Révision d’algèbre et d’analyse Chapitre 3 : L’intégrale simple Équipe de Mathématiques Appliquées UTC Février 2015 5 suivant Ï Chapitre 3 L’intégrale simple 3.1 3.2 Définition de l’intégrale simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calcul d’intégrales et théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 13 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 2 chapitre N section suivante Ï 3.1 Définition de l’intégrale simple 3.1.1 3.1.2 3.1.3 Primitives et intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Construction de l’intégrale simple . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Exemple de construction de l’intégrale simple . . . . . . . . . . 10 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 3 section N suivant Ï 3.1.1 Primitives et intégrales Exercices : Exercice A.1.1 Exercice A.1.2 Exercice A.1.3 On considère f : I ⊂ IR → IR une fonction continue définie sur l’intervalle I , alors on peut définir les primitives de f Définition 3.1.1. Une primitive F (.) de f est une fonction définie sur I dérivable telle que F 0 (x) = f (x). (3.1.1) Si F est une primitive de f , alors toutes les primitives de f sont de la forme F (x) +C où C ∈ IR est une constante quelconque. La définition suivante est une autre manière de noter une primitive quelconque de f . Définition 3.1.2. On appelle intégrale indéfinie et on note Z f (x)d x une primitive quelconque de f . 4 ÏÏ Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents section N suivant Ï La définition suivante est la base de l’intégrale simple. Définition 3.1.3. Soient a et b deux réels et F une primitive de f . On appelle intégrale définie et on note Primitives et intégrales b Z f (t ) d t l’expression définie par a Z b a f (t ) d t = F (b) − F (a) (3.1.2) où F est une primitive de f . Remarquons que Z b f (t ) d t ne dépend pas de la variable "muette" t mais dépend des Z x valeurs de a et b . Ainsi, f (t ) d t est une fonction de x et vous montrerez en exercice a a que c’est la primitive de f qui s’annule en x = a . Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents ÎÎ 5 Î précédent section N suivant Ï 3.1.2 Construction de l’intégrale simple Exercices : Exercice A.1.4 y x a=x 1 xi+1 i b=x N+1 x h ξ i F IGURE 3.1.1: Découpage de l’intervalle [a, b] Sommaire Concepts Soit f : [a, b] → IR une fonction continue. Etant donné l’entier non nul N , on note h= Exemples Exercices Documents b−a , x i = a + (i − 1)h, 1 ≤ i ≤ N + 1, N 6 ÏÏ Î précédent section N suivant Ï on a bien sûr x 1 = a, x N +1 = b . On introduit un découpage de l’intervalle [a, b] en N intervalles de longueur h : [x i , x i +1 ], 1 ≤ i ≤ N . . Dans chaque intervalle [x i , x i +1 ], on choisit un point arbitraire ξi (qui peut être le milieu de l’intervalle comme sur la figure par exemple) et on définit l’expression : N X IN = h Construction de l’intégrale simple (3.1.3) f (ξi ) i =1 I N est égale à la somme des aires de N rectangles, comme on peut le voir sur les figures 3.1.1 et 3.1.2. Alors, la théorie de la construction de l’intégrale permet de montrer que, y a=x 1 b=x N+1 x Sommaire Concepts F IGURE 3.1.2: Représentation de I N quel que soit le choix des points ξi , la limite de I N , quand N → ∞ existe et ne dépend du choix des ξi . On a de plus : Z lim I N = f (t ) d t , N →∞ ÎÎ b (3.1.4) a 7 ÏÏ Exemples Exercices Documents Î précédent section N suivant Ï l’intégrale correspondant à la définition donnée par 3.1.2. L’expression 3.1.4 montre bien que, pour une fonction positive, l’intégrale correspond à l’aire de la surface comprise entre les droites x = a , x = b , y = 0 et la courbe y = f (x). Si la fonction est de signe quelconque l’intégrale correspond à une aire algébrique, comme l’illustre la figure 3.1.3. Construction de l’intégrale simple y + b a − 0 x F IGURE 3.1.3: Aire algébrique Sommaire Concepts Une conséquence immédiate est que l’intégrale sur [−a, a] d’une fonction impaire est nulle. En effet dans ce cas la courbe représentative est symétrique par rapport à l’origine, donc l’aire positive est compensée par une aire négative. Exemples Exercices Documents ÎÎ 8 ÏÏ Î précédent section N suivant Ï De même si f est paire l’intégrale sur [−a, a] est égale au double de l’intégrale sur [0, a], en effet dans ce cas la courbe est symétrique par rapport à l’axe O y . Proposition 3.1.1. – Si f est une fonction impaire, Z a −a – Si f est une fonction paire, Z f (t )d t = 0 a −a Construction de l’intégrale simple a Z f (t )d t = 2 f (t )d t 0 Traiter l’exercice de TD A.2.1. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents ÎÎ 9 Î précédent section N 3.1.3 Exemple de construction de l’intégrale simple Cours : Intégrale - construction Pour comprendre la construction de l’intégrale nous allons calculer le travail d’un ressort. Soit donc un ressort dont on notera r la raideur, l 0 la longueur au repos, et x = l − l 0 l’élongation, alors la force exercée sur le ressort est de la forme ~ R(x) = r x~ u (~ u : vecteur unitaire de l’axe Ox). Sommaire Concepts a b Exemples Exercices Documents F IGURE 3.1.4: Elongation d’un ressort 10 ÏÏ Î précédent section N Donc si l’élongation varie de x à x +h , donc si on déplace l’extrémité du ressort de h~ u le travail élémentaire δW correspondant est approximativement égal à ~ · h~ δW = R(x) u = r xh = h f (x), Exemple de construction de l’intégrale simple où l’on a défini : f (x) = r x. Ce travail élémentaire correspond à l’aire du rectangle représenté sur la figure 3.1.5. y (force) y=rx rx aire=δW x(élongation) 0 x x+h F IGURE 3.1.5: Représentation du travail élémentaire Sommaire Concepts Le travail total pour déplacer l’extrémité du ressort du point d’abscisse a au point b vaut W = lim N X h→0 i =1 ÎÎ 11 Exemples Exercices Documents δWi , ÏÏ Î précédent section N b−a et δWi est le travail élémentaire pour déplacer l’extrémité du ressort du N point d’abscisse a + (i − 1)h au point d’abscisse a + i h . On a donc où h = W = lim N X h→0 i =1 δWi = lim N X h→0 i =1 Exemple de construction de l’intégrale simple h f (a + (i − 1)h). Donc en utilisant le résultat précédent Z W = lim I N = N →+∞ b a 1 f (t )d t = F (b) − F (a) = r (b 2 − a 2 ), 2 1 2 puisqu’ici une primitive F de f est F (x) = r x 2 . Vous allez montrer dans l’exercice A.2.2, que dans le cas particulier de la fonction f (x) = r x , on a bien lim I N = F (b) − F (a). N →+∞ Traiter l’exercice de TD A.2.3. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents ÎÎ 12 Î section précédente chapitre N 3.2 Calcul d’intégrales et théorèmes 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 3.2.6 3.2.7 3.2.8 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Principe de l’intégration des fractions rationnelles . . . . . . . Décomposition en éléments simples des fractions rationnelles Calcul des primitives des fractions rationnelles . . . . . . . . . Calcul des intégrales de fonctions périodiques . . . . . . . . . . Primitives de fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . Théorèmes de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 16 18 21 24 26 28 31 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 13 section N suivant Ï 3.2.1 Changement de variable Exercices : Exercice A.1.5 Si le calcul d’une primitive peut s’écrire sous la forme Z f (ψ(x))ψ0 (x)d x où ψ est une fonction continument dérivable, alors on a Z f (ψ(x))ψ0 (x)d x = F (ψ(x)) +C où F est une primitive de f , puisque les deux membres ont même dérivée. De manière pratique, on pose Z t = ψ(x), d t = ψ0 (x)d x, f (t )d t = F (t ) +C , Sommaire Concepts ce qui permet d’obtenir le résultat en remplaçant t par ψ(x). S’il s’agit d’une intégrale définie, on a Z b a Exemples Exercices Documents f (ψ(x))ψ0 (x)d x = F (ψ(b)) − F (ψ(a)) 14 ÏÏ section N ce qui se récrit Z b a ψ(b) Z 0 f (ψ(x))ψ (x)d x = suivant Ï ψ(a) f (t )d t . Changement de variable Pratiquement, cela revient à poser t = ψ(x) et à remplacer les bornes et la variable d’intégration par ce changement de variable, soit a → ψ(a), b → ψ(b), d t = ψ0 (x)d x. Par exemple, soit à calculer la primitive suivante : ψ0 (x) d x, ψ(x) Z alors on pose t = ψ(x), d t = ψ0 (x)d x , ce qui donne Z ψ0 (x) dx = ψ(x) µZ 1 dt t ¶ t =ψ(x) = (ln |t | +C )t =ψ(x) = ln |ψ(x)| +C . Cette notation t = ψ(x), un peu lourde, est en générale omise dans les calculs mais, alors, il faut se souvenir des changements de variables effectués pour obtenir, au final, une expression en la variable x de départ. Par contre, il ne sera pas nécessaire de se souvenir de ces changements dans le calcul de l’intégrale définie, comme le montre les égalités suivantes. Z b a on obtient Z b a ψ0 (x) dx = ψ(x) Z ψ(b) ψ(a) ψ0 (x) d x, ψ(x) 1 ψ(b) d t = [ln |t |]ψ(a) = ln |ψ(b)| − ln |ψ(a)|. t Traiter l’exercice de TD A.2.4. ÎÎ 15 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents Î précédent section N suivant Ï 3.2.2 Intégration par parties Exercices : Exercice A.1.6 Soient u et v deux fonctions dérivables de x , on a (uv)0 (x) = u 0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x) ou u(x)v 0 (x) = (uv)0 (x) − u 0 (x)v(x) soit en prenant la primitive Z Z 0 u(x)v (x)d x = u(x)v(x) − u 0 (x)v(x)d x +C ou en intégrant de a à b Z b 0 u(x)v (x)d x a soit Z b = [u(x)v(x)]ba − Z b u 0 (x)v(x)d x, a Z 0 b u(x)v (x)d x = u(b)v(b) − u(a)v(a) − u 0 (x)v(x)d x. a a R Par exemple, soit à calculer x cos x d x , on pose u(x) = x , v 0 (x) = cos x (et non pas v 0 (x) = x , u(x) = cos x car c’est u que l’on dérive et v 0 que l’on intègre), on obtient Z Z x cos x d x = x sin x − sin x d x +C = x sin x + cos x +C . 16 ÏÏ Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents Î précédent Si on calcule l’intégrale définie Z π π/2 Z section N suivant Ï π π/2 x cos x d x , on obtient x cos x d x = [x sin x]ππ/2 − Z π π/2 sin x d x = − Intégration par parties π π + [cos x]ππ/2 = − − 1. 2 2 Traiter les exercices de TD A.2.5 et A.2.6. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents ÎÎ 17 Î précédent section N suivant Ï 3.2.3 Principe de l’intégration des fractions rationnelles Exercices : Exercice A.1.7 Exercice A.1.8 Exemples : Exemple B.1.1 Une fraction rationnelle est le quotient de 2 polynômes p et q . On veut calculer les Z primitives p(x) d x. q(x) Si le degré du numérateur p est supérieur ou égal au degré du dénominateur q , la fraction rationnelle peut s’écrire : p(x) r (x) = E (x) + q(x) q(x) où E (x) est un polynôme (partie entière de la fraction rationnelle) et (3.2.1) r (x) est une q(x) fraction rationnelle dont le degré du numérateur r est strictement inférieur à celui du dénominateur q . On obtient la forme (3.2.1) par division euclidienne (voir l’exemple référencé et faire ensuite le premier exercice). Les primitives du polynôme E s’obtiennent facilement, il reste donc à chercher les primitives de la fraction rationnelle r (x) . Pour ce faire, on décompose cette fraction q(x) rationnelle en éléments simples. 18 ÏÏ Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents Î précédent section N suivant Ï Un élément simple est une fraction rationnelle de la forme Principe de l’intégration des fractions rationnelles A , où n est un entier non nul, A, a sont des constantes réelles, (x − a)n ou B x +C , où m est un entier non nul, B,C , b, c sont des constantes réelles telles que b 2 −4c < 0. (x 2 + bx + c)m On remarque que, dans ce cas, le polynôme x 2 + bx + c n’admet pas de racines réelles. La décomposition en élément simples repose sur la factorisation du polynôme q(x). On peut démontrer que le polynôme q peut toujours s’écrire comme un produit de polynômes de la forme (x − a)n , ou (x 2 + bx + c)m , où n et m sont des entiers non nuls, a, b, c sont des constantes réelles telles que b 2 −4c < 0. Les réels a correspondent aux racines réelles du polynôme q , l’entier n correspond à leur multiplicité. Les réels b et c proviennent de la propriété suivante. Si q a une racine α complexe non réelle, alors ᾱ est aussi racine et le trinôme (x − α)(x − ᾱ) = x 2 − (α + ᾱ)x + αᾱ = x 2 + bx + c est à coefficients réels mais il n’admet pas de racines réelles, on dit qu’il est irréductible. Exemples Exercices Documents Par exemple, si r est un polynôme de degré strictement inférieur à 10 et si q(x) = (x − 1)(x − 2)3 (x 2 + x + 1)(x 2 + 3x + 4)2 . ÎÎ 19 Sommaire Concepts ÏÏ Î précédent section N suivant Ï Dans ce cas 1 est racine simple, 2 est racine triple de q , les polynômes (x 2 + x + 1), (x 2 + 3x + 4), n’admettent pas de racines réelles, donc il n’existe pas d’autres racines réelles de q . Dans le cas particulier de cet exemple, on peut montrer qu’il existe des réels Principe de l’intégration des fractions rationnelles A 1 , A 2 , A 02 , A 002 , B 1 , B 2 , B 20 ,C 1 ,C 2 ,C 20 tels que A 002 A 02 r (x) A1 A2 + = + + q(x) x − 1 x − 2 (x − 2)2 (x − 2)3 . B 0 x +C 20 B 1 x +C 1 B 2 x +C 2 + 2 + 2 + 22 x + x + 1 x + 3x + 4 (x + 3x + 4)2 Les paragraphes suivants donneront des méthodes pour calculer tous ces coefficients. Traiter l’exercice de TD A.2.7. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents ÎÎ 20 Î précédent section N suivant Ï 3.2.4 Décomposition en éléments simples des fractions rationnelles Cours : Intégration des fractions rationnelles - principe Etudions plus précisément la décomposition en éléments simples d’une fraction rationnelle dont le degré du numérateur est strictement inférieur au degré du dénominateur, en examinant quelques cas : – Facteurs du premier degré non répétés Par exemple si q(x) = (x−a1 )(x−a2 )(x−a3 )(x− a 4 ) où les a i sont tous distincts, si degré de r est strictement inférieur à 4 , alors il existe des réels A 1 ,..., A 4 tels que A1 A4 r (x) = +...+ . (x − a 1 ) . . . (x − a 4 ) x − a 1 x − a4 (3.2.2) Une manière simple de calculer A i est de multiplier les deux membres de 3.2.2 par (x − ai ), ce qui donne (par exemple pour A 1 ) : Sommaire Concepts r (x) A 2 (x − a 1 ) A 4 (x − a 1 ) = A1 + +...+ , (x − a 2 ) . . . (x − a 4 ) x − a2 x − a4 r (a 1 ) puis de choisir x = a1 , ce qui donne = A 1 . (Faire l’exercice A.2.8.) (a 1 − a 2 ) . . . (a 1 − a 4 ) 21 ÏÏ Exemples Exercices Documents Î précédent section N suivant Ï – Facteurs du premier degré répétés Par exemple si q(x) = (x − a)3 , si degré de r est strictement inférieur à 3, alors la fraction se décompose en : r (x) B B 00 B0 = + . + (x − a)3 x − a (x − a)2 (x − a)3 Décomposition en éléments simples des fractions rationnelles Le terme B 00 peut se calculer comme A 1 dans la décomposition précédente en multipliant par (x − a)3 . Pour les autres termes, on peut réduire le terme de droite au même dénominateur et identifier les numérateurs des deux fractions ainsi obtenues. (Faire l’exercice A.2.9.) – Facteurs du second degré irréductibles non répétés Par exemple si q(x) = (x 2 + b1 x + c 1 )(x 2 + b2 x + c 2 ) où les 2 trinômes sont distincts et irréductibles, si degré de r est strictement inférieur à 4 , alors il existe des réels B 1 , B 2 ,C 1 ,C 2 tels que r (x) B 1 x +C 1 B 2 x +C 2 = + (x 2 + b 1 x + c 1 )(x 2 + b 2 x + c 2 ) x 2 + b 1 x + c 1 x 2 + b 2 x + c 2 (3.2.3) La manière la plus robuste (pas toujours la plus efficace) pour calculer les coefficients est la méthode d’identification. (Faire l’exercice A.2.10.) – Facteurs du second degré irréductibles répétés Par exemple si q(x) = (x 2 + bx + c)3 , si degré de r est strictement inférieur à 6, alors la fraction se décompose en : r (x) B x +C B 0 x +C 0 B 00 x +C 00 = + + . (x 2 + bx + c)3 x 2 + bx + c (x 2 + bx + c)2 (x 2 + bx + c)3 La manière la plus robuste pour calculer les coefficients est la méthode d’identification. (Faire l’exercice A.2.11.) ÎÎ 22 ÏÏ Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents Î précédent section N suivant Ï Il est clair que si la décomposition du dénominateur q comporte à la fois des facteurs du premier degré et des facteurs du deuxième degré, on ajoute les décompositions en éléments simples correspondantes (faire l’exercice A.2.12). Décomposition en éléments simples des fractions rationnelles Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents ÎÎ 23 Î précédent section N suivant Ï 3.2.5 Calcul des primitives des fractions rationnelles Exercices : Exercice A.1.9 La décomposition en éléments simples d’une fraction rationnelle fait apparaitre des termes dont on sait calculer les primitives : A sont : A ln |x − a| +C , x −a A A 1 – les primitives de (n > 1) sont : − +C , n (x − a) n − 1 (x − a)n−1 B x +C où b 2 − 4c < 0, on récrit la fraction sous – pour calculer les primitives de 2 x + bx + c – les primitives de la forme B 2x + b D × 2 + 2 2 x + bx + c x + bx + c Le calcul de D se fait aisément par identification. La fraction rationnelle ln |φ(x)| +C . 2x + b x 2 + bx + c Pour la fraction rationnelle 1 est de la forme φ0 (x) , ses primitives sont donc φ(x) D , on se ramène, grace à un changement de x 2 + bx + c variable, à la fraction 2 . On sait que les primitives de cette fraction sont t +1 arctan t +C . 24 ÏÏ Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents Î précédent Par exemple, on veut calculer section N 1 Z x2 + x + 1 suivant Ï d x , on vérifie que le trinôme n’a pas de racines réelles car son discriminant est strictement négatif. On peut écrire µ 1 x +x +1 = x + 2 2 Si on pose ¶2 µ µ ¶ ¶ µµ ¶ ¶ 3 3 4 1 2 3 2x + 1 2 + = x+ +1 = +1 . p 4 4 3 2 4 3 Calcul des primitives des fractions rationnelles p 3 2x + 1 2 dt. t = p , on a d t = p d x, d x = 2 3 3 On a donc Z p Z µ ¶ 1 2x + 1 4 3 2 2 1 +C . dx = × d t = p arctan t +C = p arctan p x2 + x + 1 3 2 t2 +1 3 3 3 – le calcul général des primitives de B x +C (x 2 + bx + c)n sort du cadre des rappels, mais sera traité en devoir lorsque b = 0. En résumé, pour intégrer une fraction rationnelle, il faut 1. vérifier si l’on est dans le cas p 0 (x) , dans ce cas les primitives s’obtiennent im(p(x))n médiatement, 2. sinon se ramener à la situation "degré du numérateur < degré du dénominateur" en déterminant la partie entière, 3. mettre la fraction rationnelle sous forme d’éléments simples, 4. calculer les coefficients (par identification, par exemple), 5. intégrer les éléments simples. Traiter l’exercice de TD A.2.13. ÎÎ 25 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents Î précédent section N suivant Ï 3.2.6 Calcul des intégrales de fonctions périodiques Exercices : Exercice A.1.10 Tout d’abord pour tout nombre réel a on a : 2π Z 0 a+2π Z cos x d x = a 2π Z cos x d x = 0 a+2π Z sin x d x = sin x d x = 0. a Plus généralement, pour tout entier non nul n , les fonctions sin nx et cos nx sont de période T = 2π et leur intégrale sur un intervalle de longueur nT est nulle : n Z 2π Z a+2π Z 2π Z a+2π cos nx d x = cos nx d x = sin nx d x = sin nx d x = 0. a 0 0 a De façon plus générale encore, si n est un entier non nul, si ω est un réel non nul, alors, les fonctions cos (ωx) et sin (ωx) sont périodiques de période T = cos (nωx) et sin (nωx) sont de période T . n 2π . Les fonctions ω On a alors : a+T Z a a+T Z cos (ωx) d x = a a+T Z sin (ωx) d x = a 26 cos (nωx) d x = Exemples Exercices Documents a+T Z a Sommaire Concepts sin (nωx) d x = 0. ÏÏ Î précédent section N suivant Ï Il suffit de faire les calculs pour s’en convaincre. Une interprétation géométrique permet de comprendre, immédiatement, les résultats précédents. Quand on trace la courbe représentative d’une fonction sinus ou cosinus de période T , l’intégrale sur un intervalle de longueur nT est représentée par une aire pour laquelle on "voit" que les aires positives sont compensées par les aires négatives. Calcul des intégrales de fonctions périodiques On pourra utiliser ces résultats par la suite sans les redémontrer, cela simplifie bien des calculs ! Plus généralement, si f est une fonction périodique de période T , alors a+T Z f (x) d x a ne dépend pas de a Là encore on peut "voir" facilement ce résultat graphiquement. Tracer la courbe représentative d’une fonction de période T . Représenter l’aire qui correspond par exemple à l’intégrale de 0 à T , puis pour un réel quelconque a représenter l’aire qui correspond à l’intégrale de a à a + T . On constate que ces aires sont égales (mais bien sûr elles ne sont pas forcément nulles ). On peut démontrer ce résultat rigoureusement. Si on note g (a) = de f . a+T Z a f (x) d x , on sait que g (a) = F (a +T )−F (a) où F est une primitive Sommaire Concepts On a donc g 0 (a) = f (a + T ) − f (a) = 0, donc g (a) est une constante, g ne dépend pas de Exemples Exercices Documents a. ÎÎ 27 Î précédent section N suivant Ï 3.2.7 Primitives de fonctions trigonométriques Exercices : Exercice A.1.11 Exercice A.1.12 Les primitives de la forme Z cosn x sinm x d x où n et m sont des entiers (n = 0, 1, 2, . . ., m = 0, 1, 2 . . .) interviendront souvent dans les intégrales doubles ou triples lorsque l’on fera des changements de variables en coordonnées polaires ou sphériques. Le principe est le suivant : – si n ou m est impair, par exemple Z n 2p+1 cos x sin Z x dx = n 2p cos x sin Z x sin xd x = n 2 cos x (1−cos x) p Z sin xd x = − t n (1−t 2 )p d t On a effectué le changement de variable t = cos x , et on se ramème au calcul simple de la primitive d’un polynôme en t . – si n et m sont pairs, on linéarise en utilisant les formules trigonométriques des "angles" doubles. 28 ÏÏ Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents Î précédent section N suivant Ï Exemple 1 : Z Z cos3 x d x = = (1 − sin2 x) cos x d x = Z Primitives de fonctions trigonométriques (1 − t 2 ) d t (où t = sin x) 1 1 t − t 3 +C = sin x − sin3 x +C . 3 3 Exemple 2 : Z 1 + cos 2x 1 1 d x = x + sin 2x +C 2 2 4 Z 2 cos x d x = D’autres primitives comme, par exemple, Z 1 d x, sin x Z 1 dx cos x se calculent en se ramenant à des fractions rationnelles. Ce calcul repose sur le changement de variables x 2t 1− t2 2t t = tan , ce qui donne sin x = , cos x = , tan x = . 2 1+ t2 1+ t2 1− t2 Posons φ(x) = tan x2 , alors φ0 (x) = Sommaire Concepts 1³ x´ 2 1 + tan2 , donc d t = φ0 (x)d x donne d x = dt. 2 2 1+ t2 Exemples Exercices Documents Par exemple Z ÎÎ 1 dx = sin x Z 2 1+t 2 x d t = l n|t | +C , avec t = tan 2 2t 1 + t 2 29 ÏÏ Î précédent donc Z section N ¯ 1 x ¯¯ ¯ d x = l n ¯tan ¯ +C . sin x 2 Traiter l’exercice de TD A.2.14. suivant Ï Primitives de fonctions trigonométriques Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents ÎÎ 30 Î précédent section N 3.2.8 Théorèmes de la moyenne Exercices : Exercice A.1.13 Documents : Document C.1.1 Définition 3.2.1. La valeur moyenne d’une fonction f sur un intervalle [a, b] est définie par 1 b−a Z b f (x)d x. a Théorème 3.2.1. - Premier théorème de la moyenne Soit f une fonction continue sur [a, b], alors il existe c ∈]a, b[ tel que f (c) = 1 b−a Z b f (x)d x. a Vous verrez en exercice que ce théorème se démontre aisément en utilisant le théorème des accroissements finis. Théorème 3.2.2. - Deuxième théorème de la moyenne Soient f et g deux fonctions continues sur [a, b] telles que f garde un signe constant dans [a, b], alors il existe c ∈ [a, b] tel que Z b a Z f (x)g (x)d x = g (c) 31 b f (x)d x. a ÏÏ Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents Î précédent section N La démonstration est donnée dans le document référencé. Théorèmes de la moyenne Traiter l’exercice de TD A.2.15. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents ÎÎ 32 Î précédent suivant Ï Annexe A Exercices A.1 A.2 Exercices du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices de TD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 48 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 33 chapitre N section suivante Ï A.1 Exercices du chapitre 3 A.1.1 A.1.2 A.1.3 A.1.4 A.1.5 A.1.6 A.1.7 A.1.8 A.1.9 A.1.10 A.1.11 A.1.12 A.1.13 Ch3-Exercice1 . Ch3-Exercice2 . Ch3-Exercice3 . Ch3-Exercice4 . Ch3-Exercice5 . Ch3-Exercice6 . Ch3-Exercice7 . Ch3-Exercice8 . Ch3-Exercice9 . Ch3-Exercice10 Ch3-Exercice11 Ch3-Exercice12 Ch3-Exercice13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 34 section N suivant Ï Exercice A.1.1 Ch3-Exercice1 Calculer Z b x d x. a retour au cours Solution Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 35 Î précédent section N suivant Ï Exercice A.1.2 Ch3-Exercice2 Montrer que la valeur de l’intégrale définie Z b f (x) d x ne dépend pas de la primitive a de f considérée. retour au cours Solution Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 36 Î précédent section N suivant Ï Exercice A.1.3 Ch3-Exercice3 Calculer F (x) = x Z a d t d t . Que vaut F (x) ? Plus généralement, que vaut dx 2 0 x µZ ¶ f (t )d t ? a retour au cours Solution Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 37 Î précédent section N suivant Ï Exercice A.1.4 Ch3-Exercice4 IN Soit la fonction f (x) = 1 sur [a, b] dont on veut calculer l’intégrale sur [a, b]. Calculer et sa limite et comparer avec le calcul par les primitives. retour au cours Solution Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 38 Î précédent section N suivant Ï Exercice A.1.5 Ch3-Exercice5 Calculer les primitives suivantes : 1. 2. 3. 4. Z ¡ ¢ f 0 (x) f n (x) d x , où n est un entier relatif. Z (ax + b)n d x où n est un entier relatif, a est un réel non nul. Z x(ax 2 + b)n d x où n est un entier relatif, a est un réel non nul. Z x p ax 2 + b d x où a est un réel strictement positif. retour au cours Solution Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 39 Î précédent section N suivant Ï Exercice A.1.6 Ch3-Exercice6 Calculer les intégrales définies ou les primitives suivantes : 1. Z x sin x d x , π/2 Z x sin x d x 0 2. Z xe x d x , 1 Z xe x d x . 0 retour au cours Solution Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 40 Î précédent section N suivant Ï Exercice A.1.7 Ch3-Exercice7 Effectuer la division euclidienne pour démontrer que x4 − 3 4x + 6 = x 2 − 2x + 3 − 2 . 2 x + 2x + 1 x + 2x + 1 retour au cours Solution Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 41 Î précédent section N suivant Ï Exercice A.1.8 Ch3-Exercice8 Factoriser en polynômes irréductibles, dans IR, les polynômes suivants : x 2 − 5x + 6, x 3 − 6x 2 + 12x − 8, x 3 + 4x, x 4 + 4x 2 + 4. retour au cours Solution Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 42 Î précédent section N suivant Ï Exercice A.1.9 Ch3-Exercice9 Intégrer les fractions rationnelles des exercices A.2.8, A.2.9, A.2.10, A.2.11, A.2.12. retour au cours Solution Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 43 Î précédent section N suivant Ï Exercice A.1.10 Ch3-Exercice10 1. Montrer que a+2π Z a a+2π Z sin x d x = a+T Z cos x d x = a a µ ¶ ¶ Z a+T 2π 2π sin cos x dx = x dx = 0 T T a µ 2. En déduire que Z I1 = 2π π 3π 2 Z cos 2x d x = 0, I 2 = π 2 cos 2x d x = 0. Tracer la courbe d’équation y = cos 2x , hachurer les aires correspondant à I 1 et I 2 . retour au cours Solution Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 44 Î précédent section N suivant Ï Exercice A.1.11 Ch3-Exercice11 Calculer Z sin x cos2 x d x , Z sin2 x cos x d x , Z sin3 x d x , Z cos2 x sin2 x d x , 2π Z 0 cos2 x d x , 2π Z sin2 x d x . 0 retour au cours Solution Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 45 Î précédent section N suivant Ï Exercice A.1.12 Ch3-Exercice12 Calculer Z 1 d x. cos x retour au cours Solution Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 46 Î précédent section N Exercice A.1.13 Ch3-Exercice13 R On note F (x) = f (x)d x , appliquer le théorème des accroissements finis à la fonction F et en déduire le premier théorème de la moyenne. retour au cours Solution Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 47 Î section précédente chapitre N A.2 Exercices de TD A.2.1 A.2.2 A.2.3 A.2.4 A.2.5 A.2.6 A.2.7 A.2.8 A.2.9 A.2.10 A.2.11 A.2.12 A.2.13 A.2.14 A.2.15 A.2.16 TD3-Exercice1 . TD3-Exercice2 . TD3-Exercice3 . TD3-Exercice4 . TD3-Exercice5 . TD3-Exercice6 . TD3-Exercice7 . TD3-Exercice8 . TD3-Exercice9 . TD3-Exercice10 TD3-Exercice11 TD3-Exercice12 TD3-Exercice13 TD3-Exercice14 TD3-Exercice15 TD3-Exercice16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 50 51 53 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 48 section N suivant Ï Exercice A.2.1 TD3-Exercice1 Calculer l’aire du domaine suivant : D = {(x, y) ∈ IR2 , 0 ≤ y ≤ −x 2 + 4x − 3}. Réponse : 4 3 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 49 Î précédent section N suivant Ï Exercice A.2.2 TD3-Exercice2 Soit la fonction f (x) = r x . 1. On pose h = IN = h iX =N b−a (N est un entier donné), calculer N f (ξi ) où ξi = a + (i − 1)h . i =1 2. Montrer que lim I N = N →∞ Question 1 Question 2 Z b f (t )d t . a Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 1 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 50 Î précédent section N suivant Ï Exercice A.2.3 TD3-Exercice3 On considère un piston de section S qui contient un gaz parfait (obéissant à la loi PV = nRT ). V1 V2 F IGURE A.2.1: Compression d’un gaz Si on note (voir figure A.2.1) – P la pression (force par unité de surface), – S l’aire de la section du cylindre, – SP ~ u la force exercée par le gaz sur le piston, alors le travail que l’on doit fournir au piston pour effectuer un déplacement élémentaire δx~ u est approximativement égal à : δW = −SP δx. Sommaire Concepts Exprimer le travail nécessaire pour faire passer le piston du volume V1 au volume V2 , 1. dans le cas isotherme où la loi est PV = C t e , réponse : C ln VV21 , 2. dans le cas adiabatique où la loi est PV −γ = C t e , réponse : 51 Exemples Exercices Documents 1 γ+1 (P 1 V1 − P 2 V2 ). ÏÏ Î précédent section N suivant Ï Exercice A.2.3 TD3-Exercice3 Question 1 Question 2 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 1 Aide 2 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents ÎÎ 52 Î précédent section N suivant Ï Exercice A.2.4 TD3-Exercice4 1. Calculer les intégrales définies ou les primitives suivantes : (a) (b) (c) (d) (e) (f) π Z p p sin x cos x d x , sin x cos x d x . π/2 Z 1 Z x x d x, d x. 2 1+x 1 + x2 Z0 a Z 1 1 d x, d x , (a 6= 0), 2 2 2 a + x2 0 a +x p Z a 3/2 Z 1 1 d x, p d x , (a > 0), p 2 2 2 a/2 a −x a − x2 Z Z 2 1 31 (ln x) d x , (ln |x|)3 d x , x x 1 Z 1 Z x x d x, d x. 4 1 + x4 0 1+x Z 2. Utiliser le changement de variable x = sin t pour calculer Z 1p 1 2 1 − x 2 d x. 2 2 1 1 (sin x)3/2 +C ; ln 2, ln(1 + x 2 ) +C ; 3 3 2 2 π 1 x π x , arctan +C ; , arcsin +C ; 4a a a 6 a 1 π 1 4 1 4 (ln 2) , (ln |x|) +C ; , arctan x 2 +C ; 4 p 4 8 2 π 3 − . 6 8 Sommaire Concepts Réponses : − , 53 Exemples Exercices Documents ÏÏ Î précédent section N suivant Ï Exercice A.2.4 TD3-Exercice4 Question 1a Question 1b Question 1c Question 1d Question 1e Question 1f Question 2 Aide 1 Aide 1 Aide 1 Aide 1 Aide 1 Aide 1 Aide 1 Aide 2 Aide 2 Aide 2 Aide 2 Aide 2 Aide 2 Aide 3 Aide 3 Aide 3 Aide 3 Aide 3 Aide 4 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents ÎÎ 54 Î précédent section N suivant Ï Exercice A.2.5 TD3-Exercice5 Calculer l’intégrale définie et la primitive suivantes : 1 Z x 2e x d x , Z x 2e x d x . 0 Réponses : e − 2, x 2 e x − 2xe x + 2e x +C . Aide 1 Aide 2 Aide 3 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 55 Î précédent section N suivant Ï Exercice A.2.6 TD3-Exercice6 Calculer l’intégrale définie et la primitive suivantes : : 1 Z e 0 Réponse : ax Z cos bx d x, e ax cos bx d x, (a, b) 6= (0, 0) be a sin b + ae a cos b a e ax − , (a cos bx + b sin bx) +C . a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 56 Î précédent section N suivant Ï Exercice A.2.7 TD3-Exercice7 Factoriser, dans IR, le polynôme suivant : x 4 − 2x 3 + 2x 2 − 2x + 1. Réponse : (x − 1)2 (x 2 + 1). Aide 1 Aide 2 Aide 3 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 57 Î précédent section N suivant Ï Exercice A.2.8 TD3-Exercice8 Décomposer en éléments simples la fraction suivante : 2x + 3 x 2 − 5x + 6 Réponse : . 9 7 − . x −3 x −2 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 58 Î précédent section N suivant Ï Exercice A.2.9 TD3-Exercice9 Décomposer en éléments simples la fraction suivante : 2x + 1 . (x − 2)3 Réponse : 5 2 + . 3 (x − 2) (x − 2)2 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 59 Î précédent section N suivant Ï Exercice A.2.10 TD3-Exercice10 Décomposer en éléments simples la fraction suivante : 2x 3 + x 2 + 3x + 1 . (x 2 + 1)(x 2 + 2) Réponse : x x +1 + . x2 + 1 x2 + 2 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 60 Î précédent section N suivant Ï Exercice A.2.11 TD3-Exercice11 Décomposer en éléments simples la fraction suivante : x3 + x2 + 2 . (x 2 + 2)2 Réponse : −2x x +1 + . (x 2 + 2)2 x 2 + 2 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 61 Î précédent section N suivant Ï Exercice A.2.12 TD3-Exercice12 Décomposer en éléments simples la fraction suivante : 4 x 3 + 4x Réponse : . 1 x − 2 . x x +4 Aide 1 Aide 2 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 62 Î précédent section N suivant Ï Exercice A.2.13 TD3-Exercice13 Décomposer en éléments simples puis intégrer la fraction rationnelle x3 − x2 + x . (x 2 + 1)(x − 1)2 Réponse : 1 1 1 1 ln(x 2 + 1) − + ln |x − 1| +C t e. 4 2 x −1 2 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 63 Î précédent section N suivant Ï Exercice A.2.14 TD3-Exercice14 Calculer 2π Z cos4 x d x. 0 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 64 Î précédent section N suivant Ï Exercice A.2.15 TD3-Exercice15 Calculer la valeur moyenne sur une période du courant redressé à deux alternances (voir une représentation approximative sur la figure A.2.2) I (t ) = I max | sin ωt |, ω = 2π τ où τ est la période du courant. I I max 0 τ t F IGURE A.2.2: Courant redressé Réponse : 2 × I max . π Sommaire Concepts Aide 1 Aide 2 Aide 3 Exemples Exercices Documents 65 Î précédent section N Exercice A.2.16 TD3-Exercice16 1. Soit g : [0, 2h] → IR, telle que g (x) = αx 2 + βx + γ. Montrer que l’on a 2h Z 0 g (x)d x = ¢ h¡ g (0) + 4g (h) + g (2h) . 3 2. Soit g : [x 2k−1 , x 2k+1 ] → IR où x i = a + (i − 1)h , montrer que Z x 2k+1 x 2k−1 g (x)d x = ¢ h¡ g (x 2k−1 ) + 4g (x 2k ) + g (x 2k+1 ) . 3 (On pourra faire un changement de variable afin de se ramener à l’intervalle [0, 2h] et utiliser le résultat précédent.) Question 1 Question 2 Aide 1 Aide 2 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 66 Î précédent suivant Ï Annexe B Exemples B.1 Exemples du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 67 chapitre N B.1 Exemples du chapitre 3 B.1.1 Division euclidienne des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 68 section N Exemple B.1.1 Division euclidienne des polynômes Soient les polynômes p(x) = 3x 3 − x 2 + x − 2, q(x) = x 2 − 1 rangés suivant les puissances décroissantes. Effectuons la division de p par q : p: r1 : r2 : 3x 3 −3x 3 −x 2 0 −x 2 x2 +x 3x +4x 0 4x −2 x2 − 1 3x − 1 −2 −1 −3 On obtient donc 3x 3 − x 2 + x − 2 = (x 2 − 1)(3x − 1) + 4x − 3 retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 69 Î précédent Annexe C Documents C.1 Documents du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 70 chapitre N C.1 Documents du chapitre 3 C.1.1 C.1.2 Deuxième théorème de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Calcul approché d’une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 71 section N suivant Ï Document C.1.1 Deuxième théorème de la moyenne Deuxième théorème de la moyenne Commençons par rappeler le théorème de la valeur intermédiaire : Théorème C.1.1. Soit f une fonction continue sur [a,b], et soit k un réel compris entre f (a) et f (b), alors il existe c ∈ [a, b] tel que f (c) = k . Un corollaire important est que si f (a) et f (b) sont de signe contraire, alors la fonction s’annule au moins une fois entre a et b . Ce résultat n’est évidemment valable que pour les fonctions continues. Théorème C.1.2. Soient f et g deux fonctions continues sur [a, b] telles que f garde un signe constant dans [a, b], alors il existe c ∈ [a, b] tel que Z b a Z f (x)g (x)d x = g (c) b f (x)d x. a Démonstration - Supposons que f soit positive sur [a, b]. Puisque la fonction g est continue, on a m ≤ g (x) ≤ M , ∀x ∈ [a, b] Sommaire Concepts et, puisque f est positive, les deux encadrements suivants Z b m a Z b m a b Z f (x)d x ≤ Z f (t )d t ≤ g (x) a Z f (x)g (x)d x ≤ M b a Z f (t )d t ≤ M 72 b f (x)d x, Exemples Exercices Documents a b a f (t )d t , ∀x ∈ [a, b]. ÏÏ section N Puisque la fonction h(x) = g (x) suivant Ï b Z f (t )d t est continue, d’après le théorème de la valeur a intermédiaire, cette fonction prend toute valeur comprise entre ces deux bornes, c’est à dire il existe c ∈ [a, b] tel que Z b g (c) a Z f (x)d x = b f (x)g (x)d x. Document C.1.1 Deuxième théorème de la moyenne a On admettra que, plus précisément, c ∈]a, b[. retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents ÎÎ 73 Î précédent section N Document C.1.2 Calcul approché d’une intégrale Méthode des trapèzes et de Simpson Soit une fonction continue f : [a, b] → IR. L’intervalle [a, b] est subdivisé en N segments de longueur h = b−a et l’on pose, pour i = 1, . . . , N + 1 : N x i = a + (i − 1)h et y i = f (x i ). Soit la figure C.1.1 sur laquelle on note S i l’aire du trapèze hachuré, on approxime Rb a f (x)d x par JN = N X i =1 Si = N hX (y i + y i +1 ). 2 i =1 y Sommaire Concepts x a=x 1 i xi+1 b=x N+1 x Exemples Exercices Documents h F IGURE C.1.1: Methode des trapèzes 74 ÏÏ Î précédent section N La méthode de Simpson consiste à découper l’intervalle [a, b] en un nombre pair d’intervalles limités par x 1 , x 2 , . . . , x 2n+1 . sur chaque intervalle [x 2k−1 , x 2k+1 ] on approche la courbe d’équation y = f (x) par une parabole qui passe par les trois points (x 2k−1 , y 2k−1 ), (x 2k , y 2k ) et (x 2k+1 , y 2k+1 ). On peut montrer (voir exercice A.2.16 ) que si g : [0, 2h] → IR est un polynôme du second degré, alors 2h Z 0 g (x)d x = Document C.1.2 Calcul approché d’une intégrale ¢ h¡ g (0) + 4g (h) + g (2h) 3 et par un changement de variable que Z x 2k+1 x 2k−1 g (x)d x = ¢ h¡ g (x 2k−1 ) + 4g (x 2k ) + g (x 2k+1 ) . 3 Lorsque g est un polynôme du second degré, si l’on pose y i = g (x i ), on a donc : Z b a g (x)d x = ¢ h¡ y 1 + y 2n+1 + 2(y 3 + y 5 + . . . + y 2n−1 ) + 4(y 2 + y 4 + . . . + y 2n ) . 3 Dans le cas d’une fonction f quelconque, si l’on pose y i = f (x i ), on n’a plus égalité, mais l’expression de droite permet alors d’obtenir une valeur approchée de l’intégrale appelée formule de Simpson : Z b a f (x)d x ' ¢ h¡ y 1 + y 2n+1 + 2(y 3 + y 5 + . . . + y 2n−1 ) + 4(y 2 + y 4 + . . . + y 2n ) . 3 Exemples Exercices Documents Un exemple : ÎÎ 75 Sommaire Concepts ÏÏ Î précédent section N Un terrain est situé entre une haie rectiligne et une rivière. A une distance x (exprimée en mètres) d’une des extrémités de la haie, la largeur y du terrain (exprimée en mètres) est mesurée comme indiqué ci-dessous : (x, y) = {(0, 0), (20, 10), (40, 16), (60, 18), (80, 16), (100, 10), (120, 0)}. Document C.1.2 Calcul approché d’une intégrale On peut calculer la valeur approchée de l’aire du terrain à l’aide de la méthode des trapèzes et de la méthode de Simpson. On a n = 6, h = 20, on peut alors appliquer : - la méthode des trapèzes : T = 20(0 + 10 + 16 + 18 + 16 + 10 + 0) = 1400, - la méthode de Simpson : S = 20 (0 + 40 + 32 + 72 + 32 + 40 + 0) = 1440. 3 Si on connait l’équation de la courbe que décrit la rivière y =− x2 + 0.6x, 200 L’aire exacte du terrain est donnée par l’intégrale : Z 0 120 − x2 + 0.6x d x = 1440. 200 La méthode de Simpson donne le résultat exact, c’était prévisible puisque l’on a vu que, dans le cas d’une fonction du second degré en x , la formule était exacte. C’est bien le cas ici. Sommaire Concepts retour au cours Exemples Exercices Documents ÎÎ 76 Index des concepts Le gras indique un grain où le concept est Intégrale simple - exemple de construction défini ; l’italique indique un renvoi à un exer10 cice ou un exemple, le gras italique à un docu- Intégrales fonctions périodiques . . . . . . . . 26 ment, et le romain à un grain où le concept est Intégration des fractions rationnelles - prinmentionné. cipe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18, C Changement de variable dans les intégrales 14 F Fractions rationnelles - décomposition . 21 Fractions rationnelles - Primitives . . . . . 24 21 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 P Primitive, intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 primitives fonctions trigonométriques . . 28 T Théorèmes de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . 31 I Sommaire Concepts Intégrale - construction . . . . . . . . . . . . . . 6, 10 77 Exemples Exercices Documents Solution de l’exercice A.1.1 Puisque 1 2 x est une primitive de x , la définition de l’intégrale donne 2 Z b 1 x d x = (b 2 − a 2 ). 2 a Retour à l’exercice N Solution de l’exercice A.1.2 Soient F1 et F2 deux primitives de f , alors F 1 (x) = F 2 (x) +C , ∀x ∈ [a, b]. Alors Z b a f (x) d x = F 1 (b) − F 1 (a) = F 2 (b) +C − (F 2 (a) +C ) = F 2 (b) − F 2 (a). Retour à l’exercice N Solution de l’exercice A.1.3 1 F (x) = (x 3 − a 3 ), 3 d’où F 0 (x) = x 2 . Si, de manière générale, on appelle F une primitive de f , on a d dx x µZ a ¶ f (t )d t = d (F (x) − F (a)) = f (x). dx Retour à l’exercice N Solution de l’exercice A.1.4 Que vaut h N X 1? i =1 Retour à l’exercice N Solution de l’exercice A.1.5 1. Revoir les dérivées des fonctions composées. 0 ZOn peut également faire un changement de variable en posant u = f (x), donc d u = f (x)d x . On a donc un d u. Il faut distinguer le cas n = −1. Z 0 ¡ f (x) f Pour n 6= −1 −1 Z Z ¢ (x) d x = 0 ¡ u −1 d u = ln |u| +C = ln | f (x)| +C . n ¢ f (x) f (x) d x = Z un d u = u n+1 f n+1 (x) +C = +C . n +1 n +1 2. Revoir les dérivées des fonctions composées. Quelle est la dérivée de (ax + b)n+1 ? OnZ peut également faire un changement de variable en posant u = ax + b , donc d u = ad x . On a donc 1 a un d u. Il faut distinguer le cas n = −1. Z Pour n 6= −1 1 a Z u −1 d u = 1 (ax + b) d x = a Z un d u = (ax + b)−1 d x = Z n 1 1 ln |u| +C = ln |ax + b| +C a a 1 1 u n+1 +C = (ax + b)n+1 +C . a(n + 1) a(n + 1) 1 3. On peut faire un changement de variable en posant u = ax +b , donc d u = 2axd x . On a donc 2a Il faut distinguer le cas n = −1. 2 Z un d u. Z Pour n 6= −1 Z x(ax 2 + b)−1 d x = 1 2a Z u −1 d u = x(ax 2 + b)n d x = 1 2a Z un d u = 1 1 ln |u| +C = ln |ax 2 + b| +C . 2a 2a 1 1 n+1 +C . u n+1 +C = (ax 2 + b) 2a(n + 1) 2a(n + 1) 4. On peut faire un calcul similaire au précédent en rempaçant l’entier n par 21 . On pose u = ax 2 + b , donc d u = 2axd x . On a donc Z x p ax 2 + bd x = 1 2a Z 1 2a Z p ud u . p 3 1 2 3 1 ud u = × u 2 +C = (ax 2 + b) 2 +C . 2a 3 3a Retour à l’exercice N Solution de l’exercice A.1.6 1. On pose u(x) = x, v 0 (x) = sin x, ce qui donne Z Z x sin x d x = −x cos x − Z (− cos x)d x = −x cos x + sin x +C , π/2 x sin x d x = 1. 0 2. On pose u(x) = x, v 0 (x) = e x , ce qui donne Z xe x d x = xe x − 1 Z 0 Z e x d x = e x (x − 1) +C , xe x d x = 1. Retour à l’exercice N Solution de l’exercice A.1.7 Voir l’exemple B.1.1. La division s’effectue comme une division entre deux entiers et s’arrête quand le degré du reste est strictement inférieur au degré du diviseur. Retour à l’exercice N Solution de l’exercice A.1.8 Les résultats des factorisations sont : (x − 2)(x − 3), (x − 2)3 , x(x 2 + 4), (x 2 + 2)2 . Retour à l’exercice N Solution de l’exercice A.1.9 On obtient successivement : 9 ln |x − 3| − 7 ln |x − 2| +C t e. − 5 1 1 −2 +C t e. 2 2 (x − 2) x −2 1 1 1 x ln(x 2 + 1) + ln(x 2 + 2) + p arctan p +C t e. 2 2 2 2 1 x2 + 2 + 1 1 x ln(x 2 + 2) + p arctan p +C t e. 2 2 2 ln |x| − 1 ln(x 2 + 4) +C t e. 2 Retour à l’exercice N Solution de l’exercice A.1.10 1. a+2π Z a a+2π Z a Z =0 sin x d x = [− cos x]a+2π a =0 cos x d x = [sin x]a+2π a · µ ¶¸a+T µ µ ¶ µ ¶¶ 2π T 2π 2π 2π T sin x dx = − cos x cos a − cos a + 2π = 0 = T 2π T 2π T T a a µ ¶ · µ ¶¸a+T µ µ ¶ µ ¶¶ Z a+T 2π T 2π T 2π 2π x dx = sin x a + 2π − sin a =0 cos = sin T 2π T 2π T T a a a+T µ ¶ Vous pouvez utiliser ces résultats sans les redémontrer : l’intégrale d’un sinus ou d’un cosinus sur une période est nulle. 2. Il suffit d’appliquer le résultat précédent, on a T = π. Tracez la courbe d’équation y = cos 2x et constatez que pour I 1 et I 2 les aires comptées positivement sont égales aux aires comptées négativement. 3. 1 sin x cos2 x d x = − cos3 x +C , 3 Z 1 sin2 x cos x d x = sin3 x +C , 3 Z Z 1 sin3 x d x = (1 − cos2 x) sin x = − cos x + cos3 x +C , 3 Z Z Z 1 1 1 − cos 4x 1 1 cos2 x sin2 x d x = ( sin 2x)2 d x = dx = x − sin 4x +C , 2 4 2 8 32 Z 2π Z 2π 1 + cos 2x cos2 x d x = d x = π, 2 0 0 Z 2π Z 0 2 sin x d x = 2π Z 0 1 − cos 2x d x = π. 2 Retour à l’exercice N Solution de l’exercice A.1.11 1 sin x cos2 x d x = − cos3 x +C , 3 Z 1 sin2 x cos x d x = sin3 x +C , 3 Z Z 1 sin3 x d x = (1 − cos2 x) sin x = − cos x + cos3 x +C , 3 Z Z Z 1 1 1 − cos 4x 1 1 cos2 x sin2 x d x = ( sin 2x)2 d x = dx = x − sin 4x +C , 2 4 2 8 32 Z 2π Z 2π 1 + cos 2x d x = π, cos2 x d x = 2 0 0 Z 2π Z 2π 1 − cos 2x d x = π. sin2 x d x = 2 0 0 Z Retour à l’exercice N Solution de l’exercice A.1.12 On effectue le changement de variables t = tan x 2 ce qui donne Z 1 dx = cos x Z 2 dt. 1− t2 On est ramené à l’intégration d’une fraction rationnelle dont la décomposition en éléments simples donne 2 1 1 = + . 2 1−t 1−t 1+t En intégrant, on obtient Z 1 t +1 d x = ln | | +C t e. cos x t −1 Retour à l’exercice N Solution de l’exercice A.1.13 F est une primitive de f , donc la dérivée de F est f , le théorème des accroissements finis donne l’existence de c ∈]a, b[ tel que F (b) − F (a) = (b − a) f (c), d’où le résultat. Retour à l’exercice N Aide 1, Exercice A.2.1 Lire attentivement le lien existant entre l’intégrale simple et l’aire d’un domaine. Retour à l’exercice N Aide 2, Exercice A.2.1 Ecrire l’aire de D comme l’intégrale définie d’une fonction. Quelles sont les bornes de l’intégrale ? Quelle est la fonction que l’on intègre ? Retour à l’exercice N Aide 3, Exercice A.2.1 L’aire de D est donnée par 3 Z 1 (−x 2 + 4x − 3)d x. Il ne vous reste plus qu’à calculer l’intégrale. Retour à l’exercice N Aide 1, Question 1, Exercice A.2.2 Remplacer f et ξi par leurs valeurs et sommer. Retour à l’exercice N Aide 2, Question 1, Exercice A.2.2 On sait que N X (i − 1) = i =1 Penser à utiliser h= N (N − 1) . 2 b−a . N Retour à l’exercice N Aide 3, Question 1, Exercice A.2.2 µ ¶ N (N − 1) 1 N −1 IN = r h N a + h = r a(b − a) + r (b − a)2 2 2 N Retour à l’exercice N Aide 1, Question 2, Exercice A.2.2 On sait lim N →∞ N −1 = 1. N On obtient donc 1 1 lim I N = r (b − a)(2a + b − a) = r (b 2 − a 2 ) = N →∞ 2 2 Retour à l’exercice N Z b f (t )d t . a Aide 1, Question 1, Exercice A.2.3 Ce travail correspond à une intégrale définie. Retour à l’exercice N Aide 2, Question 1, Exercice A.2.3 La variable d’intégration peut être x ou V . Exprimer P en fonction de x ou V (suivant le choix de la variable d’intégration). Retour à l’exercice N Aide 3, Question 1, Exercice A.2.3 Z W= x2 x1 Z −SP d x = V2 V1 Z −P dV = − V2 V1 C V1 dV = . . . = C ln . V V2 Retour à l’exercice N Aide 1, Question 2, Exercice A.2.3 Exprimer P en fonction de V . Retour à l’exercice N Aide 2, Question 2, Exercice A.2.3 Z W =− V2 V1 Z P dV = − V2 V1 CV γ dV = . . . = C 1 γ+1 γ+1 (V1 − V2 ) = (P 1V1 − P 2V2 . γ+1 γ+1 Retour à l’exercice N Aide 1, Question 1a, Exercice A.2.4 On peut remarquer que la fonction cos x est la dérivée de la fonction sin x Retour à l’exercice N Aide 2, Question 1a, Exercice A.2.4 On doit trouver une primitive de f (x) f 0 (x), revoir le tableau des dérivées. On peut également faire un changement de variable, poser u = sin x , on a donc d u = cos xd x . Penser à changer les bornes pour l’intégrale définie. Revenir à la variable x pour le calcul de primitive. p Retour à l’exercice N Aide 1, Question 1b, Exercice A.2.4 f 0 (x) . Revoir le tableau des dérivées. f (x) On peut également faire un changement de variable, poser u = 1 + x 2 , donc d u = 2xd x .Penser à changer les bornes pour l’intégrale définie. Revenir à la variable x pour le calcul de primitive. A une constante multiplicative près on doit trouver une primitive de Retour à l’exercice N Aide 1, Question 1c, Exercice A.2.4 Quelle est la primitive de la fonction : 1 ? 1 + u2 Retour à l’exercice N Aide 2, Question 1c, Exercice A.2.4 Un changement de variables possible est : u = x/a . Penser à changer les bornes pour l’intégrale définie. Retour à l’exercice N Aide 3, Question 1c, Exercice A.2.4 Pour l’intégrale définie, la solution est : 1π a4 et pour les primitives (pensez à revenir à la variable x ) : 1 x arctan +C . a a Retour à l’exercice N Aide 1, Question 1d, Exercice A.2.4 Quelle est la primitive de la fonction : p 1 1 − u2 ? Retour à l’exercice N Aide 2, Question 1d, Exercice A.2.4 Un changement de variables possible est : u = x/a . Pensez à changer les bornes pour l’intégrale définie. Retour à l’exercice N Aide 3, Question 1d, Exercice A.2.4 x a a 1 Pour x = , on a u = . 2p 2 p 3 a 3 Pour x = , on a u = . 2 2 1 1 = p . On a : p 2 2 a −x a 1 − u2 On pose u = , on a donc d x = ad u . Pour l’intégrale définie, on obtient : p a 3/2 Z a/2 p 1 a2 − x2 Z dx = p 3/2 1/2 p 1 π 3/2 d u = [arcsin u]1/2 = , p 6 1 − u2 et pour les primitives (pensez à revenir à la variable x ) : Z p 1 a2 − x2 Z dx = 1 x d u = arcsin u +C = arcsin +C . p 2 a 1−u Retour à l’exercice N Aide 1, Question 1e, Exercice A.2.4 Pourquoi n’y a-t-il pas de valeur absolue dans la première intégrale ? Retour à l’exercice N Aide 2, Question 1e, Exercice A.2.4 Dans la première intégrale, x , étant compris entre 1 et 3, est strictement positif. Quelle est la dérivée de ln |x| ? Retour à l’exercice N Aide 3, Question 1e, Exercice A.2.4 Pour l’intégrale définie, la solution est : 1 (ln 2)4 4 et pour les primitives : 1 (ln |x|)4 +C . 4 Retour à l’exercice N Aide 1, Question 1f, Exercice A.2.4 Quelle est la primitive de la fonction : 1 ? 1 + u2 Retour à l’exercice N Aide 2, Question 1f, Exercice A.2.4 Un changement de variables possible est : u = x 2 . Pensez à changer les bornes pour l’intégrale définie. Retour à l’exercice N Aide 3, Question 1f, Exercice A.2.4 Pour l’intégrale définie, la solution est : π 8 et pour les primitives (pensez à revenir à la variable x ) : 1 arctan x 2 +C . 2 Retour à l’exercice N Aide 1, Question 2, Exercice A.2.4 Pensez à changer les bornes, exprimez p 1 − x 2 en fonction de t , que vaut d x ? Retour à l’exercice N Aide 2, Question 2, Exercice A.2.4 d x = cos t d t , 1 2 π 6 Pour obtenir x = , on peut choisir t = , π 2 pour obtenir x = 1, on peut choisir t = . hπ πi p 1 − x 2 = | cos t | = cos t , car t ∈ , . 6 2 Retour à l’exercice N Aide 3, Question 2, Exercice A.2.4 Z 1p Z 2 1−x dx = 1 2 π 2 π 6 cos2 t d t . Exprimez cos2 t à l’aide de cos 2t afin de calculer l’intégrale. Retour à l’exercice N Aide 4, Question 2, Exercice A.2.4 π 2 Z π 6 2 cos t d t = π 2 Z π 6 p π π 3 1 + cos 2t 1 ³π π´ 1 2 dt = − + [sin 2t ] π = − . 6 2 2 2 6 4 6 8 Retour à l’exercice N Aide 1, Exercice A.2.5 Il faut faire deux intégrations par partie successives. Retour à l’exercice N Aide 2, Exercice A.2.5 Dans le cas du calcul de primitive : Z u(x) = x 2 , v 0 (x) = e x , Z 2 x 2 x x e d x = x e − 2 xe x d x. Retour à l’exercice N Aide 3, Exercice A.2.5 u(x) = x, v 0 (x) = e x , Z x 2 e x d x = x 2 e x − 2xe x + 2e x +C , 1 Z 0 x 2 e x d x = e − 2. Retour à l’exercice N Aide 1, Exercice A.2.6 Il y a deux intégrations par partie successives à faire (attention de ne pas tourner en rond ! ) Retour à l’exercice N Aide 2, Exercice A.2.6 Z u(x) = e ax , v 0 (x) = cos bx Z 1 a e ax cos bx d x = e ax sin bx − e ax sin bx d x +C , b b C désigne une constante quelconque. Refaites une deuxième intégration par partie pour intégrer le deuxième terme. Retour à l’exercice N Aide 3, Exercice A.2.6 u(x) = e ax , v 0 (x) = sin bx Si l’on pose Z I (x) = e ax cos bx d x, on obtient une relation en I : I (x) = 1 ax a a2 e sin bx + 2 e ax cos bx − 2 I (x) +C , b b b de laquelle on tire I (x). Faire des intégrations par parties similaires dans le cas de l’intégrale définie. Retour à l’exercice N Aide 1, Exercice A.2.7 x = 1 est racine du polynôme. Retour à l’exercice N Aide 2, Exercice A.2.7 x 4 − 2x 3 + 2x 2 − 2x + 1 = (x − 1)(x 3 − x 2 + x − 1) et x = 1 est encore racine. Retour à l’exercice N Aide 3, Exercice A.2.7 x 4 − 2x 3 + 2x 2 − 2x + 1 = (x − 1)2 (x 2 + 1). Retour à l’exercice N Aide 1, Exercice A.2.8 La décomposition en éléments simples est de la forme : 2x + 3 x 2 − 5x + 6 = A B + . x −3 x −2 Retour à l’exercice N Aide 2, Exercice A.2.8 On multiplie par (x − 3) ce qui donne 2x + 3 B (x − 3) = A+ , x −2 x −2 et on fait x = 3 9 = A. Retour à l’exercice N Aide 3, Exercice A.2.8 On fait de même pour B et on trouve B = −7. Retour à l’exercice N Aide 1, Exercice A.2.9 La décomposition en éléments simples est de la forme : 2x + 1 A B C = + + . 3 3 2 (x − 2) (x − 2) (x − 2) x −2 Retour à l’exercice N Aide 2, Exercice A.2.9 On multiplie par (x − 2)3 et on fait x = 2 ce qui donne A = 5. Retour à l’exercice N Aide 3, Exercice A.2.9 Par identification, on obtient 5 + B (x − 2) +C (x − 2)2 = 2x + 1. Ce qui donne aisément C = 0 (coefficient de x 2 puis B = 2 (coefficient de x ). Retour à l’exercice N Aide 1, Exercice A.2.10 La décomposition en éléments simples est de la forme : 2x 3 + x 2 + 3x + 1 Ax + B C x + D = 2 + 2 . (x 2 + 1)(x 2 + 2) x +1 x +2 Retour à l’exercice N Aide 2, Exercice A.2.10 Par identification, on obtient (Ax + B )(x 2 + 2) + (C x + D)(x 2 + 1) = 2x 3 + x 2 + 3x + 1. Identifier les coefficients des puissances de x , ce qui donne un système d’équations. Retour à l’exercice N Aide 3, Exercice A.2.10 Les équations A +C = 2, 2A +C = 3, donnent A = C = 1. Les équations B + D = 1, 2B + D = 1, donnent B = 0, D = 1. Retour à l’exercice N Aide 1, Exercice A.2.11 La décomposition en éléments simples est de la forme : Ax + B Cx +D x3 + x2 + 2 = 2 + 2 . (x 2 + 2)2 (x + 2)2 x +2 Retour à l’exercice N Aide 2, Exercice A.2.11 Par identification, on obtient (Ax + B ) + (C x + D)(x 2 + 2) = x 3 + x 2 + 2. Retour à l’exercice N Aide 3, Exercice A.2.11 On obtient C = 1, D = 1, A = −2, B = 0. Retour à l’exercice N Aide 1, Exercice A.2.12 La décomposition en éléments simples est de la forme : 4 x 3 + 4x = A B x +C + 2 . x x +4 Retour à l’exercice N Aide 2, Exercice A.2.12 On multiplie par x et on fait x = 0, ce qui donne A = 1. On peut alors procéder par identification : 4 = x 2 + 4 + B x 2 +C x soit B = −1, C = 0. Retour à l’exercice N Aide 1, Exercice A.2.13 La décomposition en éléments simples est de la forme : Ax + B D x3 − x2 + x C = 2 + + . (x 2 + 1)(x − 1)2 x + 1 (x − 1)2 x − 1 Retour à l’exercice N Aide 2, Exercice A.2.13 On peut calculer directement C en multipliant par (x − 1)2 . . . et on obtient 1 C= . 2 Retour à l’exercice N Aide 3, Exercice A.2.13 On peut ensuite procéder par identification, ce qui donne, par exemple : A + D = 1, −2A + B + 1 1 − D = −1, B + − D = 0. 2 2 La résolution du système donne 1 1 A = , B = 0, D = . 2 2 Retour à l’exercice N Aide 4, Exercice A.2.13 En intégrant, on obtient 1 1 1 1 ln(x 2 + 1) − + ln |x − 1| +C t e. 4 2 x −1 2 Retour à l’exercice N Aide 1, Exercice A.2.14 Il faut linéariser cos4 x , revoyez la fin du chapitre 1. Retour à l’exercice N Aide 2, Exercice A.2.14 On peut utiliser les formules d’Euler cos x = e ix +e −i x , 2 ou écrire que µ ¶ ¡ ¢2 1 + cos 2x 2 1 + 2 cos 2x + cos2 2x 1 cos 2x 1 + cos 4x 3 cos 2x cos 4x 2 cos x = cos x = = = + + = + + ; 2 4 4 2 8 8 2 8 4 Il suffit ensuite d’intégrer, attention, plusieurs termes sont nuls il est inutile de les calculer. Retour à l’exercice N Aide 3, Exercice A.2.14 2π 3 3 3π d x = 2π = . 8 8 4 0 Z 2π Z 2π cos 4x d x = 0, cos 2x d x = Z 0 0 en effet la fonction cos 2x a pour période T = π, on a donc 2π Z 0 2T Z cos 2x d x = 0 cos 2x d x = 0. Un raisonnement similaire permet de conclure que 2π Z 0 cos 4x d x = 0. On a donc 2π Z 0 cos4 x d x = 3π . 4 Retour à l’exercice N Aide 1, Exercice A.2.15 Remarquer que la période du courant redressé vaut I moy 2 = τ τ 2 τ/2 Z 0 La valeur moyenne s’écrit I max | sin ωt |d t . Retour à l’exercice N Aide 2, Exercice A.2.15 Or (sin ωt est positif sur [0, τ2 ] car ω τ2 = π) : τ/2 Z 0 | sin ωt |d t = τ/2 Z 0 sin ωt d t . Il vous reste à calculer l’intégrale. Retour à l’exercice N Aide 3, Exercice A.2.15 I moy ¸τ/2 · 2 1 2 × I max = I max − cos ωt . = τ ω π 0 Retour à l’exercice N Aide 1, Question 1, Exercice A.2.16 Calculer les deux termes de l’égalité indépendamment et montrer que cela donne le même résultat. Retour à l’exercice N Aide 2, Question 1, Exercice A.2.16 2h Z 0 αx 2 + βx + γ d x = α β (2h)3 + (2h)2 + 2γh, 3 2 h h h [g (0) + 4g (h) + g (2h)] = [γ + 4(αh 2 + βh + γ) + α(2h)2 + 2βh + γ] = [8αh 2 + 6βh + 6γ], 3 3 3 ce qui, après simplification, donne le même résultat. Retour à l’exercice N Aide 1, Question 2, Exercice A.2.16 Quelle est la fonction affine qui envoie [x 2k−1 , x 2k+1 ] dans [0, 2h] ? Retour à l’exercice N Aide 2, Question 2, Exercice A.2.16 On pose t = ex + f et on calculer e et f tels que, pour x = x 2k on ait t = 0 et pour x = x 2k+2 on ait t = 2h . Retour à l’exercice N Aide 3, Question 2, Exercice A.2.16 Soit le changement de variable t = x − x 2k−1 , alors Z x 2k+1 x 2k−1 2h Z g (x)d x = 0 g (t + x 2k−1 )d t . On peut alors appliquer le résultat de la question précédente à la fonction ĝ (t ) = g (t + x 2k−1 ), et l’on trouve Z x 2k+1 x 2k−1 g (x)d x = ¢ h¡ ĝ (0) + 4ĝ (h) + ĝ (2h) . 3 En remplaçant ĝ par sa valeur, on obtient le résultat. Retour à l’exercice N