DM à rendre le lundi 7 mars

DM à rendre le lundi 7 mars
Exercice 1.
Pour chaque réel a, on considère la fonction fadéfinie sur l’ensemble des nombres réels par fa(x)=ex−a−2x+ea.
1. Montrer que pour tour réel a, la fonction fapossède un minimum.
2. Existe-t-il une valeur de apour laquelle ce minimum est le plus petit possible ?
Exercice 2.
Partie A
fest une fonction définie et dérivable sur R.f′est la fonction dérivée de la fonction f.
Dans le plan muni d’un repère orthogonal, on nomme C1la courbe représentative de la fonction fet C2la courbe
représentative de la fonction f′.
Le point A de coordonnées (0 ; 2) appartient à la courbe C1.
Le point B de coordonnées (0 ; 1) appartient à la courbe C2.
1. Dans les trois situations ci-dessous, on a dessiné la courbe représentative C1de la fonction f. Sur l’une d’entre
elles, la courbe C2de la fonction dérivée f′est tracée convenablement. Laquelle ? Expliquer le choix effectué.
Situation 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
−1
−21 2 3 4−1−2−3
C1
C2
O
Situation 2 (C2est une droite)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
−1
−21 2 3 4−1−2−3
C1
C2
O
Situation 3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 2 3−1−2−3
C1
C2
O
2. Déterminer l’équation réduite de la droite ∆tangente à la courbe C1en A.
3. On sait que pour tout réel x,f(x)=e−x+ax +boù aet bsont deux nombres réels.
(a) Déterminer la valeur de ben utilisant les renseignements donnés par l’énoncé.
(b) Prouver que a=2.
4. Étudier les variations de la fonction fsur R.
5. Déterminer la limite de la fonction fen +∞.

Partie B
Soit gla fonction définie sur Rpar g(x)=f(x)−(x+2).
1. (a) Montrer que la fonction gadmet 0 comme minimum sur R.
(b) En déduire la position de la courbe C1par rapport à la droite ∆.
La figure 2 ci-dessous représente le logo d’une entreprise. Pour dessiner ce logo, son créateur s’est servi de la courbe C1
et de la droite ∆, comme l’indique la figure 3 ci-dessous. Afin d’estimer les coûts de peinture, il souhaite déterminer l’aire
de la partie colorée en gris.
C1
∆
−→
ı
−→
O
D E
G
F
Le contour du logo est représenté par le trapèze DEFG où :
- D est le point de coordonnées (−2 ; 0),
- E est le point de coordonnées (2 ; 0),
- F est le point d’abscisse 2 de la courbe C1,
- G est le point d’abscisse −2 de la courbe C2.
La partie du logo colorée en gris correspond à la surface située entre la droite ∆, la courbe C1, la droite d’équation x= −2
et la droite d’équation x=2.
2. Calculer, en unités d’aire, l’aire de la partie du logo colorée en gris (on donnera la valeur exacte puis la valeur
arrondie à 10−2du résultat).

Corrigé du DM
Exercice 1.
1. faest une somme de fonctions dérivables sur Rdonc dérivable sur Ret on a :
∀x∈R,f′
a(x)=ex−a−2
f′
a(x)>0⇐⇒ ex−a−2>0⇐⇒ ex−a>2⇐⇒ x−a>ln2 ⇐⇒ x>a+ln2
f′
a(x) s’annule et change de signe pour x=a+ln2 en étant négatif puis positif donc faadmet un minimum en
a+ln2 égal à
fa(a+ln2) =ea+ln2−a−2(a+ln2)+ea=2−2a−2ln2 +ea.
x−∞ a+ln2 +∞
f′
a(x)−
−
−0+
+
+
fa
fa(a+ln2)
2. En a+ln2, on a fa(a+ln2) =2−2a−2ln2 +ea.
Afin de minimiser ce minimum, on étudie les variations de la fonction ϕdérivable sur Ret définie
par ϕ(a)=2−2a−2ln2+ea.
ϕ′(a)= −2+ea;
• −2+ea>0⇐⇒ ea>2⇐⇒ a>ln2 ;
• −2+ea=0⇐⇒ ea=2⇐⇒ a=ln2 ;
x−∞ ln2 +∞
ϕ′(x)−
−
−0+
+
+
ϕ
4−4ln2
Prendre a=ln2, minimise donc le minimum de faqui est égal à
ϕ(ln2) =2−2ln2−2ln2 +eln2 =4−4ln2.
Exercice 2.
Partie A
fest une fonction définie et dérivable sur Ret f′est la fonction dérivée de la fonction f.
Dans le plan muni d’un repère orthogonal, on nomme C1la courbe représentative de la fonction fet C2la courbe
représentative de la fonction f′; A(0 ; 2) ∈C1et B(0 ; 1) ∈C2.
1. La fonction fest décroissante puis croissante, donc la fonction dérivée doit être négative puis positive, ce qui
élimine la situation 3.
Si la fonction dérivée est représentée par une droite comme dans la situation 2, c’est que la fonction fest une
fonction du second degré ; donc sa représentation graphique possède un axe de symétrie vertical. Ce n’est pas le
cas donc on peut éliminer la situation 2.
La bonne situation est donc la situation 1.
2. La droite ∆tangente à la courbe C1en A d’abscisse 0, a pour équation y=f′(0)(x−0)+f(0).
f(0) est l’ordonnée de A donc f(0) =2 ; f′(0) est l’ordonnée du point B donc f′(0) =1.
L’équation réduite de la tangente est donc : y=x+2.
3. On sait que pour tout réel x,f(x)=e−x+ax +boù aet bsont deux nombres réels.
(a) D’après l’énoncé, A(0;2) ∈C1donc f(0) =2.
f(0) =2⇐⇒ e0+2×0+b=2⇐⇒ 1+b=2⇐⇒ b=1
(b) b=1 donc f(x)=e−x+ax +1 donc
f′(x)= − e−x+a; or f′(0) =1⇐⇒ − e0+a=1⇐⇒ −1+a=1⇐⇒ a=2
Donc f(x)=e−x+2x+1

4. On a vu que f′(x)= − e−x+aet comme a=2, f′(x)= − e−x+2.
f′(x)>0⇐⇒ − e−x+2>0⇐⇒ 2>e−x⇐⇒ ln2 > −x⇐⇒ − ln2 <x
Donc : • la fonction fest strictement décroissante sur ] − ∞ ;−ln2] ;
• la fonction fadmet un minimum pour x= − ln2 ;
• la fonction fest strictement croissante sur [−ln2;+∞[.
5. On sait que lim
x→+∞ e−x=0 et que lim x→+∞ 2x+1= +∞ donc, par somme, lim x→+∞ f(x)= +∞.
Partie B
Soit gla fonction définie sur Rpar g(x)=f(x)−(x+2).
1. (a) g′(x)=f′(x)−1= − e−x+2−1= − e−x+1.
g′(x)>0⇐⇒ − e−x+1>0⇐⇒ 1>e−x⇐⇒ ln1 > −x⇐⇒ x>0
Donc gest strictement décroissante sur R−, et strictement croissante sur R+; la fonction gadmet donc un
minimum en x=0. Ce minimum vaut g(0) =f(0)−(0+2) =2−2=0.
(b) D’après la question précédente, pour tout réel x:g(x)Ê0 donc f(x)−(x+2) Ê0⇐⇒ f(x)Êx+2 ce qui veut
dire que la courbe C1est au-dessus de la droite ∆sur R.
2. On a vu que la courbe C1était au dessus de la droite ∆sur Rdonc aussi sur [−2;2].
De plus, la courbe C1et la droite ∆sont toutes les deux au-dessus de l’axe des abscisses sur l’intervalle [−2 ; 2].
L’aire de la partie grisée est égale à la différence de l’aire sous la courbe C1entre x= −2 et x=2, et l’aire sous la
droite entre x= −2 et x=2.
Autrement dit cette aire est égale à Z2
−2f(x)dx−Z2
−2(x+2)dx=Z2
−2[f(x)−(x+2)]dx=Z2
−2g(x)dx
g(x)=e−x+2x+1−x−2=e−x+x−1 ;
donc ga pour primitive la fonction Gtelle que G(x)= − e−x+x2
2−x.
Z2
−2g(x)dx=G(2)−G(−2) =·−e−x+x2
2−x¸2
−2
=µ−e−2+22
2−2¶−µ−e−(−2) +(−2)2 2−(−2)¶
= − e−2+2−2+e2−2−2=e2−e−2−4
≈3,25 unités d’aire.