resume integrales

Prof : Mr Khammour.K Résumé : Intégrales 4ème Math / Sc-exp Janvier 2016
 Définition :
 f une fonction continue sur [a,b] , F une primitive de f sur [a,b].
f ( ) ( ) ( )
bb
a
a
x dx F x F b F a  
 f une fonction continue positive sur [a,b] , F une primitive de f sur [a,b].
L’aire en unité d’aire (u a =
²i j cm
) de la partie du plan limité par la courbe de f ,
l’axe des abscisses et les droites x = a et x = b est :
f ( ) ( ) ( )
bb
a
a
x dx F x F b F a  
.
 Propriétés :
f0
a
a
x dx 
ff
ba
ab
x dx x dx
f f f
b c b
a a c
x dx x dx x dx
 f une fonction continue sur [a,b]
L’aire en unité d’aire de la partie du plan limité par la courbe de f, l’axe des abscisses
et les droites x = a et x = b est
f
b
a
x dx
.
ff
b b b
a a a
x g x dx x dx g x dx
.
 f une fonction continue positive sur [a,b] alors
f0
b
a
x dx 
.
 f , g et h des fonctions continues sur [a,b] :
Si on a :
f alors f
b b b
a a a
g x x h x g x dx x dx h x dx   
.
ff
bb
aa
x dx x dx
.
 Soit f et g deux fonctions continues sur [a,b] , L’aire en unité d’aire de la partie du plan
limité par la courbe de f, la courbe de g , l’axe des abscisses et les droites x = a et x = b
est
f ( )
b
a
x g x dx
.
 Valeur moyenne de f sur [a,b] est :
1
ff
b
a
x dx
ba
.
 Intégration par parties : Soit f et g deux fonctions dérivables sur [a,b], f’ et g’ continues sur [a,b]
on a :
'
f ' f f
bb
b
a
aa
x g x dx x g x x g x dx    

 Volume :
C ( , ) tels que f et a x b
: Solide obtenu par la rotation de C autour de l'axe (Ox)
M x y y x
S
2
f
b
a
V x dx
.
 Fonctions définies par une intégrale :
1)
( ) f
x
a
F x t dt
.
 Si f est continue sur I alors F est définie sur I.
 F est la primitive de f sur I qui s’annule en a et on a : F’(x)=f(x) pour tout x de I.
2)
()
( ) f
ux
a
F x t dt
ème
4 Math
.
Si f est continue sur I, u est dérivable sur J et
et a Iu J I
alors F est définie , dérivable
sur I et on a :
'( ) f( ( )) '( )F x u x u x
pour tout x de J.
Exercice d’application :
Exercice n°1 :
Soit f une fonction continue sur IR, on pose
f(t)
( ) , x IR
1²
x
x
G x dt
t
.
1) Montrer que G est dérivable sur IR et que
ff
'( ) 1²
xx
Gx x
.
2) On suppose que f est impaire , montrer que G(x) = 0.
3) a) On suppose que f est paire , montrer que
0
f(t)
( ) 2 1²
x
G x dt
t
.
b) En déduire que
3t²+2t+3 6
1²
x
x
dt x
t
.
Exercice n°2 :
Soit
4
0
1
( )
1
x
F x dt
t
1) Etudier la parité de F.
2) Etudier le sens de variation de F.
3) a) Montrer que pour tout
4
00
11
0 1, 1
1
xx
x dt dt
t
t
.
4) b) En déduire que F est bornée et qu’il existe une fonction G continue sur [-11] qui soit
prolongement de F.