2+ (ad +bc)2; 6885 = 632+ 542= 812+ 182car
6885 = 92×5×17 et 9(2 + i)(4 + i) = 63 + 54iet 9(2 −i)(4 + i) = 81 −18i.
2) T2(X) = 2X2−1 ; T3(X) = 4X3−3Xet T4(X) = 8X4−8X2+ 1.
3) Si n > 1, 1 + ei2π
n+ei2π n2+···+ei2π nn−1=
1−ei2π
nn
1−ei2π
n= 0.
1×ei2π
n×ei2π n2×···×ei2π nn−1=ei2π n0+1+2+···+(n−1) =ei2π n(n−1)n
2=ei(n−1)π= (−1)n−1.
www.emmanuelmorand.net 5/6 SupTSI1112Chap01TD