Les nombres complexes 1 Introduction

Les nombres complexes
1 Introduction
Un nombre complexe est un couple de nombres r´eels z= (x, y) . L’ensemble des nombres
complexes, not´e C, n’est donc rien d’autre que le plan R2. En particulier, la somme de deux
nombres complexes z= (x, y) et z0= (x0, y0) est z+z0= (x+x0, y +y0), tandis que pour tout
λ∈Ret tout z= (x, y)∈C,λ z = (λx, λy) . On notera bien sˆur −z= (−1) z. La nouveaut´e
est que l’on d´efinit sur Cune multiplication (interne) .
D´efinition 1 Quels que soient z= (x, y)et z0= (x0, y0)dans C, le produit z z0est le nombre
complexe z00 = (x00, y00)tel que
x00 =x x0−y y0, y00 =x y0+x0y .
Le produit z z est aussi not´e z2.
On v´erifie sans peine les propri´et´es suivantes :
• ∀z, z0∈C, z z0=z0z ,
• ∀z, z0, z00 ∈C, z [z0z00] = [z z0]z00 ,
• ∀z, z0, z00 ∈C, z [z0+z00] = z z0+z z00 ,
• ∀z, z (1,0) = z .
Cette derni`ere propri´et´e nous conduit `a noter plus simplement 1= (1,0) . Ceci permet
d’identifier tout nombre complexe de la forme z= (x, 0) = x1avec le nombre r´eel x. On
observe que la multiplication par z= (x, 0) dans Cco¨ıncide avec la multiplication par x:
∀x∈R,∀z0= (x0, y0)∈C,(x, 0) z0= (x x0, x y0) = x(x0, y0).
D’autre part, on note i= (0,1) . Ce nombre complexe v´erifie la propri´et´e remarquable :
i2=−1.
Autrement dit, iadmet pour inverse 1
i=−i.
Interpr´etation g´eom´etrique . On peut repr´esenter comme le plan (xOy) muni d’une base orthonorm´ee o`u 1est le premier vecteur de
base (c’est-`a-dire dirigeant l’axe (Ox)) et iest le second vecteur de base (c’est-`a-dire dirigeant l’axe (Oy)) .
`
A chaque nombre complexe z= (x, y) on peut associer le point Mde coordonn´ees (x, y) . On dit alors que zest l’affixe du point M.
On remarque en particulier que la multiplication par icorrespond `a la rotation d’angle π/2 et de centre O. En effet, si z= (x, y) on a
iz= (−y, x) . Donc si Mest le point d’affixe zet M0le point d’affixe iz, on a
k−−→ OM 0k=k−−→ OM k,−−→ OM 0·−−→ OM = 0 ,d´et(−−→ OM , −−→ OM 0) = x2+y2>0.
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2´ Ecriture cart´esienne
Avec les notations introduites pr´ec´edemment, on a pour tout nombre complexe z= (x, y) :
z=x1+yi,
que l’on ´ecrit plus simplement :
z=x+i y .
C’est ce qu’on appelle l’´ecriture cart´esienne de z. Le nombre r´eel xest appel´e partie r´eelle de
zet le nombre r´eel yest appel´e partie imaginaire de z. On note g´eneralement :
x= Re zet y= Im z .
On appelle nombre imaginaire pur un nombre complexe de partie r´eelle nulle.
2.1 Conjugaison
D´efinition 2 Quel que soit le nombre complexe z=x+i y avec xet yr´eels, on appelle
conjugu´e de zle nombre complexe
z=x−i y .
Interpr´etation g´eom´etrique . Le point d’affixe zest sym´etrique du point d’affixe zpar rapport `a l’axe (0x) .
On a les formules ´evidentes mais bien utiles :
Re z=z+z
2et Im z=z−z 2i.
Donc en particulier :
•Un nombre complexe zest r´eel si et seulement si z=z.
•Un nombre complexe zest imaginaire pur si et seulement si z=−z.
Proposition 1 Pour tous nombres complexes z1et z2,
z1+z2=z1+z2et z1z2=z1z2.
D´em. Le cas de la somme est imm´ediat. Le cas du produit est un calcul facile : si
z1=x1+i y1et z2=x2+i y2,z1z2=x1x2−y1y2+i(x2y1+x1y2) donc
z1z2=x1x2−y1y2−i(x2y1+x1y2)=(x1−i y1) (x2−i y2) = z1z2.
2
On remarque que pout tout z=x+i y (avec xet yr´eels), le produit z z est un nombre
r´eel positif . En effet,
z z = (x+i y) (x−i y) = x2+y2.
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2.2 Module
D´efinition 3 Pour tout nombre complexe z, on appelle module de zle nombre r´eel positif
|z|=√z z .
Autrement dit, si z=x+i y avec xet yr´eels, |z|=px2+y2. En particulier, si z=xest
r´eel, son module |z|est ´egal `a la valeur absolue |x|de x. Les notations sont coh´erentes ! De
fa¸con plus g´en´erale, on a les in´egalit´es :
|Re z| ≤ |z|et |Im z|≤|z|.
Interpr´etation g´eom´etrique . Si Mest le point d’affixe z, on a
|z|=k−−→ OM k.
Un corollaire imm´ediat de la d´efinition du module et de la proposition 1 est que pour tous
nombres complexes z1et z2,
|z1z2|=|z1| |z2|.
Attention ! En g´en´eral,
|z1+z2| 6=|z1|+|z2|.
On a seulement l’in´egalit´e
|z1+z2|≤|z1|+|z2|.
Proposition 2 Deux nombres complexes sont ´egaux si et seulement s’ils ont mˆeme module,
mˆeme partie r´eelle et leurs parties imaginaires ont le mˆeme signe .
D´em. La partie directe est ´evidente : si z=z0alors |z|=|z0|, Re z= Re z0et Im z= Im z0
sont de mˆeme signe . R´eciproquement, supposons |z|=|z0|, Re z= Re z0. Alors
(Im z)2=|z|2−(Re z)2=|z0|2−(Re z0)2= (Im z0)2.
Si de plus Im zet Im z0sont de mˆeme signe alors n´ecessairement Im z= Im z0.2
Cette proposition d’apparence anodine est tr`es utile pour rechercher les racines deuxi`emes
d’un nombre complexe Z, c’est-`a-dire les nombres ztels que z2=Z. En effet, d’apr`es cette
proposition on a z2=Zsi et seulement si
|z2|=Z , Re (z2) = Re Zet Im (z2) Im Z≥0.
En utilisant la propri´et´e |z2|=|z|2, ceci se traduit sur x= Re zet y= Im zpar
x2+y2=|Z|,
x2−y2= Re Z ,
x y Im Z≥0,
et ce syst`eme est ´equivalent `a 
2x2=|Z|+ Re Z ,
2y2=|Z| − Re Z ,
x y Im Z≥0.
On trouve ainsi exactement deux racines deuxi`emes de Z(si Zest non nul) .
Si par exemple Im Zest positif, z2=Z´equivaut `a z=z1ou z=z2avec :
z1=|Z|+ Re Z
2+i|Z| − Re Z 2,
z2=−|Z|+ Re Z
2−i|Z| − Re Z 2.
Il n’est pas indispensable de retenir ces formules, il vaut mieux savoir les retrouver en pratique !
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2.3 Inversion
Si z=x+i y (avec xet yr´eels) est un nombre complexe non nul, il admet pour inverse
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z=z z z =x x2+y2−iy x2+y2.
3 Nombres complexes de module 1
On note parfois Ul’ensemble des nombres complexes de module ´egal `a 1 .
Une remarque ´evidente mais souvent commode dans les calculs est
|z|= 1 ⇔1
z=z .
On remarque aussi que Uest stable par la multiplication, c’est-`a-dire si z1et z2sont de
module 1, alors leur produit z1z2est aussi de module 1 .
Interpr´etation g´eom´etrique . L’ensemble s’identifie avec le cercle unit´e (centr´e en O) .
3.1 Description analytique de U
Les nombres complexes 1 et iappartiennent bien sˆur `a U. D’autre part, la formule de
trigonom´etrie
cos2θ+ sin2θ= 1
montre que tout nombre de la forme cos θ+isin θest de module 1 . Inversement, pour tout
z∈U,
|Re z| ≤ |z|= 1
donc il existe θ∈Rtel que Re z= cos θ. De plus, on a
(Im z)2=|z|2−(Re z)2= 1 −cos2θ= sin2θ .
Donc Im z= sin θou Im z= sin(−θ) (car la fonction sin est impaire) . Ainsi, dans le premier
cas on a z= cos θ+isin θet dans le second cas on a z= cos(−θ) + isin(−θ) (car la fonction
cos est paire) . Ceci montre que
U={z= cos θ+isin θtel que θ∈R}.
Quel que soit θ∈R, on note :
ei θ = cos θ+isin θ .
En fait, on peut d´efinir ei θ sans supposer les fonctions cos et sin connues, comme la somme d’une s´erie :
ei θ =
+∞
n=0
(i θ)n
n!=
+∞
k=0
(−1)kθ2k
(2k)! +i
+∞
k=0
(−1)kθ2k+1
(2k+ 1)! ,
et la premi`ere somme d´efinit cos θtandis que la seconde d´efinit sin θ. (Il n’est alors pas imm´ediatement ´evident que les fonctions cos et sin
sont 2π-p´eriodiques !)
D’apr`es les propri´et´es de parit´e des fonctions cos et sin, on a
ei θ = e−i θ .
De plus, en utilisant les formules de trigonom´etrie :
cos(θ+ω) = cos θcos ω−sin θsin ω , sin(θ+ω) = sin θcos ω+ cos θsin ω ,
on voit que
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ei(θ+ω)= ei θ ei ω
pour tout θet tout ωdans R.
On peut inversement utiliser cette formule pour retrouver les formules de trigonom´etrie !
Interpr´etation g´eom´etrique . La multiplication par ei θ correspond `a la rotation d’angle θet de centre O.
On remarque que ei0= 1. De plus, en notant
zn=z . . . z
| {z }
n fois
pour tout n∈N∗et z∈C, on d´eduit de la formule pr´ec´edente que pour tout θ∈R:
einθ =¡ei θ ¢n(formule de Moivre)
Proposition 3 Pour tous θet ωdans R, on a
ei θ = ei ω ⇐⇒ θ−ω∈2πZ.
D´em. On a
ei θ = ei ω ⇐⇒ ei(θ−ω)= 1 ⇐⇒ cos(θ−ω)=1,sin(θ−ω)=0,
d’o`u le r´esultat grˆace aux propri´et´es (suppos´ees connues ici) des fonctions cos et sin . 2
3.2 Racines n-i`emes de l’unit´e
Proposition 4 Pour tout n∈N∗, il existe exactement nsolutions de l’´equation
zn= 1 ,
appel´ees racines n-i`emes de l’unit´e. Elles s’´ecrivent ζk
npour k∈ {0, . . . , n −1}, o`u
ζn= e2i π
n.
De plus, elles v´erifient la propri´et´e :
n−1
X
k=0
ζk
n= 0 .
D´em. On a pour tout z∈C,|zn|=|z|n. Donc une solution de zn= 1 est n´ecessairement
de module 1 . Comme
z= ei θ =⇒zn= ei n θ ,
d’apr`es la proposition 3, zn= 1 si et seulement si i n θ ∈2πZ. Donc les solutions sont toutes
de la forme
e2i k π
n, k ∈Z.
Or, pour k≡k0[n],
e2i k π
n= e2i k0π n.
Donc il y a seulement nsolutions distinctes, comme ´enonc´e . La propri´et´e concernant leur
somme se d´eduit de l’identit´e remarquable :
zn−1=(z−1) ( zn−1+··· +z+ 1 ) .
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