I. Nombres complexes

Sup Tsi - Travaux Dirigés de mathématiques
I. Nombres complexes
Exercice 1
Dans le plan complexe, déterminer l’ensemble des points d’affixe z vérifiant (2 + i)z + (2 − i)z = 2.
Exercice 2
Dans le plan complexe, déterminer l’ensemble des points d’affixe z vérifiant |1 + i + z| = 2.
Exercice 3
Simplifier |z + 1|2 + |z − 1|2 pour z un nombre complexe de module 1.
Exercice 4
Simplifier
sin(3x) cos(3x)
π
−
pour x 6= k , k ∈ Z.
sin x
cos x
2
Exercice 5
1. Linéariser (cos x)3 puis (sin x)3 en utilisant les relations d’Euler.
π
π
2. Linéariser sin
+ x sin
− x en utilisant les relations d’Euler.
3
3
3. Factoriser cos(3x) + cos(5x) en utilisant les relations d’Euler.
Exercice 6
1. Résoudre dans R l’équation cos x + cos(2x) = 0.
√
2. Résoudre dans R l’équation cos x + 3 sin x = −2.
π
3. Résoudre dans R l’inéquation cos x + cos x +
> 0.
3
Exercice 7
√
√
Déterminer la forme trigonométrique de 1 − i 3, en déduire la forme algébrique de (1 − i 3)5 .
Exercice 8
Résoudre dans C l’équation z 3 = z.
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Exercice 9
Calculer dans C les racines cubiques de −8.
Exercice 10
Résoudre dans C l’équation z 2 − (1 + i)z + 5i = 0.
Exercice 11
Résoudre dans C l’équation z 4 + 8iz 2 − 25 = 0.
Exercice 12
Caractériser les nombres complexes a et b tels que l’inverse de leur somme soit égale à la somme de leurs
inverses. Interpréter géométriquement dans le plan complexe.
Exercice 13
Étant donné z ∈ C, on considère les points d’affixes 1, z et z 2 dans le plan complexe. Déterminer une
Condition Nécessaire et Suffisante sur z pour que ces points soient alignés.
Exercice 14
Dans le plan complexe, on considère les points A et B d’affixes respectives 1 et −i. Montrer qu’un point
M d’affixe z appartient à la droite (AB) si et seulement si (1 + i)z + (1 − i)z = 2.
Exercice 15
Dans le plan complexe, on considère un triangle ABC. Montrer que l’isobarycentre des points A, B et
C est situé au deux-tiers de la médiane issue de A à partir du sommet.
Exercice 16
Dans le plan complexe, déterminer la nature des applications associées aux écritures suivantes :
z 7→ 1 − i + iz.
1
z 7→
(z − z).
2
Exercice 17
Dans le plan complexe, déterminer la nature du triangle formé par les points d’affixe les solutions de
l’équation 2z 3 + 3z + 5 = 0.
Exercice 18
Dans le plan complexe, déterminer le lieu géométrique formé par les points d’affixe z vérifiant |z| = z +z.
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Problème 1 (Entiers de Gauss)
En utilisant le module d’un nombre complexe, démontrer que si deux nombres sont somme de deux
carrés de nombres entiers alors leur produit est encore une somme de deux carrés de nombres entiers.
Exprimer 6885 comme somme de deux carrés de nombres entiers.
Problème 2 (Polynômes de Tchebychev)
1. Exprimer cos 2θ sous la forme d’un polynôme en X = cos θ.
2. Développer (cos θ+i sin θ)3 , en déduire l’expression de cos 3θ sous la forme d’un polynôme en X = cos θ.
3. Exprimer cos 4θ sous la forme d’un polynôme en X = cos θ.
Problème 3 (Somme et produit des racines n-ièmes de l’unité)
Montrer que les racines n-ièmes de l’unité forment une progression géométrique dont on déterminera la
raison, en déduire leur somme ainsi que leur produit.
2π
Problème 4 (Valeur exacte de cos
)
5
En calculant la somme des racines 5-ièmes de l’unité, montrer que cos
2π
déduire la valeur exacte de cos
.
5
2π
5
+ cos
4π
5
1
= − , en
2
Problème 5 (Caractérisation d’un carré)
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct, on considère quatre points A, B, C et D
deux à deux distincts d’affixes respectives a, b, c et d. Montrer que le quadrilatère ABCD est un carré direct
si et seulement si a + c = b + d et a + bi = c + di.
Problème 6 (Caractérisation d’un triangle équilatéral)
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct, on considère trois points A, B et C deux
2iπ
à deux distincts d’affixes respectives a, b et c. On note j = e 3 .
1. Démontrer que le triangle ABC est équilatéral direct si et seulement si a + bj + cj 2 = 0.
2. Démontrer que le triangle ABC est équilatéral si et seulement si a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca.
√
3. En choisissant un repère adapté et en utilisant l’irrationnalité de 3, démontrer qu’il n’existe aucun
triangle équilatéral dont les coordonnées des sommets dans un repère orthonormal direct du plan sont
des entiers.
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Problème 7 (Droite d’Euler d’un triangle)
−
→
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct (O, →
u,−
v ), on considère trois points A, B
et C deux à deux distincts sur le cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1. On note a, b et c les
affixes respectives de points A, B et C. On appelle I, J et K les milieux respectifs des segments [BC], [AC]
et [AB].
1. Faire une figure.
2. Déterminer l’affixe du centre de gravité G du triangle ABC en fonction de a, b et c.
−−
→ −−→
3. On considère le point H d’affixe a + b + c, comparer les angles orientés de vecteurs (AB; CH) et
−−
→ −−→
(AB; OK), en déduire que le point H est l’orthocentre du triangle ABC.
−−→
−−→
4. Démontrer que OH = 3OG.
Problème 8 (Théorème de Napoléon)
B′
Dans le plan complexe, on considère un triangle
ABC quelconque et on construit extérieurement les
triangles équilatéraux A′ BC, AB ′ C et ABC ′ .
C′
−
→
v
G2
G3
On appelle respectivement G1 , G2 et G3 les centres
de gravité de ces triangles.
−
−
On considère le repère orthonormal direct (B, →
u ,→
v)
et on note ρ et θ les coordonnées polaires du point A.
A
B
−
→
u
C
G1
Démontrer que le triangle G1 G2 G3 est équilatéral.
A′
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Réponses
Exercices
1) Droite d’équation réduite y = 2x − 1.
2) Cercle de centre d’affixe −1 − i et de rayon 2.
3) |z + 1|2 + |z − 1|2 = 4 si zz = 1.
sin(3x) cos(3x)
4)
−
= 2.
sin x
cos x
π
π
3 cos x + cos(3x)
3 sin x − sin(3x)
1 + 2 cos 2x
5) (cos x)3 =
et (sin x)3 =
; sin
+ x sin
−x =
;
4
4
3
3
4
i3x
i5x
i4x
ix
−ix
cos(3x) + cos(5x) = 2 cos(x) cos(4x) en remarquant e + e = e (e + e ).
√
π
π
6) cos x + cos 2x = 2(cos x)2 + cos x − 1 d’où x = π[2π] ou x = ± [2π] ; cos x + 3 sin x = 2 cos x −
3
3
2π
π
π √
2π
π
d’où x = − [2π] ; cos x + cos x +
= 3 cos x +
d’où −
+ 2kπ < x < + 2kπ, k ∈ Z.
3
3
6
3
3
√ 5
√
√
−i 2π
7) 1 − i 3 = 2e 3 d’où (1 − i 3) = 16(1 + i 3).
8) 0,i, −1, −i et 1 en utilisant l’écriture trigonométrique.
√
√
9) −2, 1 + i 3 et 1 − i 3.
10) 2 − i et −1 + 2i.
11) −1 + 2i, 1 − 2i, −2 + i et 2 − i.
2π
b
b
12) On montre que est solution de X = (1 + X)2 soit = e±i 3 . Le triangle OAB est équilatéral.
a
a
z2 − 1
= z + 1 ∈ R donc z doit être un nombre réel.
13) z = 1 ou
z−1
z+i
14) Pour z 6= 1, le nombre complexe
est réel donc égal à son conjugué.
z−1
2
→ = z−
→ où I est le milieu du segment [BC].
15) On montre que z−
AG
3 AI
π
16) Rotation de centre le point d’affixe 1 et d’angle ; projection orthogonale sur l’axe des imaginaires
2
purs.
1 + 3i
1 − 3i
17) Les solutions de l’équation sont −1,
et
, le triangle est rectangle isocèle.
2
2
18) On considère les points O(0), M (z) et R(2Re(z)). Le triangle OM R est isocèle en M et O donc
π
équilatéral. Le point M est situé sur une demi-droite partant de l’origine et formant un angle de ±
3
avec l’axe des réels.
Problèmes
1) (a2 + b2 )(c2 + d2 ) = |(a + ib)(c + id)| = (ac − bd)2 + (ad + bc)2 ; 6885 = 632 + 542 = 812 + 182 car
6885 = 92 × 5 × 17 et 9(2 + i)(4 + i) = 63 + 54i et 9(2 − i)(4 + i) = 81 − 18i.
2) T2 (X) = 2X 2 − 1 ; T3 (X) = 4X 3 − 3X et T4 (X) = 8X 4 − 8X 2 + 1.
2π n
2π 2π 2
2π n−1 1 − ei n
2π = 0.
3) Si n > 1, 1 + ei n + ei n
+ · · · + ei n
=
1 − ei n
2π 2π 2
2π n−1 2π 0+1+2+···+(n−1) 2π (n−1)n
2
1 × ei n × ei n
× · · · × ei n
= ei n
= ei n
= ei(n−1)π = (−1)n−1 .
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2π
4π
6π
8π
2π
4π
4) On a 1 + cos
+ cos
+ cos
+ cos
= 0 soit 1 + 2 cos
+ 2 cos
= 0;
5
5
5
5
5
5
√
2π
1
2π
5−1
2
est solution de l’équation 2X + X − = 0 donc cos
=
.
cos
5
2
5
4
5) Les diagonales se coupent en leur milieu équivaut à a + c = b + d, les diagonales sont perpendiculaires
et de même longueur équivaut à a + bi = c + di.
a−c
6) Le triangle ABC est équilatéral direct si et seulement si
= −j ; le triangle ABC est équilatéral
b−c
si et seulement si (a + bj + cj 2 )(a + cj + bj 2 ) = 0 ; on se ramène à un triangle équilatéral direct avec
a = 0 et on montre qu’alors c = −jb ou c = −j 2 b.
−→
−→
→ −−→
a + b + c −−
a+b
7) En utilisant la relation AG = 2GI on obtient zG =
; (AB; CH) = arg
[2π] et
3
b−a
−−
→ −−→
a+b
(AB; OK) = arg
[2π] or O est le point d’intersection des médiatrices du triangle ABC donc
b−a
−−
→ −−→
π
(AB; OK) = ± [2π] ; zH = 3zG .
2
π
π
π
π
π
zG3 − zG1
8) On montre que zA′ = e−i 3 , zB ′ = 1 − e−i 3 + ρei(θ− 3 ) , zC ′ = ρei(θ+ 3 ) d’où
= ei 3 .
zG2 − zG1
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