Cours - suites arithmétiques et géométriques

Chapitre . . .
LES SUITES : SUITES ARITHMÉTIQUES, SUITES GÉOMÉTRIQUES
I. Suites arithmétiques :
1. Par récurrence :
Définition : formule par récurrence
Une suite (un ) est arithmétique si chaque terme se déduit du précédent en ajoutant un nombre constant r,
appelé raison de  un  .
Ainsi, pour tout entier naturel n, u n1=un r .
Exemples
La suite  u n  des nombres 0, 2, 4, 6, 8, 10, …., est définie par u n1=. . . . . . .
Son premier terme est . . . et sa raison est . . .
La suite  u n  18, 25, 32, 39, 46, …. , est définie par u n1=. . . . . . .
Son premier terme est . . . et sa raison est . . .
Remarques
- Une suite arithmétique est définie par récurrence par la donnée de son premier terme u 0 et de sa raison r.
- La différence entre deux termes consécutifs d'une suite arithmétique est donc constante : u n 1−u n =r .
Cette égalité est utile pour l'application suivante.
Application : Déterminer si les suites suivantes sont arithmétiques.
1. La suite (u n ) définie par u n =5n+7
2. La suite (v n ) définie par v n=n 2+n
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2. Terme général :
Propriété
Soit (u n ) une suite arithmétique de premier terme u 0 et de raison r.
Alors le terme général de cette suite est u n =u 0nr .
Exemple
La suite  u n  définie par u n =5n7 vue plus haut a donc pour premier terme 7 et pour raison 5.
Remarques
_ Cette propriété équivaut à une définition par formule explicite d'une suite arithmétique. Si l'on fait le parallèle
avec les fonctions, ce serait une fonction . . . . . . . . . .
_ Si le premier terme est u 1 , alors u n =. . . . . . . . . . .
Application : Calculer directement un terme.
1. Soit  u n  une suite arithmétique de premier
terme -8 et de raison 3. Calculer u 75
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2. Soit  u n  une suite arithmétique telle que
u 0 =23 et u 26 =75 . Déterminer u 105 .
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Remarque
Pour tous nombres m et p, u m =u p. . . . . . . .
Application
Soit  u n  une suite arithmétique telle que u 8=79 et u 25=147 . Déterminer le terme général u n
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3. Variation et comportement à l'infini :
Propriété
Soit  u n  une suite arithmétique de raison r.
_ Si r > 0, alors la suite u est . . . . . . . . . . . . . . . et sa limite est . . . . .
_ Si r < 0, alors la suite u est . . . . . . . . . . . . . . . et sa limite est . . . . .
4. Somme des entiers de 1 à n :
Théorème
Pour tout entier naturel n, on a : 1 + 2 + 3 + … + n =
On note . . . . .=
Démonstration
n×n1
2
n×n1
2
S= 1 + 2
+ 3 + …. + (n – 1) + n
S = n + (n – 1) + (n – 2) + …. + 2
+1
donc 2S = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ainsi S = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemple
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + . . . + 27 =
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Propriété
Soit m et p deux entiers naturels tels que p > m et u une suite arithmétique.
(u +u )×( p−m+1)
Alors u m +um+1+u m+2+…+u p = m p
2
( premier terme+dernier terme)×(nombre de termes)
Formulée autrement u m +um+1+u m+2+…+u p =
2
Démonstration
Application : Calculer une somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique.
Calculer –24 – 9 + 6 + 21 + 36 + … + 201.
II. Suites géométriques :
1. Par récurrence :
Définition : formule par récurrence
Une suite  un  est géométrique si chaque terme se déduit du précédent en multipliant par un nombre constant
q, appelé raison de la suite  un  . Ainsi, pour tout entier naturel n, u n1=q×u n .
Exemples
La suite  u n  des nombres 2, 6, 18, 54, 162, 486, …., est définie par u n1= . . . . . . .
Son premier terme est . . . et sa raison est . . .
La suite  u n  1, -2, 4, -8, 16, …. , est définie par u n1=. . . . . . .
Son premier terme est . . . et sa raison est . . .
Remarques
_ Une suite géométrique est définie par récurrence par la donnée de son premier terme u 0 et de sa raison q.
u n 1
= q . Cette
_ Le quotient entre deux termes consécutifs d'une suite géométrique est donc constant :
un
égalité permet de retrouver la raison d'une suite géométrique.
2. Terme général :
Propriété
Soit  u n  une suite géométrique de premier terme u 0 et de raison q.
Alors le terme général de cette suite est u n =. . . . . . . . .
Démonstration
Application : Déterminer si les suites suivantes sont géométriques.
2
2. La suite  v n  définie par v n=3 n3n
u
=

u

1. La suite
définie par
n
n
n
3
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Remarques
_ Cette propriété équivaut à une définition par formule explicite d'une suite géométrique.
_ Si le premier terme est u 1 , alors u n =. . . . . . . . . . .
_ Pour tous nombres m et p, u m =. . . . . . . .×u p
Application : Calculer directement un terme.
1. Soit  u n  une suite géométrique de premier
terme 4 et de raison 5. Retrouvez le terme
général de la suite puis calculez u 5 et u 8 .
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2. Soit  u n  une suite géométrique telle que
u 2=108 et u 5=2916 . Retrouvez le terme
général de la suite puis calculez u 8 .
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3. Variation et comportement à l'infini
Théorème
Soit  u n  une suite géométrique de raison q et de premier terme u 0 :
Alors les variations de u sont indiquées par le tableau suivant :
q<0
0<q<1
q>1
u 0 >0
u 0 <0
Démonstration
Théorème : admis
Soit q un nombre réel.
_ Si q < -1 alors qn n'a pas de limite
n
_ Si -1 < q < 1 alors lim q =0
n →+∞
n
_ Si q > 1 alors lim q =+∞
n →+∞
Corollaire
Soit  u n  une suite géométrique de raison q et de premier terme u 0 .
Alors le comportement en l'infini de u est indiqué par le tableau suivant :
q < -1
-1 < q < 1
u 0 >0
u 0 <0
Exemples
q>1
4. Somme des puissances successives
Théorème
Pour tout entier naturel n, on a : 1qq 2q 3...q n =
On note . . . . . =
Démonstration :
1−q n1
1−q
S= 1 +
qS =
q
+
q²
+
q³
1−q n1
1−q
+ …. +
q n −1

qn
donc S – qS = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ainsi S (1 – q) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Donc S =
Exemple :
1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729
Application : Calculer une somme de termes consécutifs d'une suite géométrique.
Calculer 400+0,8×400+0,82×400+…+0,830 ×400
Résolution
2
Méthodes (par étapes)
30
=
On reconnaît le premier terme et la raison de la suite.
Ici, u 0 =
et q =
On factorise par la u 0 .
=
On applique la formule.
400+0,8×400+0,8 ×400+…+0,8 ×400
=