Feuille 1 Exercice 1. On note X et Y deux ensembles, et f : X → Y

Universit´e Paris XII, UFR Sciences et Technologie 2010-2011
Master premi` ere ann´ ee Analyse fonctionnelle
Feuille 1
Exercice 1. On note Xet Ydeux ensembles, et f:X→Yune fonction. Si A⊂Y, la
pr´e-image (ou image r´eciproque) de Apar fest not´ee −1 f(A).
a) Si A, B ⊂Y, montrer que −1 f(A∪B) = −1 f(A)∪−1 f(B).
b) Si A, B ⊂Y, montrer que −1 f(A∩B) = −1 f(A)∩−1 f(B).
c) Si A, B ⊂X, comparer f(A∪B) et f(A)∪f(B).
d) Si A, B ⊂X, comparer f(A∩B) et f(A)∩f(B).
e) Si B⊂Y, montrer que −1 f(Y\B) = X\−1 f(B).
f) Si A⊂X, comparer f(X\A) et Y\f(A).
g) Si A⊂X, comparer Aet −1 f(f(A)). Que dire de fsi on a ´egalit´e pour tout A?
h) Si B⊂Y, comparer Bet f(−1 f(B)). Que dire de fsi on a ´egalit´e pour tout B?
Exercice 2. Montrer que dans un espace topologique s´epar´e tout singleton est ferm´e.
Exercice 3. Montrer l’unicit´e de la limite dans le cas d’un espace topologique s´epar´e.
Que peut-on dire dans le cas g´en´eral ?
Exercice 4. Soit (X, O) un espace topologique et A⊂X. Montrer que l’ensemble OA
des parties Ω de A telles qu’il existe Ω0∈ O tel que Ω = Ω0∩Aest une topologie sur A
(c’est la topologie induite par Osur A).
Exercice 5. On consid`ere Rmuni de la topologie de la valeur absolue.
a) Montrer que cette topologie est s´epar´ee.
b) Donner des exemples d’ouverts, de ferm´es et de compacts de R.
c) Donner un exemple de base de voisinages.
d) Montrer que Qet R\Qsont denses dans R.
e) Trouver l’int´erieur, l’adh´erence et la fronti`ere de [0,1[.
Exercice 6. Soit (X, O) un espace topologique, Aet Bdeux parties de X. Montrer les
propri´et´es suivantes :
a) A=Asi et seulement si Aest ferm´e.
b) A=˚ Asi et seulement si Aest ouvert.
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c) X\A=˚
z {
X\Aet X\˚ A=X\A.
d) La fronti`ere de Aest ´egale `a X\˚ A∪˚
z {
X\A=A∩X\A.
e) ˚ A∩˚ B=˚
z {
A∩Bet A∪B=A∪B.
f) A-t-on forc´ement ˚ A∪˚ B=˚
z {
A∪B?
g) A-t-on forc´ement A∩B=A∩B?
h) A-t-on forc´ement ˚ A=A?
i) A-t-on forc´ement ˚ A=˚ A?
Exercice 7. Montrer qu’un espace topologique s´epar´e est compact si et seulement si
de toute famille de ferm´es d’intersection vide, on peut extraire une sous-famille finie
d’intersection vide.
Exercice 8. Dans un espace topologique compact, montrer que l’intersection d’une suite
d´ecroissante de ferm´es non vides, est un ferm´e non vide.
Peut-on supprimer l’hypoth`ese de compacit´e ?
Exercice 9. Soient Xet X0deux parties compactes disjointes d’un espace topologique
s´epar´e E. Montrer qu’il existe deux ouverts disjoints de Econtenant respectivement X
et X0.
Exercice 10. Soit Eun espace topologique compact, Fun espace topologique s´epar´e et
fune bijection continue de Esur F.
Montrer que Fest compact et que fest un hom´eomorphisme (c’est-`a-dire que fet
f−1sont continues).
Exercice 11. Montrer qu’un espace m´etrique est s´epar´e.
Exercice 12. Soient E, F et Gtrois espaces topologiques et x0∈E. Soit
f:E−→ F×G
x7−→ (f1(x), f2(x)).
On munit F×Gde la topologie produit.
Montrer que fa pour limite (`1, `2)∈F×Gen x0si et seulement si f1a pour limite
`1en x0et f2a pour limite `2en x0.
Exercice 13. Soit Eet Fdeux espaces topologiques et f:E→F. On suppose F
s´epar´e.
a) Montrer que si fest continue alors son graphe est ferm´e dans E×F.
b) Montrer par un exemple que la r´eciproque est fausse.
c) Retrouver le r´esultat de la premi`ere question si Eet Fsont des espaces vectoriels
norm´es.
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Exercice 14. Soit Xun espace topologique et (xn)n∈Nune suite d’´el´ements de X.
Rappeler la d´efinition d’une valeur d’adh´erence et d´emontrer que l’ensemble des valeurs
d’adh´erence de (xn)n∈Ns’´ecrit:
A=\
n∈N{xp, p ≥n}.
Exercice 15. Soit uune suite r´eelle ne tendant pas vers l’infini. Est-elle convergente?
Montrer que l’on peut en extraire une sous-suite born´ee.
Exercice 16. Soit (xn) une suite d’un espace m´etrique Equi converge vers x. Montrer
que {xn, n ≥0}∪{x}est compact.
Exercice 17. Le but de cet exercice est d’utiliser des r´esultats de densit´e pour obtenir
les valeurs d’adh´erence de suites r´eelles.
1- Sous-groupes de R:Soit Gun sous-groupe du groupe additif (R,+). Consid´erons
le r´eel m= inf G∩]0,+∞]
a) Supposons que cet infimum soit atteint, c’est-`a dire que m∈G. Montrer que dans
ce cas G=mZ(on pourra d’abord prouver que pour tout r´eel x, il existe un unique
entier qet un unique r∈[0, m[ tels que x=qm +r).
b) Supposons maintenant que l’inf n’est pas atteint. Prouver que l’inf vaut n´ecessairement
0. En d´eduire que Gest dense dans R.
c) Qu’a-t-on d´emontr´e? Dans quel cas un sous-groupe de Rest ferm´e ?
d) Application: soit une fonction f:R7→ R. On d´efinit l’ensemble de ses p´eriodes
P(f) = {x∈R:∀y∈R, f(x+y) = f(y)}. Montrer que c’est un sous-groupe
de R. En d´eduire qu’on peut d´efinir la p´eriode d’une fonction continue p´eriodique
non constante.
e) Application: si a, b > 0 montrer que aZ+bZest dense si a
b6∈ Q, et de la forme mZ
sinon.
f) On consid`ere a, b > 0. Montrer que aN−bNest dense dans Rsi et seulement si
a
b6∈ Q(attention, il ne s’agit plus d’un sous-groupe de R).
•Pour la r´eciproque on veut prouver que pour tout ε > 0 il existe p, q ∈Ntels
que 0 < ap −bq < ε. En quoi cela entraˆıne-t’il la densit´e?
•Afin de prouver la propri´et´e pr´ec´edente, quitte `a diminuer εon peut le supposer
strictement inf´erieur `a min(a, b). Montrer qu’il existe p, q ∈Zde mˆeme signe
tels que 0 < ap −bq < ε. S’ils sont tous deux positifs qu’a-ton prouv´e? Dans
le cas o`u ils sont tous deux n´egatifs, prouver qu’il existe p0, q0de mˆeme signe
tels que 0 < ap0−bq0<ap−bq
K<ε K, avec K= max(|p|,|q|). De mˆeme conclure
selon le signe commun de ces deux entiers.
•Conclure.
g) Application: Qu’en d´eduit-on pour l’ensemble N−2πN?
2- Densit´e: Soit une fonction f:R7→ Rcontinue. Supposons que l’ensemble Aest
dense dans R. Prouver que f(A) est dense dans f(R).
3- Application: D´eterminer les valeurs d’adh´erence des suites suivantes:
an= cos(n), bn= sin(n), cn= (1 + e−n) sin(n), dn= (1 + e1
n) sin( 1
n).
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Exercice 18. Ensembles d´enombrables.
a) Soit Iune partie finie (respectivement infinie) de N. Montrer qu’il existe une
bijection strictement croissante de Isur {0, ..., q −1}avec qle cardinal de I(re-
spectivement N).
b) Soit I un ensemble quelconque, montrer que les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes:
•Il existe une bijection de Isur un ensemble du type {0, ..., q −1}ou N.
•Il existe une bijection de Isur une partie de N.
•Il existe une suite croissante (Jn)n∈Nde parties finies de Itelles que
I=∪n∈NJn.
On dit dans ce cas que Iest d´enombrable.
c) Montrer que Qest d´enombrable.
d) Montrer que le produit d’un nombre fini de d´enombrables est d´enombrable, puis
que l’union d’un nombre d´enombrable de d´enombrables est d´enombrable.
e) Prouver que s’il existe une injection de Idans un d´enombrable ou bien une surjec-
tion d’un d´enombrable sur Ialors Iest d´enombrable.
f) Montrer que Rn’est pas d´enombrable (on raisonnera par l’absurde en supposant
connue une bijection de Nsur [0,1[ qui `a kassocie un nombre xkdont l’´ecriture
propre en base 10 est not´ee xk= 0, ak,1...ak,n..., puis l’on consid`erera le r´eel y=
0, b1...bn... tel que pour tout n,bn∈ {0, ..., 8}et bn6=an,n).
Exercice 19. On consid`ere une suite r´eelle (xn)n∈N.
a) Si (xn) est minor´ee montrer qu’il en est de mˆeme pour l’ensemble de ses valeurs
d’adh´erence.
b) Sous les mˆemes hypoth`eses, montrer que la suite yn= infk≥nxkest croissante, sa
limite (dans R∪ {±∞}) sera not´ee lim inf xn. Montrer que c’est aussi la borne
inf´erieure de l’ensemble des valeurs d’adh´erence de la suite.
c) De mˆeme si la suite est major´ee, d´efinir la notion de lim sup xn.
d) Lorsque ces deux limites sont ´egales, prouver que la suite (xn) est convergente.
e) Calculer les lim sup et lim inf des suites suivantes:
•an=n,
•bn=−n,
•cn=1
n+1 ,
•dn= cos(n).
Exercice 20. Pour tout (x, y)∈R2,on d´efinit
d(x, y) = |x−y|et δ(x, y) = |arctan x−arctan y|.
a) Montrer que det δsont deux distances sur R.Sont-elles ´equivalentes ?
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b) Montrer que l’application identit´e est un hom´eomorphisme de (R, d) sur (R, δ).
c) D´ecrire les boules ouvertes de (R, δ).
Exercice 21. Soit I un ensemble, et f, g :I→Rdeux fonctions born´ees.
a) Montrer que |supIf−supIg| ≤ supI|f−g|et que |infIf−infIg| ≤ supI|f−g|.
b) En d´eduire que, si A⊂Xavec Xespace m´etrique, l’application x→d(x, A) est
lipschitzienne.
Exercice 22. Soit Aet Bdeux parties ferm´ees disjointes et non vides d’un espace
m´etrique (E, d).
a) Montrer que l’application φ:x7→ d(x, A)−d(x, B) est continue.
b) En d´eduire qu’il existe deux ouverts disjoints Uet Vtels que A⊂Uet B⊂V.
Exercice 23. Soit (E, d) un espace m´etrique. Montrer que tout ouvert est union d´enom-
brable de ferm´es.
Exercice 24. Quels sont les compacts de R+
∗muni de la distance d(x, y) = 
1
x−1 y
?
Exercice 25. Soit f∈ C([a, b],R) (0 < a < b). On suppose que ∀x∈[a, b], 0 ≤f(x)< x.
Montrer qu’il existe une constante k < 1 telle que ∀x∈[a, b], f(x)≤kx.
Exercice 26. Montrer que dans un espace m´etrique, la distance entre un compact et un
ferm´e disjoints non vides est strictement positive.
Exercice 27. Soit fune application entre deux espaces m´etriques (E, d) et (F, d0),le
deuxi`eme ´etant compact.
Montrer que fest continue si et seulement si son graphe est ferm´e.
Exercice 28. Montrer que tout espace m´etrique compact admet une partie d´enombrable
dense.
Exercice 29. On d´efinit la suite r´eelle (un)n∈Npar son premier terme u0∈R+et la
relation de r´ecurrence un+1 =√1 + un.Que dire de la convergence de la suite ? On
pourra faire appel au th´eor`eme du point fixe (que l’on ´enoncera pr´ecis´ement).
Exercice 30. Soit (E, d) un espace m´etrique complet et f:E→E. On suppose que
f◦fest contractante. Montrer que fa un unique point fixe.
Exercice 31. Soit (X, d) un espace m´etrique compact et f:X→Xune application
diminuant strictement les distances. Montrer que fa un unique point fixe. On pourra
introduire l’application x7→ d(x, f(x)).
Exercice 32. Soit f:X→Xcontinue, o`u Xest un espace m´etrique compact. Montrer
qu’il existe une partie non vide Ade Xtelle que f(A) = A.
Exercice 33. Soit (E, d) un espace m´etrique et r > 0 un r´eel fix´e. Si Aest un compact
de E, montrer que B=Sx∈AB(x, r) est un ferm´e.
Exercice 34. On consid`ere une suite (Xn, dn)n∈Nd’espaces m´etriques. On d´efinit la
fonction
d(x, y) = X
n∈N
min(1, dn(xn, yn))
2npour tout x∈Y
n∈N
Xnet y∈Y
n∈N
Xn.
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