Les nombres complexes 1 Introduction

Les nombres complexes
1
Introduction
Un nombre complexe est un couple de nombres réels z = (x, y) . L’ensemble des nombres
complexes, noté C, n’est donc rien d’autre que le plan R2 . En particulier, la somme de deux
nombres complexes z = (x, y) et z 0 = (x0 , y 0 ) est z + z 0 = (x + x0 , y + y 0 ), tandis que pour tout
λ ∈ R et tout z = (x, y) ∈ C, λ z = (λx, λy) . On notera bien sûr −z = (−1) z . La nouveauté
est que l’on définit sur C une multiplication (interne) .
Définition 1 Quels que soient z = (x, y) et z 0 = (x0 , y 0 ) dans C, le produit z z 0 est le nombre
complexe z 00 = (x00 , y 00 ) tel que
x00 = x x0 − y y 0 ,
y 00 = x y 0 + x0 y .
Le produit z z est aussi noté z 2 .
On vérifie sans peine les propriétés suivantes :
• ∀z, z 0 ∈ C ,
z z0 = z0 z ,
• ∀z, z 0 , z 00 ∈ C ,
z [z 0 z 00 ] = [z z 0 ] z 00 ,
• ∀z, z 0 , z 00 ∈ C ,
z [z 0 + z 00 ] = z z 0 + z z 00 ,
• ∀z,
z (1, 0) = z .
Cette dernière propriété nous conduit à noter plus simplement 1 = (1, 0) . Ceci permet
d’identifier tout nombre complexe de la forme z = (x, 0) = x 1 avec le nombre réel x . On
observe que la multiplication par z = (x, 0) dans C coı̈ncide avec la multiplication par x :
∀x ∈ R , ∀z 0 = (x0 , y 0 ) ∈ C ,
(x, 0) z 0 = (x x0 , x y 0 ) = x (x0 , y 0 ) .
D’autre part, on note i = (0, 1) . Ce nombre complexe vérifie la propriété remarquable :
i2 = − 1 .
Autrement dit, i admet pour inverse
1
= −i .
i
C
Interprétation géométrique . On peut représenter
comme le plan (xOy) muni d’une base orthonormée où 1 est le premier vecteur de
base (c’est-à-dire dirigeant l’axe (Ox)) et i est le second vecteur de base (c’est-à-dire dirigeant l’axe (Oy)) .
À chaque nombre complexe z = (x, y) on peut associer le point M de coordonnées (x, y) . On dit alors que z est l’affixe du point M .
On remarque en particulier que la multiplication par i correspond à la rotation d’angle π/2 et de centre O . En effet, si z = (x, y) on a
i z = (−y, x) . Donc si M est le point d’affixe z et M 0 le point d’affixe i z, on a
−−→0
−−→
kOM k = kOM k ,
−−→0 −−→
OM · OM = 0 ,
1
−−→ −−→0
2
2
dét(OM , OM ) = x + y > 0 .
2
Écriture cartésienne
Avec les notations introduites précédemment, on a pour tout nombre complexe z = (x, y) :
z = x1 + yi,
que l’on écrit plus simplement :
z = x + iy.
C’est ce qu’on appelle l’écriture cartésienne de z . Le nombre réel x est appelé partie réelle de
z et le nombre réel y est appelé partie imaginaire de z . On note géneralement :
x = Re z
et y = Im z .
On appelle nombre imaginaire pur un nombre complexe de partie réelle nulle.
2.1
Conjugaison
Définition 2 Quel que soit le nombre complexe z = x + i y avec x et y réels, on appelle
conjugué de z le nombre complexe
z = x − iy.
Interprétation géométrique . Le point d’affixe z est symétrique du point d’affixe z par rapport à l’axe (0x) .
On a les formules évidentes mais bien utiles :
Re z =
z +z
2
et Im z =
z −z
.
2i
Donc en particulier :
• Un nombre complexe z est réel si et seulement si z = z.
• Un nombre complexe z est imaginaire pur si et seulement si z = − z.
Proposition 1 Pour tous nombres complexes z1 et z2 ,
z1 + z2 = z1 + z2
et
z1 z2 = z1 z2 .
Dém. Le cas de la somme est immédiat. Le cas du produit est un calcul facile : si
z1 = x1 + i y1 et z2 = x2 + i y2 , z1 z2 = x1 x2 − y1 y2 + i (x2 y1 + x1 y2 ) donc
z1 z2 = x1 x2 − y1 y2 − i (x2 y1 + x1 y2 ) = (x1 − i y1 ) (x2 − i y2 ) = z1 z2 .
2
On remarque que pout tout z = x + i y (avec x et y réels), le produit z z est un nombre
réel positif . En effet,
z z = (x + i y) (x − i y) = x2 + y 2 .
2
2.2
Module
Définition 3 Pour tout nombre complexe z, on appelle module de z le nombre réel positif
√
|z| = z z .
p
Autrement dit, si z = x + i y avec x et y réels, |z| = x2 + y 2 . En particulier, si z = x est
réel, son module |z| est égal à la valeur absolue |x| de x . Les notations sont cohérentes ! De
façon plus générale, on a les inégalités :
|Re z| ≤ |z| et |Im z| ≤ |z| .
Interprétation géométrique . Si M est le point d’affixe z, on a
−−→
|z| = kOM k .
Un corollaire immédiat de la définition du module et de la proposition 1 est que pour tous
nombres complexes z1 et z2 ,
| z1 z2 | = |z1 | |z2 | .
Attention ! En général,
| z1 + z2 | =
6 |z1 | + |z2 | .
On a seulement l’inégalité
| z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | .
Proposition 2 Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s’ils ont même module,
même partie réelle et leurs parties imaginaires ont le même signe .
Dém. La partie directe est évidente : si z = z 0 alors |z| = |z 0 |, Re z = Re z 0 et Im z = Im z 0
sont de même signe . Réciproquement, supposons |z| = |z 0 |, Re z = Re z 0 . Alors
(Im z)2 = |z|2 − (Re z)2 = |z 0 |2 − (Re z 0 )2 = (Im z 0 )2 .
Si de plus Im z et Im z 0 sont de même signe alors nécessairement Im z = Im z 0 .
2
Cette proposition d’apparence anodine est très utile pour rechercher les racines deuxièmes
d’un nombre complexe Z, c’est-à-dire les nombres z tels que z 2 = Z . En effet, d’après cette
proposition on a z 2 = Z si et seulement si
|z 2 | = Z ,
Re (z 2 ) = Re Z
et Im (z 2 ) Im Z ≥ 0 .
En utilisant la propriété |z 2 | = |z|2 , ceci se traduit sur x = Re z et y = Im z par
 2
 x + y 2 = |Z| ,
x2 − y 2 = Re Z ,

x y Im Z ≥ 0 ,
et ce système est équivalent à

 2 x2 = |Z| + Re Z ,
2 y 2 = |Z| − Re Z ,

x y Im Z ≥ 0 .
On trouve ainsi exactement deux racines deuxièmes de Z (si Z est non nul) .
Si par exemple Im Z est positif, z 2 = Z équivaut à z = z1 ou z = z2 avec :
s
z1 =
|Z| + Re Z
2
s
z2 = −
|Z| + Re Z
2
s
+ i
|Z| − Re Z
2
s
− i
,
|Z| − Re Z
2
.
Il n’est pas indispensable de retenir ces formules, il vaut mieux savoir les retrouver en pratique !
3
2.3
Inversion
Si z = x + i y (avec x et y réels) est un nombre complexe non nul, il admet pour inverse
1
z
x
y
=
= 2
−i 2
.
z
zz
x + y2
x + y2
3
Nombres complexes de module 1
On note parfois U l’ensemble des nombres complexes de module égal à 1 .
Une remarque évidente mais souvent commode dans les calculs est
|z| = 1
1
= z.
z
⇔
On remarque aussi que U est stable par la multiplication, c’est-à-dire si z1 et z2 sont de
module 1, alors leur produit z1 z2 est aussi de module 1 .
Interprétation géométrique . L’ensemble
3.1
U s’identifie avec le cercle unité (centré en O) .
Description analytique de U
Les nombres complexes 1 et i appartiennent bien sûr à U .
trigonométrie
cos2 θ + sin2 θ = 1
D’autre part, la formule de
montre que tout nombre de la forme cos θ + i sin θ est de module 1 . Inversement, pour tout
z ∈ U,
|Re z| ≤ |z| = 1
donc il existe θ ∈ R tel que Re z = cos θ . De plus, on a
(Im z)2 = |z|2 − (Re z)2 = 1 − cos2 θ = sin2 θ .
Donc Im z = sin θ ou Im z = sin(−θ) (car la fonction sin est impaire) . Ainsi, dans le premier
cas on a z = cos θ + i sin θ et dans le second cas on a z = cos(−θ) + i sin(−θ) (car la fonction
cos est paire) . Ceci montre que
U = { z = cos θ + i sin θ tel que θ ∈ R } .
Quel que soit θ ∈ R, on note :
ei θ = cos θ + i sin θ .
En fait, on peut définir ei θ sans supposer les fonctions cos et sin connues, comme la somme d’une série :
e
iθ
=
+∞
X
(i θ)n
n=0
n!
=
+∞
X
(−1)k θ 2k
k=0
(2k)!
+ i
+∞
X
(−1)k θ 2k+1
k=0
(2k + 1)!
,
et la première somme définit cos θ tandis que la seconde définit sin θ . (Il n’est alors pas immédiatement évident que les fonctions cos et sin
sont 2π-périodiques !)
D’après les propriétés de parité des fonctions cos et sin, on a
ei θ = e−i θ .
De plus, en utilisant les formules de trigonométrie :
cos(θ + ω) = cos θ cos ω − sin θ sin ω ,
sin(θ + ω) = sin θ cos ω + cos θ sin ω ,
on voit que
4
ei (θ+ω) = ei θ ei ω
pour tout θ et tout ω dans R .
On peut inversement utiliser cette formule pour retrouver les formules de trigonométrie !
Interprétation géométrique . La multiplication par ei θ correspond à la rotation d’angle θ et de centre O.
On remarque que ei 0 = 1. De plus, en notant
z n = z| .{z
. . z}
n fois
pour tout n ∈ N∗ et z ∈ C, on déduit de la formule précédente que pour tout θ ∈ R :
¡ ¢n
ei n θ = ei θ
(formule de Moivre)
Proposition 3 Pour tous θ et ω dans R, on a
ei θ = ei ω
⇐⇒
θ − ω ∈ 2πZ .
Dém. On a
ei θ = ei ω
⇐⇒
ei (θ−ω) = 1
⇐⇒
cos(θ − ω) = 1 , sin(θ − ω) = 0 ,
d’où le résultat grâce aux propriétés (supposées connues ici) des fonctions cos et sin .
3.2
2
Racines n-ièmes de l’unité
Proposition 4 Pour tout n ∈ N∗ , il existe exactement n solutions de l’équation
zn = 1 ,
appelées racines n-ièmes de l’unité. Elles s’écrivent ζnk pour k ∈ {0, . . . , n − 1}, où
ζn = e
2iπ
n
.
De plus, elles vérifient la propriété :
n−1
X
ζnk = 0 .
k=0
Dém. On a pour tout z ∈ C, |z n | = |z|n . Donc une solution de z n = 1 est nécessairement
de module 1 . Comme
z = ei θ =⇒ z n = ei n θ ,
d’après la proposition 3, z n = 1 si et seulement si i n θ ∈ 2 π Z . Donc les solutions sont toutes
de la forme
2ikπ
e n , k ∈ Z.
Or, pour k ≡ k 0 [n],
e
2ikπ
n
= e
2 i k0 π
n
.
Donc il y a seulement n solutions distinctes, comme énoncé . La propriété concernant leur
somme se déduit de l’identité remarquable :
z n − 1 = (z − 1) ( z n−1 + · · · + z + 1 ) .
2
5
Exemples : Les racines deuxièmes de l’unité sont 1 et −1 = ei π . Les racines quatrièmes de
l’unité sont 1, i, −1 et −i . C’est l’occasion de remarquer l’égalité :
i = e
iπ
2
.
D’autre part, les racines cubiques de l’unité sont 1, j et j 2 , où
déf
j = e
2iπ
3
=
1
2
√
3
2
+i
.
C’est une notation qu’il vaut mieux connaı̂tre1 , ainsi que la formule :
1 + j + j2 = 0 .
4
Écriture trigonométrique
Si z est un nombre complexe non nul, alors z/|z| est un nombre complexe de module 1, s’écrivant
donc ei θ pour θ ∈ R . Il est d’usage de noter r = |z| ∈ R+∗ , si bien que
z = r ei θ .
C’est ce qu’on appelle l’écriture trigonométrique de z . Une conséquence quasi-immédiate de la
proposition 3 est la suivante .
Proposition 5 Soient θ1 et θ2 dans R, r1 et r2 dans R+∗ . On a
r1 ei θ1 = r2 ei θ2
⇐⇒
r1 = r2
et
θ1 − θ2 ∈ 2πZ .
En particulier, l’écriture trigonométrique r ei θ d’un nombre complexe non nul est unique si l’on
impose r ∈ R+∗ et θ ∈ [0, 2π[ .
Interprétation géométrique . Si M est le point d’affixe z = r ei θ avec r ∈
R+∗ et θ ∈ [0, 2π[, on a
−−→
r = kOM k
−−→
et θ est l’angle entre le vecteur de base 1 de l’axe (Ox) et le vecteur OM .
5
Équation du second degré dans C
Soient a, b et c trois nombres complexes avec a 6= 0 . Cherchons les solutions de l’équation :
a z2 + b z + c = 0 .
La méthode est la même que pour les équations à coefficients réels . On réécrit :
¶
µ
¶
µ
c
b 2
b2 − 4ac
b
= a (z +
) −
.
a z2 + b z + c = a z2 + z +
a
a
2a
4a2
Soit ∆ = b2 − 4ac et δ une racine deuxième de ∆ (que l’on peut calculer par la méthode décrite
au § 2.2) . Alors
µ
¶ µ
¶
b+δ
b−δ
2
az + bz + c = a z +
z +
.
2a
2a
Par conséquent, les solutions de l’équation a z 2 + b z + c = 0 sont

−b − δ


,

 z1 =
2a



 z2 = −b + δ .
2a
Il faut connaı̂tre ces formules !
1
Attention cependant, j désigne parfois i en physique !
6