DM à rendre le lundi 7 mars

DM à rendre le lundi 7 mars
Exercice 1.
Pour chaque réel a , on considère la fonction f a définie sur l’ensemble des nombres réels par f a (x) = ex−a − 2x + ea .
1. Montrer que pour tour réel a, la fonction f a possède un minimum.
2. Existe-t-il une valeur de a pour laquelle ce minimum est le plus petit possible ?
Exercice 2.
Partie A
f est une fonction définie et dérivable sur R. f ′ est la fonction dérivée de la fonction f .
Dans le plan muni d’un repère orthogonal, on nomme C 1 la courbe représentative de la fonction f et C 2 la courbe
représentative de la fonction f ′ .
Le point A de coordonnées (0 ; 2) appartient à la courbe C 1 .
Le point B de coordonnées (0 ; 1) appartient à la courbe C 2 .
1. Dans les trois situations ci-dessous, on a dessiné la courbe représentative C 1 de la fonction f . Sur l’une d’entre
elles, la courbe C 2 de la fonction dérivée f ′ est tracée convenablement. Laquelle ? Expliquer le choix effectué.
Situation 2 (C 2 est une droite)
Situation 1
C1
−3
−2
9
8
7
6
5
4
3
2
1
−1O
−1
−2
9
8
7
6
5
4
3
2
1
C1
C2
1
2
3
4
−3
−2
−1O
−1
−2
C2
1
2
3
Situation 3
9
C1
8
7
6
C2
5
4
3
2
1
−3
−2
−1
O
1
2
3
2. Déterminer l’équation réduite de la droite ∆ tangente à la courbe C 1 en A.
3. On sait que pour tout réel x, f (x) = e−x + ax + b où a et b sont deux nombres réels.
(a) Déterminer la valeur de b en utilisant les renseignements donnés par l’énoncé.
(b) Prouver que a = 2.
4. Étudier les variations de la fonction f sur R.
5. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.
4
Partie B
Soit g la fonction définie sur R par g (x) = f (x) − (x + 2).
1.
(a) Montrer que la fonction g admet 0 comme minimum sur R.
(b) En déduire la position de la courbe C 1 par rapport à la droite ∆.
La figure 2 ci-dessous représente le logo d’une entreprise. Pour dessiner ce logo, son créateur s’est servi de la courbe C 1
et de la droite ∆, comme l’indique la figure 3 ci-dessous. Afin d’estimer les coûts de peinture, il souhaite déterminer l’aire
de la partie colorée en gris.
F
G
C1
∆
→
−

D
−
O →
ı
E
Le contour du logo est représenté par le trapèze DEFG où :
- D est le point de coordonnées (−2 ; 0),
- E est le point de coordonnées (2 ; 0),
- F est le point d’abscisse 2 de la courbe C 1 ,
- G est le point d’abscisse −2 de la courbe C 2 .
La partie du logo colorée en gris correspond à la surface située entre la droite ∆, la courbe C 1 , la droite d’équation x = −2
et la droite d’équation x = 2.
2. Calculer, en unités d’aire, l’aire de la partie du logo colorée en gris (on donnera la valeur exacte puis la valeur
arrondie à 10−2 du résultat).
Corrigé du DM
Exercice 1.
1. f a est une somme de fonctions dérivables sur R donc dérivable sur R et on a :
∀x ∈ R, f a′ (x) = ex−a − 2
f a′ (x) > 0 ⇐⇒ ex−a − 2 > 0 ⇐⇒ ex−a > 2 ⇐⇒ x − a > ln 2 ⇐⇒ x > a + ln 2
f a′ (x) s’annule et change de signe pour x = a + ln2 en étant négatif puis positif donc f a admet un minimum en
a + ln 2 égal à
f a (a + ln 2) = ea+ln2−a − 2(a + ln 2) + ea = 2 − 2a − 2 ln 2 + ea .
x
a + ln 2
−∞
f a′ (x)
−
0
+∞
+
fa
f a (a + ln 2)
2. En a + ln 2, on a f a (a + ln 2) = 2 − 2a − 2 ln 2 + ea .
Afin de minimiser ce minimum, on étudie les variations de la fonction ϕ dérivable sur R et définie
par ϕ(a) = 2 − 2a − 2 ln 2 + ea .
ϕ′ (a) = −2 + ea ;
• −2 + ea > 0 ⇐⇒ ea > 2 ⇐⇒ a > ln 2 ;
• −2 + ea = 0 ⇐⇒ ea = 2 ⇐⇒ a = ln 2 ;
x
ln 2
−∞
′
ϕ (x)
−
0
+∞
+
ϕ
4 − 4 ln 2
Prendre a = ln 2, minimise donc le minimum de f a qui est égal à
ϕ(ln 2) = 2 − 2 ln 2 − 2 ln 2 + eln 2 = 4 − 4 ln 2.
Exercice 2.
Partie A
f est une fonction définie et dérivable sur R et f ′ est la fonction dérivée de la fonction f .
Dans le plan muni d’un repère orthogonal, on nomme C 1 la courbe représentative de la fonction f et C 2 la courbe
représentative de la fonction f ′ ; A (0 ; 2) ∈ C 1 et B (0 ; 1) ∈ C 2 .
1. La fonction f est décroissante puis croissante, donc la fonction dérivée doit être négative puis positive, ce qui
élimine la situation 3.
Si la fonction dérivée est représentée par une droite comme dans la situation 2, c’est que la fonction f est une
fonction du second degré ; donc sa représentation graphique possède un axe de symétrie vertical. Ce n’est pas le
cas donc on peut éliminer la situation 2.
La bonne situation est donc la situation 1.
2. La droite ∆ tangente à la courbe C 1 en A d’abscisse 0, a pour équation y = f ′ (0)(x − 0) + f (0).
f (0) est l’ordonnée de A donc f (0) = 2 ; f ′ (0) est l’ordonnée du point B donc f ′ (0) = 1.
L’équation réduite de la tangente est donc : y = x + 2.
3. On sait que pour tout réel x, f (x) = e−x + ax + b où a et b sont deux nombres réels.
(a) D’après l’énoncé, A(0; 2) ∈ C 1 donc f (0) = 2.
f (0) = 2 ⇐⇒ e0 + 2 × 0 + b = 2 ⇐⇒ 1 + b = 2 ⇐⇒ b = 1
(b) b = 1 donc f (x) = e−x + ax + 1 donc
f ′ (x) = − e−x + a ; or f ′ (0) = 1 ⇐⇒ − e0 + a = 1 ⇐⇒ −1 + a = 1 ⇐⇒ a = 2
Donc f (x) = e−x + 2x + 1
4. On a vu que f ′ (x) = − e−x + a et comme a = 2, f ′ (x) = − e−x + 2.
f ′ (x) > 0 ⇐⇒ − e−x + 2 > 0 ⇐⇒ 2 > e−x ⇐⇒ ln 2 > −x ⇐⇒ − ln 2 < x
Donc :
• la fonction f est strictement décroissante sur ] − ∞ ; − ln 2] ;
• la fonction f admet un minimum pour x = − ln 2 ;
• la fonction f est strictement croissante sur [− ln 2 ; +∞[.
5. On sait que lim e−x = 0 et que lim 2x + 1 = +∞ donc, par somme, lim f (x) = +∞.
x→+∞
x→+∞
x→+∞
Partie B
Soit g la fonction définie sur R par g (x) = f (x) − (x + 2).
1.
(a) g ′ (x) = f ′ (x) − 1 = − e−x + 2 − 1 = − e−x + 1.
g ′ (x) > 0 ⇐⇒ − e−x + 1 > 0 ⇐⇒ 1 > e−x ⇐⇒ ln 1 > −x ⇐⇒ x > 0
Donc g est strictement décroissante sur R− , et strictement croissante sur R+ ; la fonction g admet donc un
minimum en x = 0. Ce minimum vaut g (0) = f (0) − (0 + 2) = 2 − 2 = 0.
(b) D’après la question précédente, pour tout réel x : g (x) Ê 0 donc f (x)−(x +2) Ê 0 ⇐⇒ f (x) Ê x +2 ce qui veut
dire que la courbe C 1 est au-dessus de la droite ∆ sur R.
2. On a vu que la courbe C 1 était au dessus de la droite ∆ sur R donc aussi sur [−2 ; 2].
De plus, la courbe C 1 et la droite ∆ sont toutes les deux au-dessus de l’axe des abscisses sur l’intervalle [−2 ; 2].
L’aire de la partie grisée est égale à la différence de l’aire sous la courbe C 1 entre x = −2 et x = 2, et l’aire sous la
droite entre x = −2 et x = 2.
Z2
Z2
Z2
Z2
Autrement dit cette aire est égale à
f (x)dx −
(x + 2)dx =
[ f (x) − (x + 2)]dx =
g (x)dx
−2
−2
−2
−2
g (x) = e−x + 2x + 1 − x − 2 = e−x + x − 1 ;
x2
− x.
donc g a pour primitive la fonction G telle que G(x) = − e−x +
2
·
¸2
µ
¶ µ
¶
Z2
x2
22
(−2)2
g (x) dx = G(2) −G(−2) = − e−x +
−x
= − e−2 + − 2 − − e−(−2) +
− (−2)
2
2
2
−2
−2
−2
2
2
−2
= −e +2−2+ e −2−2 = e − e −4
≈ 3, 25 unités d’aire.