resume integrales

Prof : Mr Khammour.K
Résumé : Intégrales
4ème Math / Sc-exp
Janvier 2016
 Définition :
 f une fonction continue sur [a,b] , F une primitive de f sur [a,b].
b
 f  x dx   F ( x)
b
a
 F (b)  F (a)
a
 f une fonction continue positive sur [a,b] , F une primitive de f sur [a,b].
L’aire en unité d’aire (u a = i j cm² ) de la partie du plan limité par la courbe de f ,
b
l’axe des abscisses et les droites x = a et x = b est :  f  x dx   F ( x ) a  F (b)  F (a ) .
b
a
 Propriétés :
a
 f  x dx  0

a
b
a
 f  x dx   f  x dx

a
b
b
c
b
a
a
c
 f  x dx   f  x dx   f  x dx

 f une fonction continue sur [a,b]
L’aire en unité d’aire de la partie du plan limité par la courbe de f, l’axe des abscisses
b
et les droites x = a et x = b est
 f  x  dx .
a
b
b
b
a
a
a
  f  x    g  x dx    f  x dx    g  x dx .

b
 f une fonction continue positive sur [a,b] alors
 f  x dx  0 .
a
 f , g et h des fonctions continues sur [a,b] :
b
b
b
a
a
a
Si on a : g  x   f  x   h  x  alors  g  x dx   f  x dx   h  x dx .
b
b
a
a
 f  x dx   f  x  dx .

 Soit f et g deux fonctions continues sur [a,b] , L’aire en unité d’aire de la partie du plan
limité par la courbe de f, la courbe de g , l’axe des abscisses et les droites x = a et x = b
b
est
 f  x   g ( x) dx .
a
b
1
 Valeur moyenne de f sur [a,b] est : f 
f  x dx .
b  a a
 Intégration par parties : Soit f et g deux fonctions dérivables sur [a,b], f’ et g’ continues sur [a,b]
b
b
on a :  f  x   g '  x dx  f  x   g  x   a   f '  x   g  x dx
a
b
a
 Volume :
C  M ( x, y) tels que y  f  x  et a  x  b
S : Solide obtenu par la rotation de C autour de l'axe (Ox)
b
V    f 2  x dx .
a
 Fonctions définies par une intégrale :
x
1) F ( x)   f  t dt .
a
 Si f est continue sur I alors F est définie sur I.
 F est la primitive de f sur I qui s’annule en a et on a : F’(x)=f(x) pour tout x de I.
u( x)
2) F ( x) 
 f  t dt  4
ème
Math  .
a
Si f est continue sur I, u est dérivable sur J et u  J   I et a  I alors F est définie , dérivable
sur I et on a : F '( x)  f (u ( x))  u '( x) pour tout x de J.
Exercice d’application :
Exercice n°1 :
x
Soit f une fonction continue sur IR, on pose G( x) 
f(t)
 1  t ²dt , x  IR .
x
f  x  f x
.
1  x²
2) On suppose que f est impaire , montrer que G(x) = 0.
1) Montrer que G est dérivable sur IR et que G '( x) 
x
3) a) On suppose que f est paire , montrer que G( x)  2
f(t)
 1  t ²dt .
0
x
b) En déduire que
3t²+2t+3
dt  6 x .
1 t²
x

Exercice n°2 :
x
Soit F ( x)  
0
1
1 t4
dt
1) Etudier la parité de F.
2) Etudier le sens de variation de F.
x
3) a) Montrer que pour tout 0  x  1,

x
1
dt  
1
dt .
1 t
1 t
0
4) b) En déduire que F est bornée et qu’il existe une fonction G continue sur [-11] qui soit
prolongement de F.
0
4