Feuille 1 Exercice 1. On note X et Y deux ensembles, et f : X → Y

Université Paris XII, UFR Sciences et Technologie
Master première année
2010-2011
Analyse fonctionnelle
Feuille 1
Exercice 1. On note X et Y deux ensembles, et f : X → Y une fonction. Si A ⊂ Y , la
−1
pré-image (ou image réciproque) de A par f est notée f (A).
−1
−1
−1
a) Si A, B ⊂ Y , montrer que f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B).
−1
−1
−1
b) Si A, B ⊂ Y , montrer que f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B).
c) Si A, B ⊂ X, comparer f (A ∪ B) et f (A) ∪ f (B).
d) Si A, B ⊂ X, comparer f (A ∩ B) et f (A) ∩ f (B).
−1
−1
e) Si B ⊂ Y , montrer que f (Y \ B) = X \ f (B).
f) Si A ⊂ X, comparer f (X \ A) et Y \ f (A).
−1
g) Si A ⊂ X, comparer A et f (f (A)). Que dire de f si on a égalité pour tout A?
−1
h) Si B ⊂ Y , comparer B et f ( f (B)). Que dire de f si on a égalité pour tout B?
Exercice 2. Montrer que dans un espace topologique séparé tout singleton est fermé.
Exercice 3. Montrer l’unicité de la limite dans le cas d’un espace topologique séparé.
Que peut-on dire dans le cas général ?
Exercice 4. Soit (X, O) un espace topologique et A ⊂ X. Montrer que l’ensemble OA
des parties Ω de A telles qu’il existe Ω0 ∈ O tel que Ω = Ω0 ∩ A est une topologie sur A
(c’est la topologie induite par O sur A).
Exercice 5. On considère R muni de la topologie de la valeur absolue.
a) Montrer que cette topologie est séparée.
b) Donner des exemples d’ouverts, de fermés et de compacts de R.
c) Donner un exemple de base de voisinages.
d) Montrer que Q et R \ Q sont denses dans R.
e) Trouver l’intérieur, l’adhérence et la frontière de [0, 1[.
Exercice 6. Soit (X, O) un espace topologique, A et B deux parties de X. Montrer les
propriétés suivantes :
a) A = A si et seulement si A est fermé.
b) A = Å si et seulement si A est ouvert.
1
z
˚ {
c) X \A = X \A et X \ Å = X \A.
z
˚ {
d) La frontière de A est égale à X \ Å ∪ X \A = A ∩ X \ A.
z
˚ { et A ∪ B = A ∪ B.
e) Å ∩ B̊ = A∩B
z
˚ {?
f) A-t-on forcément Å ∪ B̊ = A∪B
g) A-t-on forcément A ∩ B = A ∩ B ?
h) A-t-on forcément Å = A ?
A?
i) A-t-on forcément Å = ˚
Exercice 7. Montrer qu’un espace topologique séparé est compact si et seulement si
de toute famille de fermés d’intersection vide, on peut extraire une sous-famille finie
d’intersection vide.
Exercice 8. Dans un espace topologique compact, montrer que l’intersection d’une suite
décroissante de fermés non vides, est un fermé non vide.
Peut-on supprimer l’hypothèse de compacité ?
Exercice 9. Soient X et X 0 deux parties compactes disjointes d’un espace topologique
séparé E. Montrer qu’il existe deux ouverts disjoints de E contenant respectivement X
et X 0 .
Exercice 10. Soit E un espace topologique compact, F un espace topologique séparé et
f une bijection continue de E sur F.
Montrer que F est compact et que f est un homéomorphisme (c’est-à-dire que f et
f −1 sont continues).
Exercice 11. Montrer qu’un espace métrique est séparé.
Exercice 12. Soient E, F et G trois espaces topologiques et x0 ∈ E. Soit
E −→ F × G
f:
x 7−→ (f1 (x), f2 (x)).
On munit F × G de la topologie produit.
Montrer que f a pour limite (`1 , `2 ) ∈ F × G en x0 si et seulement si f1 a pour limite
`1 en x0 et f2 a pour limite `2 en x0 .
Exercice 13. Soit E et F deux espaces topologiques et f : E → F . On suppose F
séparé.
a) Montrer que si f est continue alors son graphe est fermé dans E × F.
b) Montrer par un exemple que la réciproque est fausse.
c) Retrouver le résultat de la première question si E et F sont des espaces vectoriels
normés.
2
Exercice 14. Soit X un espace topologique et (xn )n∈N une suite d’éléments de X.
Rappeler la définition d’une valeur d’adhérence et démontrer que l’ensemble des valeurs
d’adhérence de (xn )n∈N s’écrit:
\
A=
{xp , p ≥ n}.
n∈N
Exercice 15. Soit u une suite réelle ne tendant pas vers l’infini. Est-elle convergente?
Montrer que l’on peut en extraire une sous-suite bornée.
Exercice 16. Soit (xn ) une suite d’un espace métrique E qui converge vers x. Montrer
que {xn , n ≥ 0} ∪ {x} est compact.
Exercice 17. Le but de cet exercice est d’utiliser des résultats de densité pour obtenir
les valeurs d’adhérence de suites réelles.
1- Sous-groupes de R: Soit G un sous-groupe du groupe additif (R, +). Considérons
le réel m = inf G∩]0, +∞]
a) Supposons que cet infimum soit atteint, c’est-à dire que m ∈ G. Montrer que dans
ce cas G = mZ (on pourra d’abord prouver que pour tout réel x, il existe un unique
entier q et un unique r ∈ [0, m[ tels que x = qm + r).
b) Supposons maintenant que l’inf n’est pas atteint. Prouver que l’inf vaut nécessairement
0. En déduire que G est dense dans R.
c) Qu’a-t-on démontré? Dans quel cas un sous-groupe de R est fermé ?
d) Application: soit une fonction f : R 7→ R. On définit l’ensemble de ses périodes
P (f ) = {x ∈ R : ∀y ∈ R, f (x + y) = f (y)}. Montrer que c’est un sous-groupe
de R. En déduire qu’on peut définir la période d’une fonction continue périodique
non constante.
e) Application: si a, b > 0 montrer que aZ + bZ est dense si
sinon.
a
b
6∈ Q, et de la forme mZ
f) On considère a, b > 0. Montrer que aN − bN est dense dans R si et seulement si
a
b 6∈ Q (attention, il ne s’agit plus d’un sous-groupe de R).
• Pour la réciproque on veut prouver que pour tout ε > 0 il existe p, q ∈ N tels
que 0 < ap − bq < ε. En quoi cela entraı̂ne-t’il la densité?
• Afin de prouver la propriété précédente, quitte à diminuer ε on peut le supposer
strictement inférieur à min(a, b). Montrer qu’il existe p, q ∈ Z de même signe
tels que 0 < ap − bq < ε. S’ils sont tous deux positifs qu’a-ton prouvé? Dans
le cas où ils sont tous deux négatifs, prouver qu’il existe p0 , q 0 de même signe
tels que 0 < ap0 − bq 0 < ap−bq
< Kε , avec K = max(|p|, |q|). De même conclure
K
selon le signe commun de ces deux entiers.
• Conclure.
g) Application: Qu’en déduit-on pour l’ensemble N − 2πN ?
2- Densité: Soit une fonction f : R 7→ R continue. Supposons que l’ensemble A est
dense dans R. Prouver que f (A) est dense dans f (R).
3- Application: Déterminer les valeurs d’adhérence des suites suivantes:
an = cos(n),
bn = sin(n),
cn = (1 + e−n ) sin(n),
3
1
1
dn = (1 + e n ) sin( ).
n
Exercice 18. Ensembles dénombrables.
a) Soit I une partie finie (respectivement infinie) de N. Montrer qu’il existe une
bijection strictement croissante de I sur {0, ..., q − 1} avec q le cardinal de I (respectivement N).
b) Soit I un ensemble quelconque, montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes:
• Il existe une bijection de I sur un ensemble du type {0, ..., q − 1} ou N.
• Il existe une bijection de I sur une partie de N.
• Il existe une suite croissante (Jn )n∈N de parties finies de I telles que
I = ∪n∈N Jn .
On dit dans ce cas que I est dénombrable.
c) Montrer que Q est dénombrable.
d) Montrer que le produit d’un nombre fini de dénombrables est dénombrable, puis
que l’union d’un nombre dénombrable de dénombrables est dénombrable.
e) Prouver que s’il existe une injection de I dans un dénombrable ou bien une surjection d’un dénombrable sur I alors I est dénombrable.
f) Montrer que R n’est pas dénombrable (on raisonnera par l’absurde en supposant
connue une bijection de N sur [0, 1[ qui à k associe un nombre xk dont l’écriture
propre en base 10 est notée xk = 0, ak,1 ...ak,n ..., puis l’on considèrera le réel y =
0, b1 ...bn ... tel que pour tout n, bn ∈ {0, ..., 8} et bn 6= an,n ).
Exercice 19. On considère une suite réelle (xn )n∈N .
a) Si (xn ) est minorée montrer qu’il en est de même pour l’ensemble de ses valeurs
d’adhérence.
b) Sous les mêmes hypothèses, montrer que la suite yn = inf k≥n xk est croissante, sa
limite (dans R ∪ {±∞}) sera notée lim inf xn . Montrer que c’est aussi la borne
inférieure de l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite.
c) De même si la suite est majorée, définir la notion de lim sup xn .
d) Lorsque ces deux limites sont égales, prouver que la suite (xn ) est convergente.
e) Calculer les lim sup et lim inf des suites suivantes:
• an = n,
• bn = −n,
• cn =
1
n+1 ,
• dn = cos(n).
Exercice 20. Pour tout (x, y) ∈ R2 , on définit
d(x, y) = |x − y| et
δ(x, y) = | arctan x − arctan y|.
a) Montrer que d et δ sont deux distances sur R. Sont-elles équivalentes ?
4
b) Montrer que l’application identité est un homéomorphisme de (R, d) sur (R, δ).
c) Décrire les boules ouvertes de (R, δ).
Exercice 21. Soit I un ensemble, et f, g : I → R deux fonctions bornées.
a) Montrer que | supI f − supI g| ≤ supI |f − g| et que | inf I f − inf I g| ≤ supI |f − g|.
b) En déduire que, si A ⊂ X avec X espace métrique, l’application x → d(x, A) est
lipschitzienne.
Exercice 22. Soit A et B deux parties fermées disjointes et non vides d’un espace
métrique (E, d).
a) Montrer que l’application φ : x 7→ d(x, A) − d(x, B) est continue.
b) En déduire qu’il existe deux ouverts disjoints U et V tels que A ⊂ U et B ⊂ V.
Exercice 23. Soit (E, d) un espace métrique. Montrer que tout ouvert est union dénombrable de fermés.
1 1
Exercice 24. Quels sont les compacts de R+
∗ muni de la distance d(x, y) = x − y ?
Exercice 25. Soit f ∈ C([a, b], R) (0 < a < b). On suppose que ∀x ∈ [a, b], 0 ≤ f (x) < x.
Montrer qu’il existe une constante k < 1 telle que ∀x ∈ [a, b], f (x) ≤ kx.
Exercice 26. Montrer que dans un espace métrique, la distance entre un compact et un
fermé disjoints non vides est strictement positive.
Exercice 27. Soit f une application entre deux espaces métriques (E, d) et (F, d0 ), le
deuxième étant compact.
Montrer que f est continue si et seulement si son graphe est fermé.
Exercice 28. Montrer que tout espace métrique compact admet une partie dénombrable
dense.
+
Exercice 29. On définit la suite
√ réelle (un )n∈N par son premier terme u0 ∈ R et la
relation de récurrence un+1 = 1 + un . Que dire de la convergence de la suite ? On
pourra faire appel au théorème du point fixe (que l’on énoncera précisément).
Exercice 30. Soit (E, d) un espace métrique complet et f : E → E. On suppose que
f ◦ f est contractante. Montrer que f a un unique point fixe.
Exercice 31. Soit (X, d) un espace métrique compact et f : X → X une application
diminuant strictement les distances. Montrer que f a un unique point fixe. On pourra
introduire l’application x 7→ d(x, f (x)).
Exercice 32. Soit f : X → X continue, où X est un espace métrique compact. Montrer
qu’il existe une partie non vide A de X telle que f (A) = A.
Exercice 33. Soit (E, d)
S un espace métrique et r > 0 un réel fixé. Si A est un compact
de E, montrer que B = x∈A B(x, r) est un fermé.
Exercice 34. On considère une suite (Xn , dn )n∈N d’espaces métriques. On définit la
fonction
X min(1, dn (xn , yn ))
Y
Y
d(x, y) =
pour
tout
x
∈
X
et
y
∈
Xn .
n
2n
n∈N
n∈N
5
n∈N
a) Montrer que
Q
n∈N Xn , d
est un espace métrique.
b) Si de plus tous les (Xn , dn ) sont compacts, montrer que
Q
n∈N Xn , d
est compact.
Exercice 35. Soit δ ≥ 0 et E, un ensemble dénombrable. On note E = {ai , i ∈ N∗ }
avec ai 6= aj si i 6= j, et on définit
δ + 1i + 1j si i 6= j,
d(ai , aj ) =
0
si i = j.
a) Montrer que d est une distance sur E.
b) Que peut on dire de la suite (ai )i∈N ?
c) L’espace métrique E est il complet ?
d) Montrer que l’application f : ai 7→ ai+1 diminue strictement les distances mais n’a
pas de point fixe.
Exercice 36. Soit (E, d) un espace métrique. Pour x 6= y, on pose
d0 (x, y) =
d(x, y)
.
1 + d(x, y)
a) Montrer que l’application identité est un homéomorphisme de (E, d) dans (E, d0 ).
b) Montrer que (E, d0 ) est borné.
c) Quelle conclusion en tirez-vous sur la propriété de bornitude ?
Exercice 37. Montrer qu’un espace métrique est complet si et seulement si toute suite
décroissante de fermés non vides dont le diamètre tend vers 0 a une intersection non vide.
Exercice 38. Montrer que l’adhérence d’un sous-espace d’un espace vectoriel normé est
encore un espace vectoriel.
Exercice 39. Soit A et B deux parties non vides d’un e.v.n E.
a) On suppose A et B compacts. Montrer que A + B est compact et que la réunion
des segments joignant A à B est également compacte.
b) On suppose A compact et B fermé. Montrer que A + B est fermé. Le résultat
reste-t-il vrai si l’on suppose seulement A fermé ?
c) On suppose A ouvert et B quelconque. Montrer que A + B est ouvert.
Exercice 40. Soit E un espace vectoriel normé et N1 et N2 deux normes sur E.
a) Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes:
• Il existe une constante C > 0 telle que ∀v ∈ E, N2 (v) ≤ CN1 (v),
• Toute suite de E tendant vers zéro pour N1 tend vers zéro pour N2 ,
• Un ouvert de E pour N2 l’est aussi pour N1 .
b) Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes:
• Les deux normes sont équivalentes,
6
• Elles ont les mêmes suites convergeant vers 0,
• Les ouverts associés à N1 sont les mêmes que ceux associés à N2 .
c) Montrer que les normes sont équivalentes si, et seulement si, l’application identité est un homéomorphisme de (E, N1 ) dans (E, N2 ). Comparer au résultat de
l’exercice 20.
1
Rb
Exercice 41. Soit E = C([a, b], R) (a < b). Pour f ∈ E, on note kf kp = a |f (t)|p dt p
si p ≥ 1, et kf k∞ = supt∈[a,b] |f (t)|.
a) Prouver que pour toute fonction f de E, on a
√
√
kf k1 ≤ b − akf k2 , kf k1 ≤ (b − a)kf k∞ et kf k2 ≤ b − akf k∞ .
b) La norme k · k∞ est-elle équivalente à k · k1 ou à k · k2 ?
c) Montrer que les normes k · kp sont deux à deux non équivalentes.
Exercice 42. Soit E = C([a, b], R) et A = {u ∈ E, / ∀t ∈ [a, b], u(t) ≥ 0}.
a) On munit E de la norme k · kL∞ . Trouver Å.
b) Même question si E est muni de la norme k · kL1 .
Exercice 43. Soient n ∈ N et E l’espace des fonctions
polynômiales de degré inférieur
R1
ou égal à n. On le munit de la norme kP k = 0 |P (t)|dt et on considère une suite
bornée (Pk ) d’éléments de E. Montrer qu’on peut en extraire une sous-suite convergeant
uniformément sur [0, 1].
Exercice 44. Soient E et F deux espaces vectoriels normés avec E de dimension finie.
Montrer que toute application linéaire de E dans F est continue.
Exercice 45. Calculer la norme de A et dire si elle est atteinte :
C([0, 1]) → C([0, 1])
Rx
a) A :
u
7→ (x 7→ 0 u(t)dt)
C([0, 1]) → L2 (0, 1)
Rx
b) A :
u
7→ (x 7→ 0 u(t)dt)
2
L (0, 1) → L2 (0, 1)
Rx
c) A :
u
7→ (x 7→ 0 u(t)dt)
2
L (0, 1) → C([0, 1])
Rx
d) A :
u
7→ (x 7→ 0 u(t)dt).
Exercice 46. Soit E = C([0, 1], C). Pour f ∈ E, on définit la fonction A(f ) : [0, 1] → C
par (A(f ))(x) = xf x2 .
a) Montrer que A ∈ L(E) et calculer sa norme.
b) Déterminer le noyau de A.
c) Montrer que A n’est pas surjective et déterminer son image.
7
Exercice 47. Soit E un espace vectoriel normé sur K =R ou C, et f une forme linéaire.
On suppose que f n’est pas continue.
a) Montrer que f (B(0, 1)) = K puis que ∀x0 ∈ E ∀r > 0, f (B(x0 , r)) = K.
b) En déduire que le noyau de f est dense.
Exercice 48. Soit E l’ensemble des suites complexes bornées. Pour n ∈ N et x ∈ E, on
pose Tn (x) = xn .
a) Montrer que Tn est une forme linéaire continue sur E et calculer kTn kE 0 .
b) Montrer que (Tn )n∈N n’admet pas de sous-suite qui converge simplement sur E.
Exercice 49. Soit E un espace vectoriel normé. Montrer que E est complet si et seulement si toute série absolument convergente converge.
Exercice 50. Soient E et F deux EVN.
a) Montrer que si F est complet alors L(E, F ) (applications linéaires continues) l’est
aussi.
b) Qu’en déduit-on pour E 0 ?
Exercice 51. Soit p ≥ 1. Montrer que l’espace `p (N) muni de la norme Np (u) =
1
P
p p est complet. Même question pour `∞ (N) muni de N (u) = sup
∞
n∈N |un |.
n∈N |un |
Exercice 52. Montrer que l’ensemble E des fonctions lipschitziennes de [0, 1] dans R
(y)|
muni de la norme kf k = kf k∞ + supx6=y |f (x)−f
est complet.
|x−y|
Exercice 53. Soit E l’ensemble des fonctions de classe C 1 sur [0, 1] s’annulant en 0. Pour
f ∈ E, on pose kf k = supt∈[0,1] |f (t) + f 0 (t)| et kf k0 = supt∈[0,1] |f (t)| + supt∈[0,1] |f 0 (t)|.
a) Montrer que k · k et k · k0 sont deux normes équivalentes sur E.
b) Montrer que E muni de l’une de ces deux normes est complet.
Exercice 54. Soit E un e.v.n. complet et L(E) l’ensemble des applications linéaires
continues sur E.
a) Soit h ∈ L(E) tel que khkL(E) < 1. Montrer que Id + h est inversible et calculer
son inverse.
b) Montrer que l’ensemble des éléments inversibles de L(E) est un ouvert de L(E).
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