Chap 02 : Suites et principe de récurrence

Chapitre 2
Suites et principe de récurrence
2.1 Définitions et vocabulaire
Définition 1
Une suite numérique est une fonction de N(ou une partie de N) dans R.
u:N→R
n7→ U(n)
Remarques
•L’image par ude l’entier n,u(n) est aussi notée unqui se lit « uindice n».
•On dit que unest le terme de rang n.
•Le terme suivant unest un+1, le terme précédant unest un−1(avec n≥1).
Définition 2
Dire d’une suite uest qu’elle est croissante (respectivement décroissante) signifie que pour tout entier n
un≤un+1 (respectivement un≥un+1).
Méthodes : Pour étudier le sens de variation d’une suite uon pourra :
•étudier le signe de la différence un+1 −un;
•lorsque pour tout entier n,unest non-nul et de signe constant on peut comparer le rapport un+1
un
à 1 ;
•si pour tout entier non a un=f(n) avec fune fonction définie et monotone sur [0; +∞[ alors la suite uet la fonction
font la même monotonie.
Remarque
Il existe des suites ni croissantes ni décroissantes, par exemple la suite udéfinie pour tout entier npar un= (−1)n.
Le signe de la différence un+1 −unn’est pas constant donc la suite un’est ni croissante ni décroissante.
Définition 3
Dire d’une suite uest qu’elle est majorée (respectivement minorée) signifie qu’il existe un réel M(respectivement m) tel
que pour tout entier n,un≤M(respectivement un≥m).
Dire d’une suite uest qu’elle est bornée signifie qu’elle est minorée et majorée c’est-à-dire il existe un réel met un réel M
tels que pour tout entier n,m≤un≤M.
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CHAPITRE 2. SUITES ET PRINCIPE DE RÉCURRENCE
2.2 Suite arithmétique
a. Définition
Définition 4
•Lorsqu’on obtient chaque terme d’une suite en ajoutant au terme précédent toujours le même réel, appelé raison, la suite
est une suite arithmétique.
•la suite uest une suite arithmétique de raison r, signifie que pour tout entier n, on a un+1 =un+r.
b. Calcul du terme de rang n
Théorème 1
Le terme de rang nd’une suite arithmétique ude premier terme u1et de raison rest un=u1+ (n−1)r.
Si le premier terme est u0alors le terme de rang nest : un=u0+nr.
Si le premier terme est upalors le terme de rang nest : un=up+ (n−p)r.
Exemple : soit la suite arithmétique de premier terme u1= 12 et de raison 3.
Le terme de rang 50 u50 =u1+ (50 −1) ×r= 12 + 49 ×3 = 159.
c. Somme des npremiers termes
Théorème 2
La somme des npremiers termes consécutifs d’une suite arithmétique ude premier terme u1est :
Sn=u1+u2...+un−1+un=n(u1+un)
2.
On généralise la somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique
Somme = nombres de termes ×(premier terme + dernier terme)
2
Variations d’une suite arithmétique
Propriété 1
Soit uune suite arithmétique de raison r.
•r > 0⇐⇒ uest croissante ;
•r < 0⇐⇒ uest décroissante ;
•r= 0 ⇐⇒ uest constante.
2

CHAPITRE 2. SUITES ET PRINCIPE DE RÉCURRENCE
2.3 Suite géométrique
a. Définition
Définition 5
•Lorsqu’on obtient chaque terme d’une suite en multipliant le terme précédent par le même réel, appelé raison, la suite est
une suite géométrique.
•la suite uest une suite géométrique de raison q, signifie que pour tout entier n, on a un+1 =q×un.
b. Calcul du terme de rang n
Théorème 3
Le terme de rang nd’une suite géométrique ude premier terme u1et de raison qest un=qn−1×u1.
Si le premier terme est u0alors le terme de rang nest un=qn×u0.
Si le premier terme est upalors le terme de rang nest un=qn−p×up.
Exemple : soit uune suite géométrique de premier terme u1= 100 et de raison 3.
On a u10 = 39×100 = 1968300
c. Somme des npremiers termes
Théorème 4
La somme des npremiers termes consécutifs d’une suite géométrique ude premier terme u1et de raison q6= 1 est
Sn=u1+u2...+un−1+un=u1
1−qn
1−q.
On généralise la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique
Somme = premier terme ×1−qnbtermes
1−q
2.4 Raisonnement par récurrence
Soit Pnune proposition relative à l’entier net n0un entier.
Axiome 1 ( Principe de récurrence où cinquième axiome de Peano)
Initialisation : si la propostion Pn0est vraie,
Hérédité : et si pour tout k≥n0, la propsition Pkvraie implique que la propsition Pk+1 soit vraie
alors la proposition Pnest vraie pour tout entier n≥n0.
Exemple Démontrer par récurrence que pour tout entier n∈N∗,
n
X
k=1
k2=n(n+ 1)(2n+ 1)
6.
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